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1、1. 设区域 ，则 = 。: 13,11Dxy 2(sincos )Dxyyx d02 设是单位球面的外侧，则曲面积分：2221xyz=（ ） 。C333x dydzy dzdxz dxdy A B. C D. 21 212 55 123 对于二元函数 ，极限为（ ） 。221( ,)()sinf xyxyxy( , )(0,0)lim( ,) x yf xy B A不存在 B. 0 C1 D. 无穷大4改变积分次序后 =（ ） 。A21101( ,)yydyf xy dxA 11210111( ,)( ,) xxdxf xy dydxf xy dy B 11210111( ,)( ,) xx
2、dxf xy dydxf xy dy C 11210111( ,)( ,)xxdxf xy dydxf xy dyD 11210111( ,)( ,)xxdxf xy dydxf xy dy5.计算 ，其中是球面 被平面 所截得的2Lx dsL2222xyza0xyz圆周。解：由对称性知道222LLLx dsy dsz ds所以 2 222223112()3333LLLLax dsxyzdsa dsdsa6.应用格林公式计算曲线积分：，其中是以222()()Lxydxxydy L为顶点的三角形，方向取正向。(1, 1),(3, 2),(2, 5)ABC解：三条线段的方程为： 1:(1),(13
3、)2 :311,(23):4(3),(12)AB yxxBC yxxCA yxx 而 ，从而222( ,)() ,( ,)()P xyxyQ xyxy222()()()LLDQPxydxxydyPdxQdydxy其中三角形区域（如图） ，分成两部分。D12,DD12222243331111(1)2(1)22()()2(2)2(2)2(2)2(2)2(2)2463LDDDxxxxxydxxydyxy dxy dxy ddxxy dydxxy dy 7. 计算二重积分，其中是由直线 围成的三角DdD2 ,2 ,3yxxyxy形区域。解：设 122 ,01( ),( )3,122xxxy xyxxx
4、型区域：，x12( ,)|02,( )( )Dxyxy xyyx分成：1( ,)|01,2 2xDxyxyx2( ,)|12,32xDxyxyx从而 121223012212013(2)(3)222xxxxDDDddddxdydxdyxxxdxxdx8. 应用幂级数性质求 。1(1)!nn n解：令 ，由于 11( )(1)!nnnf xxn 1 (2)!lim0(1)!nn nRn n 即收敛区域为：，由逐项微分之性质，(,) ， ，111( )()(1)!nnnnnnfxxxnn 11( ) !nnfxnxxn 由逐项积分之性质，10011( )1!nxxnxnnxftndttdtetnn
5、 所以，从而( )(1)( )xxxfxeefxxex，因此， 00( )( )(1)1xxtxf xft dtte dtxe 1(1)1(1)!nnfn9.对于二元函数 ，极限为（ ） 。A22( ,)xyf xyxy( , )(0,0)lim( ,) x yf xy A不存在 B. 0 C1 D. 无穷大10. 改变积分次序后 =（ ） 。C12330010( ,)( ,)yydyf xy dxdyf xy dxA B 330( ,)xxdxf xy dy230( ,)xxdxf xy dyC D 2302( ,)xxdxf xy dy203( ,)xxdxf xy dy 11.计算第一型
6、曲线积分：，其中是以为顶点()Lxy dsL(0,0),(1,0),(0,1)OAB的三角形。1212.应用格林公式计算曲线积分：，(sin2 )(cos2)xxABeyy dxeydyAB为由到经过圆上半部的路线。( ,0)a(0,0)22xyax2 (sin2 )(cos2)4xxABaeyy dxeydy13. 求级数 的收敛域及和函数，并求 。22121 2n n nnx 121 2nnn级数的收敛域为 级数的和函数为 2,2 22222 22xxS xxx幂级数中取得数项级数 1x 121132ninS14 设 是由方程所确定的隐函数，其中),(yxzz 0),( zyzxf 具有)
