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1、小学数学中若干科学性问题的探讨小学数学中若干科学性问题的探讨我是一名数学教师，对小学数学教学知之甚少。近来读了一些文章，从数学上看，有一些问题需要澄清。借贵刊一角，谈谈我的看法，供大家讨论。一、一、 “分数分数”的份数定义需要修改，突出的份数定义需要修改，突出“新新”数的意义数的意义许多小学数学教材和教案，都把分数定义为：“把一个整体平均分以后，表示其中一份或几份的数叫做分数。 ”这个定义含糊不清，表示“一份或几份”的数，究竟是自然数还是分数？分数是自然数的扩展，对学生来说，是要认识一种“新”的数。任何“数”都是表示数量大小的。因此，我建议分数定义中加“大小”两个字，即：将一个整体平均后，表示
2、其中一份或几份的“大小”数，叫做分数。这里的“大小”二字，非常重要。分数的价值在于能够表示不能用整除情形下平均分以后得到的那个结果的大小。这就是说，a 能整除 b 的时，其商是整数，不能整除时，其商是新的数，我们叫它分数。这样表达，分数就体现为是新引进的一种“数” 。 （相关论述见本刊 2010 年第一期）二、估算的基础是精确计算，没有精确度的估算是二、估算的基础是精确计算，没有精确度的估算是“胡算胡算”小学不要过分强调估算。精确计算是基础，估算只是一种辅助。正如楷书是基础，在基础教育中不能强调草书一样。从数学角度上看，估算必须有精确度的标准。没有精确度的估算是胡算、瞎算。明明正确的答案是 1
3、000，我估算为 1，是不是胡算呢？因此只有附加精确度的近似计算，才算真正理解估算。小学的估算不可能正面谈近似值计算，也不宜提精确度。那么应该如何处理？答案是：我们不能笼统的、一般的谈估算，只能学习几种具体的估算方法，如四舍五入法、截尾法、进位法等。具体的方法里已经有精确度的要求。例如“323+424”用截取百位以下尾数的估算方法，答案是 700。这就明确了。此外，对一张上海南京路照片上密密麻麻的人头数目进行估计，乃是“估算” 。这和前面“在算发上简化”的估算不是一回事。现在混淆“估算” ，不合理。至于问：100 万粒大米有多重“这并没有意义。人们要知道其结果有什么用呢？重要的是在于把握构成百
4、万德过程，而无需和具体的事物相联系。三、统计是新的内容，许多教材内容不够科学三、统计是新的内容，许多教材内容不够科学首先，关于数据收集上有许多不确切的表述。现在强调联系学生的日常生活，教材要求学生做许多调查，收集数据，这是好的。但是出现的问题也不少。例如： 统计班级同学睡眠时间。但学生都不知道自己每天的准确时间，往往毛估估的随便说。 统计去年过年收到的贺卡数。学生根本就没有记录，即使记录了，数据早已经忘了，自己只能胡编乱造数据。而且统计贺卡多少有何意义？是越多越好吗？ 某地绿化亩数增加，于是降雨量增加。这样的数据之间是否存在着因果关系呢？真的难以判断。 电视机销量：A 牌，20%；B 牌 15
5、%；C 牌，10%；D 牌，8%；其他，47%。A 牌最畅销，你同意吗？其他呢？教材上说：“上面的统计提供的数据不清，无法全面反映有光彩电市场每一个品牌占有率的情况。 “这样断言，不够科学。题中的数据很清晰，没有不清晰，只是不够。数据不完全，是正常现象。由于“其他”部分的数据不知道，固然不能给出全面的结论，但仍然有参考价值。就目前的数据来分析，A 牌电视剧仍然是畅销的，至于是不是“最畅销”的，目前还不能判断。因此教材的断言和结论都不确切。其次是关于抽样和预测上存在的问题。小学数学里，用数据进行预测已经大量出现，但是依据的原理各不同，又没有说明，一次在科学性方面缺失了很多。我们可以作预测，但是必
