概率论与数理统计假设检验

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1、第七章 假设检验统计推断的另一类重要问题是假设检验. 在总体分布未知或虽知其类型但含有未知参数的时候, 为推断总体的某些未知特性, 提出某些关于总体的假设. 我们要根据样本所提供的信息以及运用适当的统计量, 对提出的假设作出接受或拒绝的决策, 假设检验是作出这一决策的过程. 非 参 数 假 设 检 验参 数 假 设 检 验假 设 检 验参数假设检验针对总体分布函数中的未知参数提出的假设进行检验, 后者针对总体分布函数形式或类型的假设进行检验, 本章主要讨论单参数假设检验问题.第一节 假设检验的基本概念内容分布图示 引言 引例 假设检验的基本思想 假设检验的两类错误 假设检验问题的提法 假设检验

2、的一般步骤 例 1 例 2 多参数与非参数假设检验问题 内容小结 习题 7-1 返回内容要点：一、引例设一箱中有红白两种颜色的球共 100 个, 甲说这里有 98 个白球, 乙从箱中任取一个, 发现是红球, 问甲的说法是否正确?二、假设检验的基本思想假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法. 为了检验一个假设 是否0H正确, 首先假定该假设 正确 , 然后根据样本对假设 作出接受或拒绝的决策. 如果样本0H0H观察值导致了不合理的现象的发生, 就应拒绝假设 , 否则应接受假设 .0假设检验中所谓“不合理”,并非逻辑中的绝对矛盾,而是基于人们在实践中广泛采用的原则, 即 小概率事件在一

3、次试验中是几乎不发生的. 但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”, 显然, “小概率事件”的概率越小，否定原假设 就越有说服力. 常记这个概率值0为 ,称为检验的显著性水平. 对不同的问题, 检验的显著性水平 不一定相同, )10( 但一般应取为较小的值, 如 0.1,0.05 或 0.01 等.三、假设检验的两类错误当假设 正确时, 小概率事件也有可能发生 , 此时我们会拒绝假设 , 因而犯了“弃0H 0H真”的错误, 称此为第一类错误 . 犯第一类错误的概率恰好就是“小概率事件”发生的概率, 即P拒绝 | 为真= .0H反之, 若假设 不正确, 但一次抽样检验结果, 未发生不合理结果,

4、这时我们会接受 , 0 0因而犯了“取伪”的错误,称此为第二类错误. 记 为犯第二类错误的概率, 即P接受 | 不真= .0H理论上, 自然希望犯这两类错误的概率都很小。 当样本容量 n 固定时, , 不能同时都小, 即 变小时, 就变大;而 变小时, 就变大.。一般只有当样本容量 n 增大时，才有可能使两者变小。在实际应用中, 一般原则是: 控制犯第一类错误的概率 , 即给定 , 然后通过增大样本容量 n 来减小 .关于显著性水平 的选取: 若注重经济效益, 可取小些, 如 ; 若注重社会效01.益, 可取大些,如 ;若要兼顾经济效益和社会效益, 一般可取 .01. 5四、假设检验问题的一般

5、提法在假设检验问题中, 把要检验的假设 称为原假设(零假设或基本假设), 把原假设0H的对立面称为备择假设或对立假设, 记为 .0H1例如, 有一封装罐装可乐的生产流水线, 每罐的标准容量规定为 350 毫升. 质检员每天都要检验可乐的容量是否合格, 已知每罐的容量服从正态分布, 且生产比较稳定时,其标准差 毫升. 某日上班后, 质检员每隔半小时从生产线上取一罐, 共抽测了 6 罐, 测得容量5(单位为毫升) 如下 :353, 345, 357, 339, 355, 360.试问生产线工作是否正常?本例的假设检验问题可简记为:(1)350(,:,:0100 H形如(1)式的备择假设 , 表示

