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1、高中数学辅导网 http:/ http:/ 函数 第 3 课时：函数的值域 一课标要求一课标要求 1、教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用 2、教学重点：求函数的值域 二要点精讲二要点精讲 求函数的值域是较困难的数学问题，中学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 1、基本初等函数的值域：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数。 2、求函数值域的方法：求函数值域的方法： （1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围；（2）二次函数法：形如的函数利用换元法将函数转化为
2、二次函数求值域； F xaf xbf xc（3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。 （4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域； （5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围； （6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域； （7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域； （8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域； （9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域； （10）几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。 【课前预习课前预习】1、 （2010 重庆文数） （4）函数的值域是164xy （A） （B）
3、0,)0,4（C） （D）0,4)(0,4)解析： 答案：C40,0164161640,4xxx Q2、 （2009 宁夏海南卷理）用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值( )设 f（x）=min, x+2,10-x (x 0),则 f（x）的最大值为2x （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 答案 C3 【08 年四川延考卷文 14】函数的最大值是_2( )3sincosf xxx答案：（提示： 因为，33sin3x 2cos0x ，正好时取等号。2( )3sincos3f xxxsin1,cos0xx（另在时取最大值）22237( )3sincossin3sin1(sin
4、)24f xxxxxx sin1x 4(2011(2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 13)13)设是定义在上，以 1 为周期的函数，若在上的值域( )g xR( )( )f xxg x3,4为，则在区间上的值域为 。 2,5( )f x 10,10【答案】 15,11【解析】本小题考查函数的性质.三典例解析三典例解析 题型一。初等函数的复合函数： 例例 1、求下列函数的值域：（1） 答案 2432yxx2,4高中数学辅导网 http:/ http:/ 答案1 25xy01yy且（3） 答案2 2log65yxx,2（5）已知，求函数的值域。 3log1,9f xxx 22f xfx解
5、：的定义域为，由此可得值域为0，3； 22f xfx 1,3x题型二。其它函数 例例 2、求下列函数的值域：（1）分子常数化法： 521 xxy21Ryyy且点评：适用一次分式函数型axbycxd（2）反表示法： 122 xx y0,1点评：类似地：2sin sin1xyx（3）法：求函数 y=值域 先因式分解，能约先约。1122 xxxx解：，函数的定义域 R，原式可化为,整理得043 43)21(122xxx1) 1(22xxxxy，若 y=1,即 2x=0,则 x=0；若 y1,R，即有0，,解得01) 1() 1(2yxyxyx0) 14(-) 1(22y-y且 y1.331 y综上：
6、函数是值域是y|.331 y点评：适用二次分式函数型，先因式分解，能约先约。221axbxydxexf（4）配方法：25154yxx 解：，25154yxx 2115413,32yx （5）换元法： 换元法：xxy21245,(三角换元法：21xxy2, 1（6）函数单调性法： 用的单调性： 4522 xxyxxy1),25点评：可用导数法求之（7）分段函数图象法：求 y=|x+1|+|x-2|的值域. 解：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图） ，由图象可知，函数的值域是y|y )2( 12)21(3) 1( 12xxxxx y3.（8）几何意义法、数形结合：4sin1 2cos4x
7、yx高中数学辅导网 http:/ http:/ cos2x yx 12,cos ,sin4AM得：3 5,2 6AMyk 点评：亦可用合一法解之。题型三。给定函数值域题型三。给定函数值域,求参数的取值范围求参数的取值范围例例 3、已知函数的定义域为 R，值域为0，2，求 m,n 的值。18log)(223xnxmxxf解：，因为值域为0，2，设00mmmnmn160464，08182 22 nuxxmuxnxmxu其，06, 04642mnunmunumu 9 , 1u所以，验证：得5991161091 nmmnnm5 nm【课外作业课外作业】1.【08 江西卷 3】若函数的值域是，则函数的值
8、域是（ ） A ( )yf x1 ,321( )( )( )F xf xf x1 ,32B C D102,35 10 ,23103,32、 【07 浙江文 11】函数的值域是_221xyxRx1 , 03、函数的值域为2 21xxy (0,1)4若函数在上的最大值与最小值之差为 2，则( )logaf xx2,4a 222或五思维总结五思维总结 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域； (2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。直接法：利用常见函数的值域来求(一次函数、反比例函数、二次函数的
9、值域分别为) 配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；),(,)(2nmxcbxaxxf 分式转化法（或改为“分离常数法” ） 换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；)0(kxkxy单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。内部资料 仅供参考高中数学辅导网 http:/ http:/ 仅供参考管管理理员员客户管理服务反馈管理业务管理信贷信息管理客户信息表
10、服务反馈表业务、合同信息表信贷信息表分析结果 维护维护分析提出依据哈尔滨银行客户关系管理系统数据库全部信息内容提交反馈提交反馈9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE
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