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2、困难的问题时，要善于巧妙转 化，化难为易，化未知为已知，达到灵活求解的目的；当我们碰到困难的问题时，要不断 地变换问题，重新叙述问题，直到最后成功地找到某些有用的东西为止。一、集合问题向排列组合问题转化二、不等式问题向二次函数的实根分布问题转化例：已知，若AB=A 求 a 的取值范围分析：当学生拿到这个问题的时候都马上会用常规的解不等式x2-2ax+a+20的 思路去解决它，但他们马上就碰到了问题，第二个不等式 是没有办法因式分解的，于是有 的同学就用求根公式去做，十分麻烦，而且还会碰到他们很不熟悉的根式不等式，所以很 少有同学能很完整地做出答案.还有不少同学甚至认为题目是有问题的，于是就放弃
3、了.其实 这倒题目如果能转化为二次函数的实根的分布问题那就容易多了。三、二次函数问题向最值问题或恒成立问题转化例：设函数f(x)=ax2-2x+2（1）若对于满足1x4 的一切 x 值，都有 f(x)0，求实数 a 的取值范围.（2）若不等式 f(x)0 在 1x4 内有解，求实数 a 的取值范围.分析：这个题目其实是非常优秀的，学生在处理的时候往往会比较发愁，有点摸不 着头脑，明明知道是要分类讨论，就是讨论不全，丢三落四。其实这道题目如果我们在动 笔之前能先来考虑一下怎么转化的话，那将有事半功倍的效果。转化方式一： 问题一转化f(x)=ax2-2x+2 在 1x4 上的最小值大于 0.问题二
4、转 化为 f(x)=ax2-2x+2 在 1x4 上的最大值大于 0. 转化方式二： 问题一转化为 a2x-2x2 在 1x4 恒成立，求 a 的范围.问题二转化为 a2x-2x2 在 1x4 有解，求 a 的范围.问题二还可以转化为 a2x-2x2 在 1x4 恒成立，求 a 的范围.转化方式一仍有一定的计算量，仍需按对称轴的位置进行分类讨论，需要很细心才 能做对做好.与之比较起来，转化方式二更为优秀，而且计算量很小。四、函数问题向实根分布问题转化我们先判断出当a1 时，f-1(x)在(1,+)上是增函数，这时做不到 f-1(x) 在m,n上的值域是g(n),g(m) ，所以我们只要考虑 0
5、a1 的情况求可以了.当 0a1 时，f-1(x)在(1,+)上是减函数，我们有，由，可得 x-1x+1=ax，于是上题就 转化为求方程 ax2+(a-1)x+1=0 有两个均大于 1 的根时求 a 的取值范围问题.即.经过巧妙的 转化，一道难题就迎刃而解了.五、导数问题向恒成立问题转化例：已知f(x)=x2+c，且 f(f(x)=f(x2+1) （1）设 g(x)=f(f(x)，求 g(x)的解析式. （2）设 (x)=g(x)-f(x)，试问：是否存在实数 ，使 (x)在(-,-1)内为减函数，且 在(-1,0)内是增函数.分析：导数中经常碰到的一类问题是告诉我们单调区间，求参数的范围问题
6、，遇到 这一类问题我们应该把它转化为恒成立问题，我们就以这个题目为例。经过求解，我们可以得到 g(x)=x4+2x2+2，即 (x)=x4(2-)x2+2-.我们可以 求得 (x)=4x3+2(2-)x.(x)在(-,-1)内为减函数，可以转化为 (x)0 在(-,-1)上恒成 立，还可以转化成 2(2-)-4x2 在(-,-1)上恒成立，再转化成求-4x2 在(-,-1)上的最大 值就做出来了，得到 4。(x)在(-1,0)内是增函数，也可以通过类似的转化得到。此时 4.所以最后答案是 =4。通过上面的几个例子我们深刻体会到数学中转化的重要性.我们在平时的解题教学中， 要培养“转化”意识，对
7、于一些较复杂的问题，不要在“抽象”的迷宫里兜圈子，若改变方向， 从新的角度、新的观点出发重新提出新的问题，亦即对原来的问题进行转化，使问题轻而 易举地获解。（作者单位：浙江绍兴鲁迅中学）其他参考文献Baker, Sheridan. The Practical Stylist. 6th ed. New York: Harper & Row, 1985.Flesch, Rudolf. The Art of Plain Talk. New York: Harper & Brothers, 1946.Gowers, Ernest. The Complete Plain Words. London: P
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