6、可能大于 , 也可能小于 , 称为双侧(边) 备择假设. 形1如(1)式的假设检验称为双侧( 边)假设检验.在实际问题中, 有时还需要检验下列形式的假设:(2).:,:0100(3)形如(2)式的假设检验称为右侧( 边)检验;形如(3)式的假设检验称为左侧( 边)检验;右侧(边) 检验和左侧( 边)检验统称为单侧(边)检验.为检验提出的假设, 通常需构造检验统计量, 并取总体的一个样本, 根据该样本提供的信息来判断假设是否成立.当检验统计量取某个区域 W 中的值时, 我们拒绝原假设 ,则称0H区域 W 为拒绝域, 拒绝域的边界占称为 临界点.五、假设检验的一般步骤(1) 根据实际问题的要求 ,

7、充分考虑和利用已知的背景知识, 提出原假设 及备择假设0;1H(2) 给定显著性水平 以及样本容量 n;(3) 确定检验统计量 U, 并在原假设 成立的前提下导出 U 的概率分布, 要求 U 的分0H布不依赖于任何未知参数;(4) 确定拒绝域 , 即依据直观分析先确定拒绝域的形式,然后根据给定的显著性水平和 U 的分布, 由P拒绝 | 为真=0确定拒绝域的临界值, 从而确定拒绝域;(5) 作一次具体的抽样, 根据得到的样本观察值和所得的拒绝域, 对假设 作出拒绝0H或接受的判断.六、多参数与非参数假设检验问题原则上, 以上介绍的所有单参数假设检验的内容也适用于多参数与非参数假设检验问题, 只需

8、在某些细节上作适当的调整即可, 这里仅说明下列两点:(1) 对多参数假设检验问题, 要寻求一个包含所有待检验参数的检验统计量 , 使之服从一个已知的确定分布;(2) 非参数假设检验问题可近似地化为一个多参数建设检验问题.鉴于正态总体是统计应用中最为常见的总体, 在以下两节中，我们将首先分别讨论单正态总体与双正态总体的参数假设检验.例题选讲：例 1 (讲义例 1) 某化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣粉, 洗衣粉包装机在正常工作时, 装包量 (单位: ), 每天开工后, 需先检验包装机工作是否正常. )2,50(NXg某天开工后, 在桩号的洗衣粉中任取 9 袋, 其重量如下:503,1497

9、,864,假设总体标准差 不变,即 试问这天包装机工作是否正常?,).(例 2 (讲义例 2) 某厂生产的一种螺钉, 标准要求长度是 68mm. 实际生产的产品， 其长度服从正态分布 考虑设检验问题),6.3(2N,8:oH6:1设 为样本均值，按下列方式进行假设检验:X当 时，拒绝假设1|68|;o当 时，接受假设.（1）当样本容量 求犯第一类错误的概率 ;,36n（2）当 时， 求犯第一类错误的概率4（3）当 不成立（设 ，又 时，按上述检验法，求犯第二类错误的概oH)7064n率 .第二节 单正态总体的假设检验内容分布图示 总体均值的假设检验（1） 例 1 例 2 总体均值的假设检验（2

10、） 例 3 例 4 总体方差的假设检验 例 5 例 6 内容小结 课堂练习 习题 7-2 返回内容要点：一、总体均值的假设检验当检验关于总体均值 （数学期望）的假设时，该总体中的另一个参数，即方差 是 2否已知，会影响到对于检验统计量的选择，故下面分两种情形进行讨论.1方差 已知情形2设总体 ,其中总体方差 已知， 是取自总体 X 的一个样本, )(2NX2nX,21为样本均值.1）检验假设 .其中 为已知常数.0100:,:H0由第五章第三节知, 当 为真时, ),1(/0NnXU故选取 作为检验统计量, 记其观察值为 u. 相应的检验法称为 u 检验法.U因为 是 的无偏估计量, 当 成立

