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1、对概率教学中几个易错问题和疑难问题的剖析对概率教学中几个易错问题和疑难问题的剖析摘要摘要：概率是高中数学的重点内容，在实际应用中广泛，为每年高考必考内容。因此解概率题容易混淆的概念与出错的问题很多,本文对高中生在概率及其概念的学习中常见的错误进行剖析。关键词关键词：概率 易错问题 疑难问题 成因主要内容：主要内容：一、几个易错问题的剖析一、几个易错问题的剖析1 1 概念理解错误概念理解错误例例 1 1 已知甲袋内有大小相同的 4 个红球和 5 个黑球，乙袋内有大小相同的 6 个红球和 5 个黑球，现从甲，乙两袋内各任取 2 个球，求取出的 4 个球均为红球的概率。错解错解 从甲袋的 4 个红球
2、中任取 2 个红球的可能结果是c24个，从乙袋内的6 个红球中任取 2 个红球的可能结果是c26个，故从甲，乙两袋中抽到红球的可能结果是 c24+c26 个，又从甲，乙两袋中各抽 2 个球的可能结果为cc21129个，故取出 4 个球均为红球的概率为 P =cccc 211292624 =133剖析剖析 错解的原因是把分步当成分类，错把分步计数原理当做分类计数原理来处理此问题。分类计数原理与分步计数原理它们都是涉及完成一件事的不同方法的种数问题，它们的区别在于分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可能完成这件事。分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互联系，只有各个
3、步骤都完成了这件事才能够完成。正解正解 P=221.211292624cccc例例 2 2 8 个篮球队中有 2 个强队，先是任意将 8 个队分成两个组（每组 4 个队）进行比赛，这两个强队被分到一个组内的概率是多少？错解错解 记事件 A 为“两个强队都分在甲组”, 记事件 B 为“两个强队都分在乙组” 。目前共有 8 个队，需要分成 2 组，每组 4 个队组成（把这 4 个队看成个4 空位） ，所以第一个强队到甲组的概率为84，第二个强队到甲组的概率也为84，故“两个强队同时分到甲组的概率”是P（A）=41 84 84同理可得， “两个强队同时分到乙组的概率”是P（B）=41 84 84由于
4、 A 事件与 B 事件为互斥事件,故两个强队被分在同一组的概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)=21 41 41剖析剖析 设分成的两组分别叫做第 1 组和第 2 组,两个强队分别叫做甲队和乙队,记事件 Ai为 “甲队在第 i 组”,事件 Bi为 “乙队在第 i 组”(i=1,2),事件C 则为 “甲队,乙队在同一组”,这样前面的算式即为:P( C )=P(A1B1+A2B2)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1)+P( A2)P(B2)=21 84 84 84 84现在我们比较一下条件概率公式和相互独立事件的概率公式及其他的含义与区别，条件概率公式：P（B/A）=)()(
5、ApBApI=)()( ApABp，意思是对任何两个事件 A 和B，在已知事件 A 发生的情况下事件 B 发生的概率适用此公式。相互独立事件的概率公式 P(AIB)=P(AB)=P(A)P(B)即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积。上面解题错误的原因在于误认为 P(AiBi)=P(Ai)P(Bi)(i=1,2).事实上, Ai和 Bi不是相互独立的,事件 Bi是在事件 Ai发生的条件下才发生的.因此事件 Bi发生的概率,应该是事件 Bi在事件 Ai已经发生的情况下的条件概率,由条件概率公式得：P( AiBi)=P(Ai) P (Bi|Ai).所以,P(C)= P(A1B1
