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1、呼叫中心系统读杂志文章有感摘要摘要研读Modeling and Analysis of Call Center Arrival Data: A Bayesian Approach文章后，对文章中所构建的一个呼叫中心及到达数据的调制泊松过程模型得分析得出，这个模型的显著特征是它的协变量和时间双方面对呼叫量密度有影响，因此我们能更准确估计到不同广告策略的有效性，及随之预测（数据）到达形式。贝叶斯分析法已十分成熟，扩展的贝叶斯理论体现了到达形式的潜在异质性。文章所提出的模型和方法论均已用在真实的呼叫中心到达数据中。关键字关键字：呼叫密度, 调制泊松过程模型, 验后分析, 无异质泊松过程, 贝叶斯分析
2、方法1 问题描述和研究背景问题描述和研究背景预测呼叫数量是企业基于具体广告和促销计划对呼叫中心提出的挑战性问题，这种预测对于企业日程安排、人员设置、设备配置和领导决策都有重要影响。一次呼叫意味着一次咨询或是订购，至于此次呼叫是否产生经济效益，不在本文研究范围。文章仅仅是研究广告的方式和时间安排对呼叫中心的呼叫到达数据的影响。广告的随机性和顾客咨询的异质性文中的建模均列入考虑并解决，文章最后用实例说明了调制泊松过程模型的优化效果。早期的一些研究曾有人提出包括自回归协调移动平均过程和转移函数模型等方法，用来解决预测模型问题（Andrews and Cunningham 1995） 。更新近的方法有
3、 2001 年提出的排队模型法和 2005 年提出的双随机泊松模型法。先前的这些方法关注于对平均到达数据的呼叫到达过程的建模1。而文章更关注于用呼叫到达数量评估公司发展战略中广告和促销手段的有效性，即致力于某一具体广告对到达数据的影响而不是广告的平均到达分析。然而，我们也面临着评估单个因素影响的建模方式和建模方法的问题，我们期望所建模型的预测可以为市场和广告预测决定提供很好的指示。据此，我们提出了可解决以上问题的基于贝叶斯分布法的调制泊松过程模型。此模型可以针对某一特定广告的到达数据进行分析，也使我们估计到各种广告和促销策略的有效性。因为泊松模型适合解决随机问题，而调制泊松过程模型的各个参数都
4、是未知的，即适用于具体的优先分布问题。这种方法产生的模型常被认为是双随机泊松模型，它的结果于呼叫到达数量有关2。调制泊松过程模型的贝叶斯处理方法提供了一种与到达数据相关的代替方法，进一步说，因为贝叶斯分析法可以提供一个处理异质性问题的灵活框架，所以文中用贝叶斯方法处理了顾客异质性3。文章的结构十分明晰，第一章引言和背景，主要回顾了以前呼叫中心运用的管理方法及统计理论，随之提出调制泊松过程模型（MPPM）的特点。第二章说明了不同的协变量效应广告策略对呼叫中心到达率的影响。第三章展示了贝叶斯分析模型，并讨论了先验分布和预测分布是怎样获得的，此章分不同广告异质性和模型对比方法两部分阐述呼叫系统的。第
5、四章是实例应用，第五章为结论。2 数据获得数据获得在分析广告对呼叫量影响时，文章先对呼叫的时间长度做了一个时间统计。如下表所示：表 1 对于某广告的呼叫到达数据示例Time interval (in days) Number of calls(0, 16 (1, 25 (2, 31 (3, 43 (4, 52 (5, 62 (6, 72 (7, 80 (8, 92 (9, 102 (10, 180表 1 中的分析的数据来自消费者电子产品生产商（有限种类）销售部门的呼叫数据，其中的产品也均为生命周期较长和可以长期更新和升级的。上面的数据示例想要表明：在一定生命周期内，不同时期的广告策略收入是可以
6、获得的5。 文章的整个论证建立在无异质性泊松过程（NHPP）的基础上，从广告时间、策略和场地方面进行效应分析。因为要考虑呼叫量的协变影响，所以需要泊松过程调制来完成整个分析过程。 函数的定义与说明：函数的定义与说明：Ni(t)指在 t 时间间隔内对于第 i 个广告到达的呼叫次数;Zi 指第 i 个广告的协变数的向量 p1。 tiitN t(1)式(1)为 NHPP 的密度函数，反应广告的有效性。 ,iZiiot Zt e (2)式(2)为合并时间和协变量对呼叫影响的密度函数。 ot是基准密度函数，是参数的向量 p1。 jiZZjiieZtZt , (3)式(3)是调制过程模型的比例密度函数，描
7、述密度函数的比例。iZiietZt0, (4)式(4)为调制过程模型的累积密度函数，其中 t dsst000。ii ZnZiietnetZtntNP00 0exp!,| (5)式(5)表示在给定的iZt,0和tNi下任意时间间隔的呼叫数量。 iiiiiiii iiiZsZtnZsZtZnsNtNP,exp!, .|0 (6)式(6)是泊松模型中，在时间区间(s,t内的呼叫次数的可能性分布。tt 0 (7)式(7)中t0是调制泊松过程的基准密度函数，这是它的指数形式，0 且0。在此指数模式中，1 表示广告的有效性随着时间变坏。上述表达形式的规格表示第一个呼叫到达的时间分布是参数的布威尔密度。对(
