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1、中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 1 页（共 5 页） 高等数学一高等数学一模拟题（开卷）模拟题（开卷） 一一填空题填空题 1 2 ， 0sin2lim xx x2 ，2lim(1)x xx2e3已知, 则 2 ，0()1fx000(2)()lim xf xxf x x 4函数的单调减区间为 ， 01( )2dxF xtt1(, )45微分方程 的通解是 ，0yy12cossinyCxCx6 ， x1 211 22xx或7 ，(2)xxde2 ln2xxe8 。21d1xxarctan xC二单项选择题二单项选择题 1设, 则的定义域是（ B ） 。( )1,
2、04f xxx)(2xfA 0 , 4 B -2 , 2 C 0 , 2 D 1 , 3 2设在上连续，则的值为（ D ） 。 2,01 cos,0xaxf xxx0x aA-1 B0 C1 D23对于函数，下面叙述正确的是（ B ） 。 f xxA函数连续且一阶导数也连续 B函数连续但一阶导数不连续C函数不连续但一阶导数连续 D函数不连续且一阶导数也不连续4设是的一个原函数，则有下面成立的是（ C ） 。( )F x f xA B)()(xFdxxf)()(xfdxxFC DCxFdxxf)()(CxfdxxF)()(5微分方程的 阶 数 为（ B ） 。32()34sinyxyx中国地质大
3、学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 2 页（共 5 页） A0 B1 C2 D36函数的定义域是（ A ） 。( )ln(1)2arcsinf xxxxA （-1 , 1 B -1 , 1 C （-1 , 2 D -1 , 2 7当时，是的（ D ） 。0x ( )tansinf xxxxA低阶无穷小 B等阶无穷小 C同阶但不等阶无穷小 D高阶无穷小8函数在点（ D ） 。 lnf xx0x A连续且可导 B连续但不可导 C不连续但可导 D不连续且不可导9设是的一个原函数，则有下面成立的是（ C ） 。( )F x f xA B dxxfdxxfdba)()( cxfdxx
4、fdxd)()(C Ddxxfdxxfdxa)()( cxfdxxfdxdxa )()(10下列那一项不是常微分方程（ A ） 。A B 2320yxy2222()d()d0xyxxyyC D30yy3sinyxy 三计算题三计算题 1 2lim(1) xxxx 解： =2lim(1) xxxx 22221lim 1xxxx xx 2lim 1xxxx =21lim111xx1 22设，求arcsinlntanyxxxd dy x解：=d dy xarcsinlntanxxx= dlntandtanarcsinarcsindtandxxxxxxxx=2211arcsinsectan1xxxxx
5、 中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 3 页（共 5 页） = 2arcsinsec csc 1xxxx x 3 221d56xxxx 解：， 所以22153 5632x xxxx=221d56xxxx 53d32xxx115d3d32xxxx=5ln |3| 3ln |2|xxC4 10dxex解： 令，那么， ， 且，故xt2xtd2 dxt t00xt时11xt时=22= 2()=210dxexdttet 2101100dtttee t1 0tee 5 011limcotsinxxxx解： = 011limcotsinxxxx0cossinlimsinsin
6、xx xx xxx300sinlimcos lim xxxxxx=201 coslim3xx x0sinlim6xx x1 66设，求321ln1xyxd dy x解：=d dy x32ln 1ln 1xx 32ln(1)ln(1)xx=332232dln(1) d(1)dln(1) d(1) d(1)dd(1)dxxxx xxxx=23232.11xx xx7 dxxxx21arctan1解：= dxxxx21arctan1dxxxdxxxdxx2221arctan 111=)(arctantan1)1 ( 21arctan22 xxdarcxxdx 中国地质大学（北京）继续教育学院 201
7、2 年 09 课程考试第 4 页（共 5 页） =Cxxx22)(arctan21)1ln(21arctan8求微分方程的通解。 )(edd3xxxyy解：这是变量分离方程，变量分离，3()ye dyxx dx两边积分，有，即为原方程的通解。3()ye dyxx dxc2411 24yexxc四应用题四应用题 1已知曲线满足方程，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。)(xyy 0yxeexy解：在方程两边关于 x 求导， 有0yeeyxyyx所以 ， 曲线在(0，0)处的切线的斜率，故xeyeyyx1)0, 0( yk切切线方程为。xy 2计算抛物线与直线所围成的图形的面积。22yx4yx解：
8、抛物线与直线相交于点(2,-2,), (8,4), 如图所示。选取 y 为积分变量， 那么。422142Ayydy 4 2321141826yyy3已知曲线满足方程，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。)(xyy 0sinyexy解：在方程两边关于 x 求导， 有0cosyexeyyyy所以 ， 曲线在(0，0)处的切线的斜率，故yyexyeycos1)0, 0( yk切切线方程为。xy 4计算抛物线与所围成的图形的面积。2xy xy 2解：两抛物线与直线相交于点(0,0,), (1,1)。选取 x 为积分变量， 那么=。102)(dxxxs1 031 02331 32xx31五五证明题证明题
9、 中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 5 页（共 5 页） 1)1ln(0xxx 时，当解：解法一：利用中值定理。考虑函数，显然函数在上满足拉( )ln(1)f uu0, x格朗日中值定理，所以存在， 使得(0, )x( )(0)( )(0)f xffx即，因为， 所以成立。1ln(1)1xx111)1ln(0xxx 时，当解法二：利用函数的单调性。 考虑函数， 那么( )ln(1)f xxx1( )11fxx 当，所以单调递增。从而10( )101xfxx 时( )ln(1)f xxx。命题得证。( )ln(1)(0)0f xxxf2. 当时，.0 xxex 1解：解法一：利用中值定理。考虑函数，显然函数在上满足拉格朗日( )uf ue0, x中值定理，所以存在， 使得(0, )x( )(0)( )(0)f xffx即，因为， 所以当时，成立。0xeee x1e0 xxex 1解法二：利用函数的单调性。 考虑函数， 那么( )xf xex( )1xfxe当，所以单调递增。从而0( )1 0xxfxe时( )xf xex。命题得证。( )(0)1xf xexf