6、+A2B2)=P(A1B1)+P(A2B2)= P(A1) P(B1|A1)+ P(A2) P(B2|A2)=73 84 73 84=732 2 混淆混淆“排列排列”和和“组合组合”出错出错例例 3 3 甲、乙二人参加法律知识竞答，共有十道不同的题目，其中选择题六道，判断题四道，甲乙两人依次各抽一道题， （1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一个人抽到选择题的概率是多少？错解错解 设 A 事件“甲抽到选择题，乙抽到判断题” ，A 事件出现的结果有cc1416， 又甲、乙依次一题的结果有c210。所以，P(A)ccc 2101416158(2)设 B 事件“甲、乙
7、二人中至少有一人抽到选择题” ，则事件 B 的对立事件B为甲、乙二人都没有抽到选择题，由对立事件概率公式得：P（B）=1-P（B）=ccc 2101314=1511剖析剖析 （1 1） （2 2）错误的原因在于將甲、乙依次各抽一题当成甲、乙同时抽一题，前面与顺序有关是排列问题，后面与顺序无关是组合问题。正解 由题意，甲、乙两人依次各抽一题，故所有可能的抽法是 n=A210=cc19110=90 种（1） “甲抽到选择题，乙抽到判断题”的抽法有，m=cc1416=24 种，所以，这一事件的概率为 P=nm=9024=154（2） “甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的抽法种数方法一：抽法分两类，
8、只有一人抽到选择题，抽法种数是cc1416+cc1614=48 种，两个都抽到选择题，A26=cc1516=30 种，故总数 m=78 种。方法二：先考虑反面，甲、乙两人都没有抽到选择题;即抽到判断题，则抽法种数是A24=cc1314=12 种，那么“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的抽法即为A210-A24=90-12=78 种，所以，m=78，该事件的概率 P=nm=9078=1513本题基本不上是直接应用概率公式，关键步骤是应用排列，组合的知识求出 m 、n,即所有可能结果总数（基本事件总数）和事件所包含的结果总数。3 3 混淆混淆“互斥互斥”和和“独立独立”出错出错例例 4 4 甲乙
9、二人参加某地射击比赛，甲击中目标的投概率为 0.7,乙击中目标的投概率为 0.6,每人射击 3 次,两人恰好都击中目标 2 次的概率是多少?错解错解 事件 A;“甲恰好击中目标 2 次”,事件 B：“乙恰好击中目标 2 次”,则两人恰好击中目标 2 次为 A+B,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=c2327 . 00.3+c 2326 . 00.4=0.873剖析剖析 错误的原因在于把相互独立并且同时发生的事件理解为互斥事件来考虑。互斥指不可能同时发生的两个事件。将两人都恰击中目标 2 次理解为“甲恰好击中目标 2 次”与“乙恰好击中目标 2 次”的和。正解正解 事件 A;“甲恰好击中目标
10、 2 次”,事件 B：“乙恰好击中目标 2 次”,则两人恰好都投中 2 次为 AB，所以P（AB）=P（A）P（B）=c2327 . 00.3c 2326 . 00.4=0.1914 4 混淆混淆 )(kpn= =ckn)1 (ppknk中中”k”k 次次”的有条件与无条件限制出错的有条件与无条件限制出错某人射击一次命中目标的概率为21,求此人射击 6 次 3 次命中且恰好有 2 次连续命中的概率.错解错解 )3(6P=c363)21(36)211 (=165剖析剖析 在 n 次独立重复实验中某事件恰好发生 k 次的概率公式是)(kpn=ckn)1 (ppknk,而这里的 “k 次”是无条件限
