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1、专业好文档第一章极限和连续第一章极限和连续 第一节极限第一节极限 复习考试要求复习考试要求 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一 点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。 会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 主要知识内容主要知识内容 （一）数列的极限 1.数列 定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作xn，数列
2、中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn为数列的 一般项或通项，例如 （1）1，3，5， （2n-1） ，（等差数列）（2）（等比数列）（3）（递增数列）（4）1，0，1，0，（震荡数列） 都是数列。它们的一般项分别为（2n-1）,。 对于每一个正整数 n，都有一个 xn与之对应，所以说数列xn可看作自变量 n 的函数 xn=f（n） ，它的定义域是全体正整数，当自变量 n 依次取 1,2,3一切正整数时，对应的 函数值就排列成数列。 在几何上，数列xn可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 x1,x2,x3,.xn,。2.2.数列的极限数列的极限 定义对于数列xn，如果当 n时，xn无限
3、地趋于一个确定的常数 A，则称当 n 趋于无穷大时，数列xn以常数 A 为极限，或称数列收敛于 A，记作 比如：无限的趋向 0，无限的趋向 1 否则，对于数列xn，如果当 n时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列xn没 有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 比如：1，3，5， （2n-1） ，1，0，1，0， 数列极限的几何意义：将常数 A 及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列xn以 A 为极限，就表示当 n 趋于无穷大时，点 xn可以无限靠近点 A，即点 xn与点 A 之间的距离 |xn-A|趋于 0。 比如：无限的趋向 0无限的趋向 1（二）数列极限的性质与运算法则（二）数
4、列极限的性质与运算法则专业好文档1.1.数列极限的性质数列极限的性质 定理 1.1（惟一性）若数列xn收敛，则其极限值必定惟一。 定理 1.2（有界性）若数列xn收敛，则它必定有界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如：1，0，1，0，有界：0，1 2.2.数列极限的存在准则数列极限的存在准则 定理 1.3（两面夹准则）若数列xn,yn,zn满足以下条件：（1），（2）， 则 定理 1.4 若数列xn单调有界，则它必有极限。 3.3.数列极限的四则运算定理数列极限的四则运算定理。 定理 1.5（1）（2）（3）当时， （三）函数极限的概念（三）函数极限的概念 1.当
5、 xx0时函数 f（x）的极限 （1）当 xx0时 f（x）的极限 定义对于函数 y=f（x） ，如果当 x 无限地趋于 x0时，函数 f（x）无限地趋于一个常数 A， 则称当 xx0时，函数 f（x）的极限是 A，记作或 f（x）A（当 xx0时） 例 y=f（x）=2x+1 x1,f（x）? x1x1（2）左极限 当 xx0时 f（x）的左极限 定义对于函数 y=f（x） ，如果当 x 从 x0的左边无限地趋于 x0时，函数 f（x）无限地趋于一 个常数 A，则称当 xx0时，函数 f（x）的左极限是 A，记作或 f（x0-0）=A （3）右极限 当 xx0时，f（x）的右极限 定义对于函
6、数 y=f（x） ，如果当 x 从 x0的右边无限地趋于 x0时，函数 f（x）无限地趋于一 个常数 A，则称当 xx0时，函数 f（x）的右极限是 A，记作或 f（x0+0）=A 例子：分段函数，求， 解：当 x 从 0 的左边无限地趋于 0 时 f（x）无限地趋于一个常数 1。我们称当 x0 时， f（x）的左极限是 1，即有专业好文档当 x 从 0 的右边无限地趋于 0 时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当 x0 时， f（x）的右极限是-1，即有显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系： 定理 1.6 当 xx0时，函数 f（x）的极限等于 A 的必要充分条件是反之，
7、如果左、右极限都等于 A，则必有。x1 时 f(x)?x1 x1f(x)2对于函数，当 x1 时，f（x）的左极限是 2，右极限也是 2。2.当 x时，函数 f（x）的极限 （1）当 x时，函数 f（x）的极限 y=f(x)xf(x)?y=f(x)=1+xf(x)=1+1定义对于函数 y=f（x） ，如果当 x时，f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当 x时， 函数 f（x）的极限是 A，记作或 f（x）A（当 x时） （2）当 x+时，函数 f（x）的极限 定义对于函数 y=f（x） ，如果当 x+时，f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当 x+时，函数 f（x）的极限是 A，记作 这个定义
8、与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中 n+的 n 是正整数；而在这 个定义中，则要明确写出 x+，且其中的 x 不一定是正整数，而为任意实数。 y=f(x)x+f(x)x？x+，f(x)=2+ 2专业好文档例：函数 f（x）=2+e-x，当 x+时，f（x）？解：f（x）=2+e-x=2+，x+，f（x）=2+2所以 （3）当 x-时，函数 f（x）的极限 定义对于函数 y=f（x） ，如果当 x-时，f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当 x- 时，f（x）的极限是 A，记作x-f(x)？则 f(x)=2+(x0) x-,-x+f(x)=2+2例：函数，当 x-时，f（x）？ 解：当
9、 x-时，-x+2，即有由上述 x，x+，x-时，函数 f（x）极限的定义，不难看出：x时 f（x） 的极限是 A 充分必要条件是当 x+以及 x-时，函数 f（x）有相同的极限 A。例如函数，当 x-时，f（x）无限地趋于常数 1，当 x+时，f（x）也无限地趋于同一个常数 1，因此称当 x时的极限是 1，记作其几何意义如图 3 所示。f(x)=1+y=arctanx不存在。 但是对函数 y=arctanx 来讲，因为有专业好文档即虽然当 x-时，f（x）的极限存在，当 x+时，f（x）的极限也存在，但这两个极 限不相同，我们只能说，当 x时，y=arctanx 的极限不存在。x)=1+y=
