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1、期中考试试题评讲 Q1： 由t t tdSdtdWS， 令( ,)n ttf S tS，1n t tfnSS，2 2 2(1)n t tfn nSS，0f t， 根据 ITO 引理： 2 22 21()2tttt tttffffdfSSdtSdWtSSS122211(0(1)2nnn tttttttdfS nSS n nSdtS nSdW 21(1)2nn tttdfnn nS dtnS dW 21(1)2tdfnn nfdtnfdW QED. Q2.由0tWt tSS e知，0lnlnttSSWt2 0ln(ln,)tSNStt 故10ln(ln1000.1,0.4)SN （1）22 010
2、11ln0.01 100.210ln0.322 100()()100SttSE SE eeS ee （2）1010(100)(lnln100)P SPS，又由10ln(ln1000.1,0.4)SN，故： 10ln100(ln1000.1)1(100)()()(0.1581)0.42 10P S Q5，假定一个无股息股票0tWt tSS e，一个具有创新意识的金融机构刚刚宣布它将交易在时刻T收益为lnTS的衍生产品，期中TS为股票在T时刻的价格。采用风险中性定价理论将衍生产品价格表达为股票价格tS与时间t的函数。 由0tWt tSS e知，则： 0lnlnttSStW lnttdSdtdW21
3、()2t t tdSrdtrdtdWS 令：21 2r 21()2Q ttWrtW 故在风险中性测度（Q）下： 21lnln()()2Q TttSSrTtW 221ln(ln()(),()2TtSNSrTtTt故： ()()21(, )(ln)(ln()()2r T tQr T t ttTtf S teESeSrTtQ7：远期合约是将来固定的日期（称为交割日） ，以预先指定的价格（称为远期价格）买入 或者卖出一种资产的协议。 （1）证明在无套利假设下，股票在时间 t 支付红利 div 的远期价格为： (0, ) (0)rtrTFTSediv e，0tT （2）考虑一只股票，它在 2000 年
4、1 月 1 日的价格为 120 美元，在 2000 年 7 月 1 日支付红 利 1 美元在 2000 年 10 月 1 日支付红利 2 美元，无风险利率为 12%。如果 2000 年 11 月 1 日交割的远期合约在 2000 年 1 月 1 日的价格为 131 美元，是否存在套利机会？如果存在套 利机会，计算套利利润。 （1）在 t 时刻的 div 贴现到 0 时刻为rtediv，构造组合： 组合 A：一份远期合约f多头加上一笔数额为(0, )rTFT e的现金； 组合 B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为 t 时刻派发红利、本金为rtediv的负债。 这两个组合的价值相等： (
5、0, )(0)rTrtfFT eSediv (0)(0, )rtrTfSedivFT e 而合约签订时，对双方公平，合约价值为 0： (0, ) (0)rtrTFTSediv e （2）6912%12%1212 0122.77divee，故： 1012%12(0, ) (0)(1202.77)12.56131rtrTFTSediv ee 故存在套利。 2000 年 1 月 1 日，签订远期合约空头头寸，并借入 120 美元买入股票； 2000 年 7 月 1 日，得到第一笔红利 1 美元并进行无风险投资； 2000 年 10 月 1 日，得到第二笔红利 2 美元并进行无风险投资； 2000 年 11 月 1 日，所有头寸结算。 套利利润： 104112%12%12%121212131 120121.44eee
