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1、商科數學二上重補修講義商科數學二上重補修講義臧俊維 編著從現在起 還來得及 1 第 一 章 排 列 與 組 合一、公式介紹1. ！（）（） 註： 0！2. 3. 4. 餘定理：！ ) rn( nPnr！) rn(rn rPCnrnrr rn nn n r rn nC CC C 5. 巴斯卡定理：6. CCC1nr1n1rnrCH1rnrnr二、不同物品的直線排列1. n 個不同物品的排列方法有 n! 種。2. 從 n 個不同物品中取出 r 個排成一列的方法有種。n rP三、不完全相同物品的直線排列n 個物品，分成 k 類，第一類有 m1個；第二類有 m2個；第 k 類有 mk個，即 m1m2m
2、kn，則全部排在一起共有種。！k21mmmn四、重複排列：從 n 個不同物品中取出 r 個排成一列，若各物可重複選取，則其排列總數為 nr。五、組合：從 n 個不同物品中取出 r 個為一組，若同組內不考慮排列次序，則組合方式有種。n rC六、重複組合：從 n 個不同物品中取出 r 個為一組，若同一組內的物品不考慮排列次序，且各物可重複選取，則所有的組合方式有 種。n rH七、組合總數：從 n 個不同物品中任取數個(包括零個)為一組的方法有種。nn nn 2n 1n 02CCCC【 第 一 類 】 路 徑 問 題 垃圾車從村落的入口處 A 進來，從出口處 B 出去，要走過所有的巷道，如圖所示，規
3、定走過的路不可再走，試問有幾種走法？ A AB BA AB BA AB B 2 只准向上、向下、和向右，但不能向左也不能重複走，求由P到Q之走法數？ 如圖，走法同上題，求滿足下列情況的走法數。 全部的走法？ 不經過 A 的走法？ 要經過 A 的走法？【 第 二 類 】 捷 徑 問 題 下列二圖由 A 至 B 走捷徑各有幾種走法？B B 由 A 至 B 走捷徑，求不經過沼澤區的走法數？P PPAQ PAQQ QQ Q P PA AB BP PQ QAA 3 【 第 三 類 】 塗 色 問 題 有五種顏色，要塗在下列之圖形上，但相鄰兩區域不得同色，試問有幾種塗法？ 【 第 四 類 】 數 字 問
4、題 不大於 800 的自然數中，適合下列情形者有多少個？ 3 或 4 的倍數。 3 或 4 或 5 的倍數。 非 3、4、5 中任一者的倍數。 用 1、2、3、4、5 五個數字排成五位數，則： 數字可以重複，有多少不同的五位數？ 數字不可重複，有多少不同的五位數？ 數字不可重複，有多少不同的奇五位數？E ED DC CB BA AE EC CA AB BD D 4 【 第 五 類 】 字 母 問 題 將字母重新排列，有幾種排法？ mathematics Jurassic phenomenon 把“庭院深深深幾許”依下列方式排列，各有多少方法？ 三個“深”字完全相鄰。 三個“深”字完全不相鄰。【
5、 第 六 類 】 直 線 排 坐 (站) 問 題 四個人坐進一排八個座位中，有幾種坐法？又四人需相鄰，坐法為若干？ 三個女同學與四個男同學排成一列，請問下列情況的排法有幾種？ 女同學希望相鄰。 女同學希望相鄰，且不願在男同學之間。 男同學希望男女相間。 有 A、B、C、D、E、F、G 七個人排成一列，請問下列情況的排法有幾種？ A 不排首。 A 不排首，B 不排尾。 A 不排首，B 不排尾，C 不排中。 5 【 第 七 類 】 付 錢 問 題 用 5 元鈔、10 元鈔、50 元鈔、100 元鈔、500 元鈔鈔各一張，可支付幾種款項？ 用 1 元鈔三張、5 元鈔二張、10 元鈔四張、100 元鈔
6、四張，可支付幾種款項？ (以上兩題零支付不算)【 第 八 類 】 乘 船 問 題 有甲、乙、丙、丁四艘船，每隻船可載客六人，今有下列各人數要同時安全渡河，則其渡河方法各有幾種？ 5 人 6 人 7 人 8 人 9 人【 第 九 類 】 倒 酒 問 題 五種不同的酒倒入四個相同的酒杯，每個酒杯一次只能倒入一種酒，且每個酒杯中的酒可以一樣，則有幾種倒法？ 同上，若酒杯不相同，則有幾種倒法？【 第 十 類 】 寄 信 問 題 將六封不同的信件，全部投入五個不同的郵筒，則有幾種不同的投入方式？【 第 十 一 類 】 整 數 解 問 題 給予方程式 uvwxyz10，問： 有多少組非負整數解？ 有多少組
7、正整數解？ 6 【 第 十 二 類 】 放 球 取 球 問 題 由五個不同的球當中，任取兩個為一組的組合數為多少？ 把四個不同的球放進六個不同的袋子裡，每袋最多放一個，則有幾種不同的放法？ 將四個相同的球，全部投進七個相異的箱子裡，有幾種投法？【 第 十 三 類 】 分 堆 問 題 將 18 本不同的書，依 5、6、7 分成三堆，求其分法數？ 續上題，若是依 6、6、6 分成三堆，則其分法數又為若干？ 將 15 本不同的書，依 3、3、3、2、4 分成五堆，求其分法數？【 第 十 四 類 】 分 東 西 問 題 四件不同的禮物分給五人，每人至多一件，則共有幾種分法？ 五支相同的筆全部分給四個人
