四边形探究练习题四边形

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1、2013 年四边形探究练习题年四边形探究练习题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题） 1 （2012自贡）如图所示，在菱形 ABCD 中， AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分 别在菱形的边 BC、CD 上滑动，且 E、F 不与 B、C、D 重合 （1）证明不论 E、F 在 BC、CD 上如何滑动，总有 BE=CF； （2）当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时，分别探讨四边 形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求 出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定

2、与性质；等边三角形的性质 分析：（1）先求证 AB=AC，进而求证ABC、ACD 为等边三角形，得4=60，AC=AB 进而求证ABEACF，即可求得 BE=CF；（2）根据ABEACF 可得 SABE=SACF，故 根据 S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可解题；当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂 直时，边 AE 最短AEF 的面积会随着 AE 的变 化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积 会最小，又根据 SCEF=S四边形 AECFSAEF，则 CEF 的面积就会最大 解答：（1）证明：连接 AC，如下图所示， 四边形 ABCD

3、 为菱形，BAD=120，1+EAC=60，3+EAC=60，1=3，BAD=120，ABC=60，ABC 和ACD 为等边三角形，4=60，AC=AB，在ABE 和ACF 中，ABEACF（ASA） BE=CF；（2）解：四边形 AECF 的面积不变，CEF 的面 积发生变化 理由：由（1）得ABEACF， 则 SABE=SACF， 故 S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值，作 AHBC 于 H 点，则 BH=2，S四边形 AECF=SBC= BCAH= BC=4， 由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短

4、 故AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小， 又 SCEF=S四边形 AECFSAEF，则此时CEF 的面 积就会最大SCEF=S四边形 AECFSAEF=4 2=点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及 三角形面积的计算，求证ABEACF 是解题的 关键，有一定难度2 （2012盐城）如图所示，已知 A、B 为直线 l 上 两点，点 C 为直线 l 上方一动点，连接 AC、BC，分别 以 AC、BC 为边向ABC 外作正方形 CADF 和正方形 CBEG，过点 D 作 DD1l 于点 D1，过点 E 作 EE1l 于 点 E1（

5、1）如图，当点 E 恰好在直线 l 上时（此时 E1与 E 重合） ，试说明 DD1=AB； （2）在图中，当 D、E 两点都在直线 l 的上方时， 试探求三条线段 DD1、EE1、AB 之间的数量关系，并说 明理由； （3）如图，当点 E 在直线 l 的下方时，请直接写出 三条线段 DD1、EE1、AB 之间的数量关系 （不需要证 明）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质 专题：几何综合题分析：（1）由四边形 CADF、CBEG 是正方形，可得 AD=CA，DAC=ABC=90，又由同角的余角相 等，求得ADD1=CAB，然后利用 AAS 证得ADD1CAB，根据全等三角形的对应边相等

6、，即可得 DD1=AB； （2）首先过点 C 作 CHAB 于 H，由 DD1AB， 可得DD1A=CHA=90，由四边形 CADF 是正方 形，可得 AD=CA，又由同角的余角相等，求得ADD1=CAH，然后利用 AAS 证得ADD1CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得 DD1=AH，同理 EE1=BH，则可得 AB=DD1+EE1 （3）证明方法同（2） ，易得 AB=DD1EE1 解答：（1）证明：四边形 CADF、CBEG 是正方形，AD=CA，DAC=ABC=90，DAD1+CAB=90，DD1AB，DD1A=ABC=90，DAD1+ADD1=90，ADD1=CAB，在ADD1

7、和CAB 中，ADD1CAB（AAS） ，DD1=AB；（2）解：AB=DD1+EE1 证明：过点 C 作 CHAB 于 H，DD1AB，DD1A=CHA=90，DAD1+ADD1=90，四边形 CADF 是正方形，AD=CA，DAC=90，DAD1+CAH=90，ADD1=CAH，在ADD1和CAH 中，ADD1CAH（AAS） ，DD1=AH；同理：EE1=BH，AB=AH+BH=DD1+EE1；（3）解：AB=DD1EE1 证明：过点 C 作 CHAB 于 H，DD1AB，DD1A=CHA=90，DAD1+ADD1=90，四边形 CADF 是正方形，AD=CA，DAC=90，DAD1+C

8、AH=90，ADD1=CAH，在ADD1和CAH 中，ADD1CAH（AAS） ，DD1=AH；同理：EE1=BH，AB=AHBH=DD1EE1点评：此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性 质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注 意掌握辅助线的作法3 （2012厦门）已知平行四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，点 P 在边 AD 上，过点 P 作PEAC，PFBD，垂足分别为 E、F，PE=PF（1）如图，若 PE=，EO=1，求EPF 的度数； （2）若点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点，BF=BC+34，求 BC 的长考点：平行四边形的性质；角