11、制,本题虽是 n 次独立重复实验中某事件恰有 k 次的概率问题，但这个问题就有限制条件 6 次射击中命中 3 次且恰好有两次连续，解决本题的关键是该问题可以转化为多个互斥事件的和，这两次连续命中与一次命中是间隔排列问题，共有A24种可能的情况，从而该问题可以转化为A24个互斥事件的和，所以“6 次射击 3 次命中恰有 2 次连续命中”的概率为正解正解 )3(6PA243)21(36)211 (=1635 5 混淆有放回与不放回出错混淆有放回与不放回出错例例 5 5 一袋中有 4 只黑球，1 只白球，现从袋中每次摸出一球，然后再放回袋中，求第三次摸球首次摸到白球的概率.错解错解 (1)51 31
12、 43 54)(AP错解错解 （2）51)(351314AccAP剖析剖析 两种解法错误的原因都在于把“放回摸球”问题当成“不放回摸球”问题来考虑。但又有区别：“不放回摸球”每一次摸球不是相互独立的且袋内的总数比前一次少一，错解（1）的错误原因在于忽视了“放回摸球”问题的每一次摸球时袋内球的总数是不变的；而错解（2）的错误的原因在于忽视了“放回摸球” 问题的每一次摸球是独立的。正解正解 12516 51 54 54)(AP二、几个疑难问题的剖析二、几个疑难问题的剖析1 1 事件类型得判定事件类型得判定例例 1 1 有 4 个人，每人都以相同的概率被分配到 5 个房间中的一间，试求至少有 2 人
13、分配到同一房间的概率？方法方法 如果概率中出现至多至少的问题，一般利用几个互斥事件至少有一个发生的概率公式或利用对立事件的概率公式。其次，本题中也用到分步计数原理中mn与nm的区别，这类问题常用“住店法”解决，就是分清谁是“店” ，谁去“住” ，一般是“店”不动，让“客人”去选，用到的原理是分步计数原理。因为每个人都以相同的概率被分配到 4 个房间中期中的一间，故共出现54种结果。设事件 A：“至少有两个人分配到同一个房间” ，事件 B:4 人分配到不同的房间，事件 B 包含A45种结果，由等可能事件概率公式 P（B）=nm=5445A=12524，又事件 A 与事件 B 互为对立事件，所以
14、P（A）=1-P(B)=1-12524=1251012 2 “有序有序”与与“无序无序”得判定得判定例例 2 2 袋内有大小相同的 6 个白球和 4 个红球，从中随机地抽取 2 次，第一次取出一个球不放回，第二次从剩余的球中再取出一个球，求取到的两个球中至少有一个白球的概率是多少？方法 记事件 A 为“取到的两个球中至少有一个白球” ，又因取到一个白球，一个红球的这种取法中，包括第一次取到白球第二次取到红球和第一次取到红球第二次取到白球两种不同的情况。故，取到的两个球中至少有一个白球的结果数是m=cc1516+cccc16141416=78，又基本事件总数 n=A210=90 所以 P（A）=
15、Acccccc 210151616141416=9078=15133 3 抽样方法中的每一个个体被抽到的概率相等问题抽样方法中的每一个个体被抽到的概率相等问题例例 3 3 为了了解某地区参加教师资格考试的 1010 名考生的成绩，打算从中抽取一个容量为 50 的样本，现用系统抽样的方法，需要从总体中剔除 10 个个体，在整个抽样过程中，求（1） 每个个体被剔除的概率；（2） 每个个体不被剔除的概率；（3） 每个个体被抽取的概率分别是多少？解析解析 设事件 A：考生甲被剔除；事件 B：考生甲不被剔除；事件 C：考生甲被抽取。从 1010 中随机抽取 10 个共有 c101010种可能结果，每一种
16、结果出现的可能性相等。（1（事件 A 包含 c91009种结果，由等可能事件的概率公式得：101010)(1010101191009cccAP（2（由对立事件的概率公式得：1010100)(1)(APBP（3（从不被剔除的 1000 个考生中抽取 50 个个体，由等可能事件的概率公得每个个体被抽取的概率：100010)(101000119999CCCBCP ，考生甲被抽到是在不被剔除的条件下从不被剔除的 1000 个考生中被抽到，由条件概率公式得P(C)=)()()(BPBCPBCP,)()()(BCPBPCP故 101010 100010 10101000)()()(BCPBPCP= 1011，所以从 1010 名考生中抽取一个容量为 50 的样本，每一个考生被抽到的概率相等，都是1011。参考文献参考文献1 潘
