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1、专业好文档第一章极限和连续第一章极限和连续 第一节极限第一节极限 复习考试要求复习考试要求 1.了解极限的概念(对极限定义等形式的描述不作要求)。会求函数在一 点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质,掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。 会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 主要知识内容主要知识内容 (一)数列的极限 1.数列 定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列,简称数列,记作xn,数列
2、中每一个数称为数列的项,第 n 项 xn为数列的 一般项或通项,例如 (1)1,3,5, (2n-1) ,(等差数列)(2)(等比数列)(3)(递增数列)(4)1,0,1,0,(震荡数列) 都是数列。它们的一般项分别为(2n-1),。 对于每一个正整数 n,都有一个 xn与之对应,所以说数列xn可看作自变量 n 的函数 xn=f(n) ,它的定义域是全体正整数,当自变量 n 依次取 1,2,3一切正整数时,对应的 函数值就排列成数列。 在几何上,数列xn可看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点 x1,x2,x3,.xn,。2.2.数列的极限数列的极限 定义对于数列xn,如果当 n时,xn无限
3、地趋于一个确定的常数 A,则称当 n 趋于无穷大时,数列xn以常数 A 为极限,或称数列收敛于 A,记作 比如:无限的趋向 0,无限的趋向 1 否则,对于数列xn,如果当 n时,xn不是无限地趋于一个确定的常数,称数列xn没 有极限,如果数列没有极限,就称数列是发散的。 比如:1,3,5, (2n-1) ,1,0,1,0, 数列极限的几何意义:将常数 A 及数列的项依次用数轴上的点表示,若数列xn以 A 为极限,就表示当 n 趋于无穷大时,点 xn可以无限靠近点 A,即点 xn与点 A 之间的距离 |xn-A|趋于 0。 比如:无限的趋向 0无限的趋向 1(二)数列极限的性质与运算法则(二)数
4、列极限的性质与运算法则专业好文档1.1.数列极限的性质数列极限的性质 定理 1.1(惟一性)若数列xn收敛,则其极限值必定惟一。 定理 1.2(有界性)若数列xn收敛,则它必定有界。 注意:这个定理反过来不成立,也就是说,有界数列不一定收敛。比如:1,0,1,0,有界:0,1 2.2.数列极限的存在准则数列极限的存在准则 定理 1.3(两面夹准则)若数列xn,yn,zn满足以下条件:(1),(2), 则 定理 1.4 若数列xn单调有界,则它必有极限。 3.3.数列极限的四则运算定理数列极限的四则运算定理。 定理 1.5(1)(2)(3)当时, (三)函数极限的概念(三)函数极限的概念 1.当
5、 xx0时函数 f(x)的极限 (1)当 xx0时 f(x)的极限 定义对于函数 y=f(x) ,如果当 x 无限地趋于 x0时,函数 f(x)无限地趋于一个常数 A, 则称当 xx0时,函数 f(x)的极限是 A,记作或 f(x)A(当 xx0时) 例 y=f(x)=2x+1 x1,f(x)? x1x1(2)左极限 当 xx0时 f(x)的左极限 定义对于函数 y=f(x) ,如果当 x 从 x0的左边无限地趋于 x0时,函数 f(x)无限地趋于一 个常数 A,则称当 xx0时,函数 f(x)的左极限是 A,记作或 f(x0-0)=A (3)右极限 当 xx0时,f(x)的右极限 定义对于函
6、数 y=f(x) ,如果当 x 从 x0的右边无限地趋于 x0时,函数 f(x)无限地趋于一 个常数 A,则称当 xx0时,函数 f(x)的右极限是 A,记作或 f(x0+0)=A 例子:分段函数,求, 解:当 x 从 0 的左边无限地趋于 0 时 f(x)无限地趋于一个常数 1。我们称当 x0 时, f(x)的左极限是 1,即有专业好文档当 x 从 0 的右边无限地趋于 0 时,f(x)无限地趋于一个常数-1。我们称当 x0 时, f(x)的右极限是-1,即有显然,函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系: 定理 1.6 当 xx0时,函数 f(x)的极限等于 A 的必要充分条件是反之,
7、如果左、右极限都等于 A,则必有。x1 时 f(x)?x1 x1f(x)2对于函数,当 x1 时,f(x)的左极限是 2,右极限也是 2。2.当 x时,函数 f(x)的极限 (1)当 x时,函数 f(x)的极限 y=f(x)xf(x)?y=f(x)=1+xf(x)=1+1定义对于函数 y=f(x) ,如果当 x时,f(x)无限地趋于一个常数 A,则称当 x时, 函数 f(x)的极限是 A,记作或 f(x)A(当 x时) (2)当 x+时,函数 f(x)的极限 定义对于函数 y=f(x) ,如果当 x+时,f(x)无限地趋于一个常数 A,则称当 x+时,函数 f(x)的极限是 A,记作 这个定义
8、与数列极限的定义基本上一样,数列极限的定义中 n+的 n 是正整数;而在这 个定义中,则要明确写出 x+,且其中的 x 不一定是正整数,而为任意实数。 y=f(x)x+f(x)x?x+,f(x)=2+ 2专业好文档例:函数 f(x)=2+e-x,当 x+时,f(x)?解:f(x)=2+e-x=2+,x+,f(x)=2+2所以 (3)当 x-时,函数 f(x)的极限 定义对于函数 y=f(x) ,如果当 x-时,f(x)无限地趋于一个常数 A,则称当 x- 时,f(x)的极限是 A,记作x-f(x)?则 f(x)=2+(x0) x-,-x+f(x)=2+2例:函数,当 x-时,f(x)? 解:当