6、须附带的是“可能是” “也许是”“很可能是” “能够参考的是”这样的语句。不可绝对化，以免产生误导。 本月的第一、第二第三周德冰糕销量分别是 8 箱、7 箱、9 箱，本周进多少箱适合呢？你能帮他解决吗？教材未给答案。其实，这是无法回答的问题。如果用外推得方法，则要基于回归的方法，但是三个数据太少了，不能形成回归直线。 根据本班同学生日的月份统计，估计新同学的出生月份这是不可以的，实际上，出生月份一般是随机的，无法预测。就像生了 4 个孩子都是女孩，如果因此说第五个孩子是男孩的可能性很大，是不对的。至于用上次数学平均分估计下次，用过去投篮成绩估计今天的状态，是借用回归（线性）的思想。总体上逐步上
7、什，或者逐步下降，但是数量的变化未见得都是如此。例如我国奥运金牌数，过去几届都是一年比一年多，但是我们不能得出的结论：伦敦奥运会金牌数一定会多于北京奥运金牌 51 块。蒜苗生长观察：天数天数3 36 69 912121515高度高度/cm/cm4 46 6101016161717预测第 20 天蒜苗的高度。试问：这能预测吗？蒜苗的生长时有限度的，不可能无限地生长下去。这就是说，预测是要有前提和假设的。四、大数的进化率和数的读法，需要估计国际化。四、大数的进化率和数的读法，需要估计国际化。我国处理大数是四位一级制。这是中华民族的习惯，当然要学习。但是国际上通用三位一级制。我们的导向是和国际接轨，
8、如千克、千米的使用。因此，也不妨也（少量地）介绍一下国际上三位一级制的。这对英文教学也是一个数学上的铺垫。此外，在大数的读法上，也不可能强求汉语的唯一读法。例如 2010 年，不必一定要求读作两千零一十年，直接读数字反而是常用的。英文则是两位两位的读：twenty-ten.总之，这些都是习惯上不同，没有对错之分。在国际化的趋势下，小学数学应该主动适应为好。五、小学数学的本质在于五、小学数学的本质在于“位置计数法位置计数法”的拓展，而不再：十分之几的拓展，而不再：十分之几“的表述。的表述。日常生活中小数比分数有用，学生离开学校以后，如果只是简单地在社会上从事工作和生活，几乎可以不接触分数，却时时
9、不能离开小数。元、角、分的货币自不必说，老式的“几尺几寸、几斤几两“乃在使用。0.5 千克、身高一米六三等现代说法离不开小数。至于分数，日常生活几乎碰不到。我曾经问过几位受过义务教育的普通工人：1/2+1/3 等于多少？多数人说忘了。究其原因，是因为日常生活几乎没有用到。可是让他们计算小数乘法，则基本都会。小数有自己的概念系统，不能也不必都依赖于分数的理解。小学教育界的流行观点是“小数教学要基于分数教学，否则是科学性错误”未免耸人听闻。确实，小数乃是一种特殊的份数。理论上是先出分数，再叙述其特殊情形小数，从一般到特殊，在逻辑上有一定道理。但是教学安排上却未必都要从一般出发。事实上，我们也可以从
10、特殊推广到一般，正如先有自然数，再逐步推广到分数、实数一样。在实际教学中，小数因其具体而容易学，分数则因抽象而难以把握。因为小数有其独立的价值体系，所以可以独立分于分数教学而存在。我见过俄罗斯的一种教材，就是先学小数，完全独立于后学的分数。中国传统的珠算，只谈小数，不谈分数。小数的本质在于“位置计数法”的拓展，而不在“十分之几”的表述。也就是说，小数是将整个个、十、百、千灯不断扩大的位置计数方式，朝着另一个方向进行“不断缩小”的计数方式加以延伸：即增加了十分位、百分位、千分位等新位置的计数制度。小数的教学，可以抓住这一总的线索展开。不要什么都回到分数意义上理解。六、什么是代数？只说字母代替数是
11、不够的。什么是方程？含有未知数的等式叫方六、什么是代数？只说字母代替数是不够的。什么是方程？含有未知数的等式叫方程式程式 d d 的定义要淡化的定义要淡化代数学的西文名称是 Algabra，是 9 世纪阿拉伯数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原与对消的科学” 。什么叫做对消？大家知道有正负对消，就是解方程式时所谓的移项。还原就是把本来淹没在方程式中的未知数的本来面目。所以方程式是和代数紧密联系的。单单用字母代表数，还不是代数。例如加法交换律写为：a+b=b+a，虽然也是用字母代表数，却和代数思想方法没有关系。用字母代表数，即设某量为 x 这样的做法，只是运用代数方法的第一步。代数思想方