7、,(vuf连续的偏导数，且，则 。1 0 vf uf yz xz15 改变积分次序后 =（ ） 。C 24042020),(),(xxxdyyxfdxdyyxfdxA. , B. 242020),(ydxyxfdy 24220),(yydxyxfdyC. , , D.D. 24220),(yydxyxfdy 242020),(ydxyxfdy16. 若级数收敛，则级数 _ D12nna1nnaA. 一定绝对收敛； B. 一定条件收敛； C. 一定发散； D. 可能收敛也可能发散17.求二重积分，其中 D 为三直线 所围成的平 Dxdxdye21, 0 xxyy和和面区域) 1(21e18.利用
8、格林公式计算曲线积分，其中曲线 L 为23(2 )(3) Lxy dxxy dy的上半圆左端点 A（-1，0）到右端点 B（1，0）的有向弧线段。221xy解：补充解：补充A1,1, 0:对应终点对应起点xBxyBA由格林公式得, DBALdxdydyyxdxyx)23()3()2(322DS所以 BALdyyxdxyxdyyxdxyx)3()2(2)3()2(3232112)0(2dxx23219.求幂级数的收敛域与和函数。 12 )1( nnn nx 1, 1I11),1ln()(2 xxxs20.向量在在向量 上上的投影为 2, 2, 1b r 4,3, 4a r6 41 21.函数在点
9、处沿从点到点的方向导数为 uxyz(5,1,2)(5,1,2)(9,4,14)，最大方向导数为：_98 1322.求幂级数的收敛域。1(5)nnx n46x23.计算曲面积分：，其中是锥面 dxdyzdzdxydydzx222 22yxz与平面所围空间区域的表面，方向取外侧。42h hz 24. 设，证明：在原点处连续， 0, 00,),(2222 222yxyxyxyx yxf( ,)f xy(0, 0)且偏导数存在，但不可微分。证明：令令，从而，从而cos ,sinxryr232222000 0020(cos)(sin )lim ( , )limlimlim (cos)(sin )0(0,
10、0)xxr yyrx yrf x yxyrrf 因此在原点处连续。( ,)f xy(0, 0)(0,0)(0, 0)(0,0)|lim0 xfxff xx (0,0)(0, 0)(0,0)|lim0 yfyff yy 因此在原点偏导数存在。( ,)f xy(0, 0)考虑极限 222 3/200 0222 3/22 3/20(0,0)(0,0)() ()limlim()() )() ()lim()() )(1)Xyx yx y k xffxfyxy xyxyk xyk 因此，极限不存在，从而在原点不可 0(0,0)(0,0)limXyffxfy ( ,)f xy微。25. 求级数 的和函数，并
11、求 的和。11!nnnxn 112 !nnn n收敛区域为。(,) 1121211111( )!(1)!(1)!nnnxnnnns xxxxxx ennn 22111112222 (2)(1)1!nnnnnnnnseennn26. 设方程组确定隐函数，求 010222xyvuyxvu),(),(vuyyvuxxuy ux ,222122,22xuxyxuy uxyuxy第二学期模拟题目第二学期模拟题目（说明：本题目只是为了帮学生再一次梳理知识作用）（说明：本题目只是为了帮学生再一次梳理知识作用）1函数 . 00, 0 ),(222222yxyx yxxyyxf（ A ） 。（A）处处连续 （B
12、）处处有极限，但不连续（C）仅在（0，0）点连续 （D）除（0，0）点外处处连续同类题目同类题目 1：函数zf x y( , )在点(,)xy00处连续是它在该点偏导数存在的： (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。同类题目同类题目 2：在点处可微的充分条件是（ ）),(yxf（A）的所有二阶偏导数连续 （B）连续 ),(yxf),(yxf（C）的所有一阶偏导数连续 （D）连续且对的偏导数都),(yxf),(yxf),(yxfyx,存在。同类题目同类题目 3：函数在点具有偏导数，则它在点有极值的（ z ( , )f x y00(,)xy00(,)xy）为。0000(,)0,(,)0xyfxyfxyA、必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要条件同类题目同类题目 4：函数在点存在 ，则有（ ） 。z ( , )f x y00(,)xy0000(,),(,)xyfxyfxyA、函数在点有定义；B、函数在点存在极限z ( , )f x y00(,)xyz ( , )f x y00(,)xyC、函数在点连续；