9、 x-时,-x+2,即有由上述 x,x+,x-时,函数 f(x)极限的定义,不难看出:x时 f(x) 的极限是 A 充分必要条件是当 x+以及 x-时,函数 f(x)有相同的极限 A。例如函数,当 x-时,f(x)无限地趋于常数 1,当 x+时,f(x)也无限地趋于同一个常数 1,因此称当 x时的极限是 1,记作其几何意义如图 3 所示。f(x)=1+y=arctanx不存在。 但是对函数 y=arctanx 来讲,因为有专业好文档即虽然当 x-时,f(x)的极限存在,当 x+时,f(x)的极限也存在,但这两个极 限不相同,我们只能说,当 x时,y=arctanx 的极限不存在。x)=1+y=
10、arctanx不存在。 但是对函数 y=arctanx 来讲,因为有即虽然当 x-时,f(x)的极限存在,当 x+时,f(x)的极限也存在,但这两个极 限不相同,我们只能说,当 x时,y=arctanx 的极限不存在。 (四)函数极限的定理定理 1.7(惟一性定理)如果存在,则极限值必定惟一。定理 1.8(两面夹定理)设函数在点的某个邻域内(可除外)满足条件:(1),(2)则有。 注意:上述定理 1.7 及定理 1.8 对也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理定理 1.9 如果则(1)(2)(3)当时,时, 上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形,有以下推论:(1)(2)(
11、3) 用极限的运算法则求极限时,必须注意:这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在, 且求商的极限时,还要求分母的极限不能为零。 另外,上述极限的运算法则对于的情形也都成立。 (五)无穷小量和无穷大量 1.无穷小量(简称无穷小) 定义对于函数,如果自变量 x 在某个变化过程中,函数的极限为零,则称在该 变化过程中,为无穷小量,一般记作 常用希腊字母,来表示无穷小量。 定理 1.10 函数以 A 为极限的必要充分条件是: 可表示为 A 与一个无穷小量之和。专业好文档注意:(1)无穷小量是变量,它不是表示量的大小,而是表示变量的变化趋势无限趋于为 零。 (2)要把无穷小量与很小的数严格区分开,一个
12、很小的数,无论它多么小也不是无穷小量。(3)一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中, 同一个变量可以有不同的变化趋势,因此结论也不尽相同。例如:振荡型发散 (4)越变越小的变量也不一定是无穷小量,例如当 x 越变越大时,就越变越小,但它 不是无穷小量。(5)无穷小量不是一个常数,但数“0”是无穷小量中惟一的一个数,这是因为。2.无穷大量(简称无穷大)定义;如果当自变量(或)时,的绝对值可以变得充分大(也即无限地增大) ,则称在该变化过程中,为无穷大量。记作。 注意:无穷大()不是一个数值,“”是一个记号,绝不能写成或。 3.无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量与
13、无穷大量之间有一种简单的关系,见以下的定理。定理 1.11 在同一变化过程中,如果为无穷大量,则为无穷小量;反之,如果为无穷小量,且,则为无穷大量。当无穷大无穷小 当为无穷小无穷大 4.无穷小量的基本性质 性质 1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量; 性质 2 有界函数(变量)与无穷小量的乘积是无穷小量;特别地,常量与无穷小量的乘积 是无穷小量。性质 3 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 性质 4 无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 5.无穷小量的比较 定义设是同一变化过程中的无穷小量,即。(1)如果则称是比较高阶的无穷小量,记作;(2)如果则称与为同阶的无穷小量;(3)如果则
14、称与为等价无穷小量,记为;专业好文档(4)如果则称是比较低价的无穷小量。当等价无穷小量代换定理:如果当时,均为无穷小量,又有且存在,则。 均为无穷小 又有这个性质常常使用在极限运算中,它能起到简化运算的作用。但是必须注意:等价无穷小 量代换可以在极限的乘除运算中使用。 常用的等价无穷小量代换有:当时, sinxx;tanx;arctanxx;arcsinxx;(六)两个重要极限 1.重要极限 重要极限是指下面的求极限公式令专业好文档这个公式很重要,应用它可以计算三角函数的型的极限问题。其结构式为:2.重要极限 重要极限是指下面的公式:其中 e 是个常数(银行家常数),叫自然对数的底,它的值为
15、e=2.5045 其结构式为:重要极限是属于型的未定型式,重要极限是属于“”型的未定式时,这两个重要 极限在极限计算中起很重要的作用,熟练掌握它们是非常必要的。 (七)求极限的方法: 1.利用极限的四则运算法则求极限; 2.利用两个重要极限求极限; 3.利用无穷小量的性质求极限; 4.利用函数的连续性求极限; 5.利用洛必达法则求未定式的极限; 6.利用等价无穷小代换定理求极限。 基本极限公式(2)(3)(4)例 1.无穷小量的有关概念 (1)9601下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是A.B.C.D. 答C专业好文档A.发散D. (2)0202当时,与 x 比较是 A.高阶的无穷小量 B.等价的无穷小量 C.非等价的同阶无穷小量 D.低阶的无穷小量 答B 解:当,与 x 是极限的运算:0611 解: 答案-1例 2.型因式分解约分求极限(1)0208 答 解:(2)0621计算答解:例 3.型有理化约分求极限(1)0316计算 答解:(2)9516 答解:专业好文档例 4.当时求型的极限 答(1)0308 一般地,有例 5.用重要极限求极限(1)9603下列极限中,成立的是A.B.C.D. 答B(2)0006 答解:例 6.用重要极限求极限(1)0416计算 答解析解一:令解二:专业好文档030