11、时, 不应太大, 当 成立时, 有偏大的趋X0| 1H|u势, 故拒绝域形式为( 待定).knx/|0对于给定的显著性水平 ,查标准正态分布表得 , 使2/u|/UP由此即得拒绝域为.2/0/|nxu即 ),(),(2W根据一次抽样后得到的样本观察值 计算出 U 的观察值 u, 若 , 则拒nx,1 2/|绝原假设 , 即认为总体均值与 有显著差异; 若 , 则接受原假设 , 即认为总0H02/|u0H体均值与 无显著差异.类似地，对单侧检验有:(i) 右侧检验：检验假设 ，其中 为已知常数. 可得拒绝域为010:,:H0unx/(ii) 左侧检验：检验假设 ，其中 为已知常数.可得拒绝域为0

12、10:,:0/2方差 未知情形2设总体 ,其中总体方差 未知， 是取自 X 的一个样本, 与)(2NX2nX,21 X分别为样本均值与样本方差.S1）检验假设 .其中 为已知常数.0100:,:H0由第五章第三节知, 当 为真时, ),(/0ntST故选取 T 作为检验统计量, 记其观察值为 t. 相应的检验法称为 t 检验法.由于 是 的无偏估计量, 是 的无偏估计量, 当 成立时, 不应太大, 当 成立X20H| 1H时, 有偏大的趋势, 故拒绝域形式为|t( 待定).knsxt/|0对于给定的显著性水平 , 查分布表得 使),12/t(|TP由此即得拒绝域为.)(/|2/0ntsxt即

13、),1()1(,(22ntntW根据一次抽样后得到的样本观察值 计算出 T 的观察值 t, 若 nx,2 ),1(|2/nt则拒绝原假设 , 即认为总体均值与 有显著差异; 若 则接受原假设 , 0H0)1(|2/nt0H即认为总体均值与 无显著差异.类似地，对单侧检验有：(i) 右侧检验：检验假设 ，其中 为已知常数. 可得拒绝域为010:,:H0)(/0ntsxt(ii) 左侧检验：检验假设 , 其中 为已知常数. 可得拒绝域为010:,:0)(/0tnst二、总体方差的假设检验设 , 是取自 X 的一个样本, 与 分别为样本均值与样本方)(2NXnX,21 X2S差.1）检验假设 .其中

14、 为已知常数.20100:,:H0由第五章第三节知, 当 为真时, );1(220nSn故选取 作为检验统计量. 相应的检验法称为 检验法.2由于 是 的无偏估计量, 当 成立时, 应在 附近, 当 成立时, 有偏小或S20H2201H2偏大的趋势, 故拒绝域形式为或 ( 待定).1202kSn220kSn1,对于给定的显著性水平 查分布表得)(),(2/2/1使.21,/2/2 nPnP由此即得拒绝域为或 .)1(12/120s )(2/20s即 ,()(,0/2/1 nnW根据一次抽样后得到的样本观察值 计算出 的观察值, 若nx,21 2, 则拒绝原假设 , 若 ,则接)2/2/1或 0

15、H)1()1(2/1 nn受假设 .0H类似地，对单侧检验有:(i)右测检验： 检验假设: . 其中 为已知常数, 可得拒绝域201200:,:H0为 )(20nsn(ii)左侧检验：验假设： .其中 为已知常数. 可得拒绝域为201:,:0.)(202s例题选讲：总体均值的假设检验1. 方差 已知情形2例 1 (讲义例 1) 某车间生产钢丝, 用 X 表示钢丝的折断力 , 由经验判断 ),(2NX其中 ; 今换了一批材料 , 从性能上看估计折断力的方差 不会有什么变化 8,570 2(即仍有 ), 但不知折断力的均值 和原先有无差别 . 现抽得样本, 测得其折断力为:2 578 572 570 568 572 570 570 572 596 584取 试检验折断力均值有无变化?,.例 2 (讲义例 2) 有一工厂生产一种灯管, 已知灯