10、arctanx不存在。 但是对函数 y=arctanx 来讲，因为有即虽然当 x-时，f（x）的极限存在，当 x+时，f（x）的极限也存在，但这两个极 限不相同，我们只能说，当 x时，y=arctanx 的极限不存在。 （四）函数极限的定理定理 1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理 1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：（1），（2）则有。 注意：上述定理 1.7 及定理 1.8 对也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理定理 1.9 如果则（1）（2）（3）当时，时， 上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：（1）（2）（
11、3） 用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在， 且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。 另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。 （五）无穷小量和无穷大量 1.无穷小量（简称无穷小） 定义对于函数，如果自变量 x 在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该 变化过程中，为无穷小量，一般记作 常用希腊字母，来表示无穷小量。 定理 1.10 函数以 A 为极限的必要充分条件是： 可表示为 A 与一个无穷小量之和。专业好文档注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为 零。 （2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个
12、很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中， 同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例如：振荡型发散 （4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当 x 越变越大时，就越变越小，但它 不是无穷小量。（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。2.无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量（或）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大） ，则称在该变化过程中，为无穷大量。记作。 注意：无穷大（）不是一个数值，“”是一个记号，绝不能写成或。 3.无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量与
13、无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。定理 1.11 在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，则为无穷大量。当无穷大无穷小 当为无穷小无穷大 4.无穷小量的基本性质 性质 1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； 性质 2 有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积 是无穷小量。性质 3 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 性质 4 无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 5.无穷小量的比较 定义设是同一变化过程中的无穷小量，即。（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作；（2）如果则称与为同阶的无穷小量；（3）如果则
14、称与为等价无穷小量，记为；专业好文档（4）如果则称是比较低价的无穷小量。当等价无穷小量代换定理：如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。 均为无穷小 又有这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小 量代换可以在极限的乘除运算中使用。 常用的等价无穷小量代换有：当时， sinxx;tanx;arctanxx;arcsinxx;（六）两个重要极限 1.重要极限 重要极限是指下面的求极限公式令专业好文档这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。其结构式为：2.重要极限 重要极限是指下面的公式：其中 e 是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为
15、e=2.5045 其结构式为：重要极限是属于型的未定型式，重要极限是属于“”型的未定式时，这两个重要 极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。 （七）求极限的方法： 1.利用极限的四则运算法则求极限； 2.利用两个重要极限求极限； 3.利用无穷小量的性质求极限； 4.利用函数的连续性求极限； 5.利用洛必达法则求未定式的极限； 6.利用等价无穷小代换定理求极限。 基本极限公式（2）（3）（4）例 1.无穷小量的有关概念 （1）9601下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是A.B.C.D. 答C专业好文档A.发散D. （2）0202当时，与 x 比较是 A.高阶的无穷小量 B.等价的无穷小量 C.非等价的同阶无穷小量 D.低阶的无穷小量 答B 解:当,与 x 是极限的运算：0611 解： 答案-1例 2.型因式分解约分求极限（1）0208 答 解:（2）0621计算答解:例 3.型有理化约分求极限（1）0316计算 答解:（2）9516 答解:专业好文档例 4.当时求型的极限 答（1）0308 一般地，有例 5.用重要极限求极限（1）9603下列极限中，成立的是A.B.C.D. 答B（2）0006 答解:例 6.用重要极限求极限（1）0416计算 答解析解一：令解二：专业好文档030