9、平分线的性质；三角形中位线定 理；正方形的判定与性质 专题：几何综合题分析：（1）连接 PO，利用解直角三角形求出EPO=30，再 利用“HL”证明PEO 和PFO 全等，根据全等三角形对 应角相等可得FPO=EPO，从而得解； （2）根据三角形中位线定理可得 PFAO，且PF= AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得AOD=PFD=90，再根据同位角相等，两直线平行可得 PEOD，所以 PE 也是AOD 的中位线，然后证明 四边形 ABCD 是正方形，根据正方形的对角线与边长的 关系列式计算即可得解 解答：解：（1）如图，连接 PO，PEAC，PE=，EO=1，tanEPO=，EPO=30

10、，PEAC，PFBD，PEO=PFO=90，在 RtPEO 和 RtPFO 中，RtPEORtPFO（HL） ，FPO=EPO=30，EPF=FPO+EPO=30+30=60；（2）如图，点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点，PF 为AOD 中位线，PFAO，且 PF= AO，PFBD，PFD=90，AOD=PFD=90，又PEAC，AEP=90，AOD=AEP，PEOD，点 P 是 AD 的中点，PE 是AOD 的中位线，PE= OD，PE=PF，AO=OD，且 AOOD，平行四边形 ABCD 是正方形， 设 BC=x，则 BF=x+ x=x，BF=BC+34=x+34，x+3

11、4=x，解得 x=4，即 BC=4 点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理， 正方形的判定与性质， （2）中判定出平行四边形 ABCD 是正方形是解题的关键6 （2012青海）如图（*） ，四边形 ABCD 是正方形， 点 E 是边 BC 的中点，AEF=90，且 EF 交正方形外 角平分线 CF 于点 F请你认真阅读下面关于这个图的 探究片段，完成所提出的问题 （1）探究 1：小强看到图（*）后，很快发现 AE=EF， 这需要证明 AE 和 EF 所在的两个三角形全等，但 ABE 和ECF 显然不全等（一个是直角三角形，一个 是钝角三角形） ，考虑到点 E 是边 BC 的中点，

12、因此可 以选取 AB 的中点 M，连接 EM 后尝试着去证AEMEFC 就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图 1，取 AB 的中点 M，连接 EMAEF=90 FEC+AEB=90又EAM+AEB=90 EAM=FEC点 E，M 分别为正方形的边 BC 和 AB 的中点AM=EC又可知BME 是等腰直角三角形AME=135又CF 是正方形外角的平分线ECF=135AEMEFC（ASA）AE=EF（2）探究 2：小强继续探索，如图 2，若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上的任意一点”，其 余条件不变，发现 AE=EF 仍然成立，请你证明这一结 论 （3）

13、探究 3：小强进一步还想试试，如图 3，若把条件 “点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 延长线上的一 点”，其余条件仍不变，那么结论 AE=EF 是否成立呢？ 若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明 理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质 专题：阅读型分析：（2）在 AB 上截取 AM=EC，然后证明EAM=FEC，AME=ECF=135，再利用“角边角”证明AEM 和EFC 全等，然后根据全等三角 形对应边相等即可证明； （3）延长 BA 到 M，使 AM=CE，然后证明BME=45，从而得到BME=ECF，再利用两直线平行，内错角相等证明DAE=BEA，

14、然后 得到MAE=CEF，再利用“角边角”证明MAE 和CEF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得 证 解答：（2）探究 2，证明：在 AB 上截取 AM=EC，连接 ME， 由（1）知EAM=FEC，AM=EC，AB=BC，BM=BE，BME=45，AME=ECF=135，AEF=90，FEC+AEB=90，又EAM+AEB=90，EAM=FEC，在AEM 和EFC 中，AEMEFC（ASA） ，AE=EF；（3）探究 3：成立， 证明：延长 BA 到 M，使 AM=CE，连接 ME，BM=BE，BME=45，BME=ECF=45，又ADBE，DAE=BEA，又MAD=AEF=90，DAE+MAD=BEA+AEF，即MAE=CEF， 在MAE 和CEF 中，MAECEF（ASA） ，AE=EF点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性 质，阅读材料，理清解题的关键是取 AM=EC，然 后构造出AEM 与EFC 全等是解题的关键7 （2012锦州）已知：在ABC 中，BAC=90， AB=AC，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B、C 重合） 以 AD 为边作正方形 ADEF，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，求证：BDCFCF=BCCD（2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其它条 件不变，请直接写出 CF、BC、CD