8、7)式两边求对数，得到(8)。ttloglog)(log0 (8)式(8)求对数是期望得到的点能够呈现出线性，实例证明(7)式的指数形式很适合求对数，得到的式(8)画成散布图，线性比较明显，就可以很明确的观察出时间和呼叫数量之间的关系。例举图形如下所示：图 1.1 时间对于呼叫累计数量的散布图（对数）因为新进的呼叫中心日常平均达到研究表明，确定性的到达密度在标准泊松分布过程模型中是不合适的，所以我们提出了基于指数形式基准函数调制泊松过程模型（MPPM）的贝叶斯分析方法，在(7)式中呈现。贝叶斯方法需要用未知参数来体现不确定性，和协变参数向量通过指明一个优先分布 P(,)来描述可能性，tNi将没
9、有任何独立变量。这样，MPPM 的贝叶斯处理方法提供了减少分析呼叫到达数据难度的另一种模型框架。43 调制泊松过程模型的贝叶斯分析调制泊松过程模型的贝叶斯分析假设按照间隔到达如表 1，呼叫数据是可得的，但文中所提到的方法对于不适当的数据达到时间能够便于修改。如对于广告 i，tNi可表示将 rj时间段用端点 t=ti1 ,t ir来划分，且 ti1 t ir , i=1,m 。Di=ijitN=n(tij),j=1,ri , Zi。这里 Zi 指与广告 I 有关的协变向量，在各参数条件下的无异质性泊松过程的独立增量、在广告 i 下的呼叫数据、和可能函数可以得出式（9）：Li(iD;(.),0)=
10、 ijiijiirjjiijitntnZjiij tntnett11,),()(1,00 !)()(1(9),()(exp100iZjiijett由于(.),0和tNi假设是独立的，所以对于 i=1,.,m，(.),0的可能性函数为：L(D;(.),0)=miiiDL10),(.),( 其中，D=(D1,Dm) (10)式(10)中协变向量参数指系数的价值和标志，他可以提供关于形成呼叫的协变有效性的信息。例如，如果协变量是媒体的代价，那系数的积极价值为高水平广告导致高的呼叫密度。我们对于制定了对数优先，例如，这些分布的优先参数能够通过反映知识或重视程度的方式来被选择6。从我们应用的经验来说，结
11、果对于分布优先级的选择是稳健的。P(D|,)L(D;(.),0)P(,) (11)优先级是给定的，和得条件分布不能以任何可知形式获得，即数值是未知的。所以算例中的取值用的是模拟算法。但所有的分布函数都是对数凹性的，因而算例中的分布用的是适用驳回算法。P(Ni(t)=n|D)=)|,(),|)(DdpZntNPii (12)我们可以对任一时段的任一广告的呼叫达到数量做预测，则式(12)是对于广告 i 在时间间隔 t 内的先验分布，式中的积分不能分解地评估，因而我们应该用蒙特卡洛积分近似7。由此引出式(13)：P(Ni(t)=n|D) SlillliZtNES1)()()(),| )(1 (13)
12、式(13)中，n=0,1,2，所以，我们可以再某时间间隔内获得期望的呼叫数量。同样地，我们也能够估计到时间间隔在(s,t的对于广告 i 的呼叫数量可能性。即式(14)所示：P(Ni(t)-Ni(s) =n|D) SlillliiZnsNtNES1)()()(),|)()(1 (14)式(14)指给定的iZ,，即 Ni(t)条件独立的情况下，对于某一广告的呼叫次数的共同分布。公正地来说，事实上，广告和呼叫数据的联系不存在是比较普遍的，所以模型中建立了基准函数来对呼叫数量进行修正。对于独立广告呼叫，我们假设它的累积密度为式(15)所示： tttuuu00(15)为了反映广告独立呼叫的影响，u是重新
13、调节基准密度函数的随机部分。因为广告独立呼叫没有协变信息，式(4)的密度函数缩减为用u来代替iZe的协变效应。在贝叶斯的分析时，u的不确定性是用 P(,u)来表示。 KiiiittlZtZt10)(, (16)式(16)中的 ti0 是第 i 个那广告的公告日，l(.)是指示函数且 Z=(Z1,ZK)。式(16)是NHPP 的累积密度函数。建模异质性的一般策略应该考虑调制泊松过程模型的随机效应类型扩展。这包括式(17)在内的密度函数重新参数化：ttii)(0(17)调制泊松过程模型表明广告密度函数的不同能够被模型中的协变量充分反映。在许多案例中，协变量信息是不可得的，或者某些模型中的协变量不能
14、反映出广告的异质性，这些状况都是很有可能出现的。广告建模的异质性不仅要提高预测的绩效，而且要估计出不同广告和促销战略的有效性9。这种扩展导致贝叶斯设置的分层化，具体地，函数形式可以用式(18)来表示:ii (18)式(18)中的i是随机效应类目，我们假设i是条件独立的正常随机变量。进一步来说，我们也能够指定式(18)中的正常优先级，可能这在多变量的优先级中是不恰当的。我们假设先验的,和对于si和是独立的。P(D|,)miiiDLi1),(.),(0P(,) (19)式(19)是随机效应类型建模的利益先验分布，=(1,m),对于初始建模，先验分布不能通过分析获得，所以，所有的先验分布和预测分析都需要一个吉布斯采样器来做。剩下的完整的条件分布不符合任何标准形式，然而因为那些条件分布都是对数凹面性的，适应驳回样本法可以用于每个迭代样本中取样。式(20)