12、法的核心是基于含有 x 的“式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。“含有未知数的等式叫方程” ，大家都把它当做方程的定义，以为非常准确。其实，这是一个不大好、也不重要的表述。把它过分的渲染，就会问“x=1 是不是方程0x=0，x-x=0,a+b=b+a 是不是方程” 等这样的怪问题。其实这句话只谈了方程的表面，是在不重要。方程的本质是未来求未知数，在已知数和我未知数之间建立的一种等式关系。这样讲，就把“方程”说话了。这好比结识“朋友” ，就得通过别人介绍，借助中介关系，如此而已。现在，既然方程的本意就是要求未知数，如果 x=1,未知数已经求出来了，也就没有方程的问题了。0x=0,x-x=0
13、,a+b=b+a 等，虽然有字母，但和求未知数的目标无关，因而和方程知识没有关系。正如西南师范大学的代数学家陈重穆先生所说，需要“淡化形式，注重实质” 。简单的方程及方程逐步渗透在小学各个阶段中，对于没有学过代数式的小学生来说，未知数的引人是一个难点。需要用鲜明的例题让学生产生认同感。只有让他们思想上感到理性精神的震撼，才会自觉地运用方程来解决问题，欣赏方程思想所带来的理解上的便捷。试问：方程法比算术法好，到底好在哪里？有多好？让我们在以下问题的两种解法的对比中寻找规律。小明今年 10 岁，爸爸的年龄是他三倍多 6 岁，求爸爸的年龄。算术方法：爸爸年龄=310+6。这是从小明的年龄 10 出发
14、，一步步接近爸爸的年龄，得到答案 36。代数方法：设爸爸的年龄为 x，则有方程 x-6/3=10.解之得：x=36。这是从未知的爸爸年龄 X 出发，寻找和已知是小明年龄的关系，根据关系解出未知的 X，通过对消方法，讲未知数还原出来。这一例子使我们看到方程法或算术法的思维路线往往是相反的。打一个比方：如果将要求的答案比喻为在河对岸的一块宝石，那么算术方法好比摸石头过河，从我们知道的岸边开始，一步一步摸索着接近要求的目标；而代数方法却不同，好像是将一根带钩的绳子甩过河，钩住对岸的未知数（建立了一种关系）然后利用这根绳子（关系）慢慢地拉过来，最终获得这块宝石。两者的思维方向相反，但是结果相同。问题解
15、决与应用题的教学在新课程改革中，以前特别熟悉的应用题不见了，才而代之的是解决问题，这在逻辑上说不通。事实上，数学问题分为两类：一类是纯数学问题，像哥德巴赫猜想等；另一类成为应用问题，是各行各业提出来的数学问题。问题和应用题是严格的包含关系，不能用问题取代应用题。应用为题是客观存在的，似乎不必回避。我们反对的是过去小学数学中那些“矫揉造作”的、远离现实的、使学生得不到什么教学的应用题。新的应用题，其情景更有真实性，方法上强调数学模型的建立，结果需要验证。应用题可以改进，却不宜取消。数学应用题的本质是数学建模。把一个用文字叙述的复杂情景里的数量关系，用熟悉符号加以描述，并通过式的运算，得出满足问题
16、条件的答案，这和高等数学中数学建模程序大体相同。因此，我们要用数学建模的思想改造应用题数学，而不是取消。长期以来，为了强调某种数量关系的理解，我们常常强化某种类型问题的解题方法。如行程问题、工程问题等。弄得非常复杂，一直是小学数学教学的难点，也一直是所诟病。近年，则索性一刀砍掉，全盘否定。不过，进行这样的分类是正常现象。在微积分课程里要要讨论瞬时速度问题、切线问题、曲边梯形问题，微分方程课里有热传导方程、电磁波方程，中学数学也要研究抛物问题、等周问题、投影问题、掷骰子为题等。将一类情景中发生的问题给以特殊的名称，未尝不可。但是，作为一个研究领域来说，上述的问题都只是一个名词，便于称呼而已，并非一个数学领域。比如行程问题，尽管题目花样翻新，也可以出得很难，但总不过是s=vt 这样的数量关系的各种不同的变式。宏观的看，没有单独设立一个数学课题的必要。但是，也不能走向另一个极端：不讲类型。有的地方不准叫“应用题” ，今天学“铅笔有几支” ，明天学“燕子飞走了” ，不做一些基本的分类和概括，是作茧自缚、矫枉过正的表现。实际上，应用题的分类并非主观臆造出