8、，有幾種分法？ 將五本相同簿子與三隻不同的鋼筆分給兩人，每人至少得一件的方法有幾種？ 7 第 二 章 二 項 式 定 理一、二項式定理：若n，a、b為任意數，則nn nkknn k22nn 21nn 1nn 0nbCbaCbaCbaCaC)ba(一) (ab)n 展開式中共有n1項，其中第k1項為，此項亦稱為一般項。kknn kbaC(二) (xy)nx(y)n，其中第k1項為。 n0kkknn k)y(xCkknn kkyxC)1(三) nn n3n 32n 2n 1n 0nxCxCxCxCC)x1(二、由二項式定理推導出的重要組合公式(一) nn nn 1n 02CCC(二) 0C)1(C
9、CCn nnn 2n 1n 0(三) 1nn 5n 3n 1n 4n 2n 02CCCCCC(四) 1nn nn 3n 2n 12nnCC3C2C1. 求下列各式的展開式：(1) (a3b)4 (2) (2a3b)4 2. (3x22y)7展開式中，x4y5項之係數為何？3. 求下列各式中指定項的係數：(1) 中x4之係數。 (2) 中的常數項。10)x1x( 62)x3x2( 8 4. 設(ab)20展開式中，第3r項與第r2項的係數相等，則此係數為何？5. 利用二項式定理求(0.94)4之值。 6. 計算(0.99)6之近似值到小數點後第二位為何？7. 求1115 的個位數、十位數、百位數
10、及千位數？ 9 第 三 章 機 率 的 性 質一、定義：給定一個有n個樣本點 A1、A2、An 的樣本空間S。對每一S的樣本點Aj，有一數值與之對應，稱為Aj的機率，以P(Aj)表示。且滿足下列二式1. 0 P(Aj) 1，j1、2、n2. P(A1)P(A2)P(An)1 二、機率的性質(一) P(空事件)0(二) P(所有樣本)1(三) 0 P(A) 1(四) P()1P(A)A(五) P(AB)P(A)P(B)P(AB)(六) P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)(七) 若事件A與事件B互斥，則P(AB)P(A)P(B) 設A、B表示二事件且P(
11、AB)，P()，P(AB)，求：(1) P(A) (2) P(B) (3) P(AB) 43A3241 用1、2、3、4、5作數字相異的四位數，求下列各情形的機率： (1) 奇數 (2) 偶數 (3) 4的倍數 (4) 5的倍數 擲硬幣三次，求正面至少出現兩次的機率？ 投擲一均勻骰子60次，恰在第60次出現第10個么點的機率為何？ 10 投擲兩個骰子，出現點數和為6的機率為多少？ 一副撲克是52張牌，從中任取五張牌。設機會均等，求下列之機率：(1) 一對(One Pairs) (2) 兩對(Two Pairs) (3) 三條 (4) 富而好施(Full House)(5) 同花 (6) 順子
12、(7) 鐵支 (8) 葫蘆 (9) 同花順 袋中有3白球、6黑球，每一次從中任取一球，取後放回連取六次，求下列各機率：(1) 六次皆白球 (2) 至少一次取白球之機率(3) 正好三次白球，三次黑球 11 一袋中有白球五個，黑球四個，求取得四球為二白二黑的機率為何？ 一盒中有十個球，球上分別印有號碼1到10。今由盒中取四球，則四球之號碼中第二大數目是7的機率為何？ 四人同時玩“剪刀、石頭、布”的遊戲一次，求下列各機率：(1) 恰有一人獲勝 (2) 恰有兩人獲勝 (3) 恰有三人獲勝 (4) 平手 某次測驗中，A、B、C三人及格的機率分別為、，若三人應試彼此不受影響，試求：52 43 31(1)
13、三人皆及格的機率 (2)僅二人及格的機率 (3)三人皆不及格的機率 任意十二個人中，沒有兩人在同一月份出生的機率是多少？ 已知編號為1、2、10的十盞路燈中，有三盞是故障的，則編號4與編號5都是故障的機率為何？ 12 第 四 章 統 計一、次數分配表：蒐集來的原始資料，蘊藏著所要研究現象的重要特性與規律，但是若不加以整理、分析，則它常只是一堆複雜混亂毫無系統的資料，我們難以發現它所蘊涵的特性。因此原始資料需加以整理，將它簡單化、系統化，以便於做統計分析。(一) 次數分配表的編製與步驟1. 求全距：全部資料中最大數據和最小數據的差。2. 定組數：統計資料的分類稱為分組，分組的數目稱為組數。3. 定組距：將資料分組，每一組的範圍稱為每一組的組距。若採用相等的組距分組，則組距全距組數4. 定組限：每一組上下兩端的界限稱為該組的組限。較小的稱為組下限；較大的稱為組上限。定組限時務必使最小一組的下限，較實際資料的最小值略低或相等；而最大一組的上限，較實際資料的最大值略高。5. 歸類畫記：將每一筆原始資料在對應的組內畫記，以方便計算統計。6. 計算次數：歸類畫記後，計算各組次數，記載於整理表中的次數欄內。(二) 累積次數分配表與累積次數分配曲線1. 次數分配表使我們了解資料分配的狀況，但是統計問題的研究，
