《§6重积分的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§6重积分的应用（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 6 重积分的应用教学目的与要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式教学重点：曲面面积的计算公式教学难点：物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式教学内容：本节介绍重积分在几何与力学方面的几点应用一 曲面的面积设 是可求面积的平面有界区域，函数 在 上具有连续的一阶偏导数，讨论由Df(x,y)D方程 f(,)z所确定的曲面 的面积 S为了定义曲面 的面积，对区域 作分割 ，它把T分成 个小区域 根据这个分割相应地将曲Dn).,21(ni面 也分成 个小曲面片 在每个 上任取一SSiiS点 ，作曲面在这一点的切平面 ，并在 上取出一小
2、块iMii，使得 与 在 平面上的 投影都是 ，如图 21-36iAiixyi所示现在点 附近，用切平面 代替小曲面片 ，从而i iAiS当 充分小时，有TniiS1niA1,这里 分别表示曲面 ，小曲面片 ，小切平面块 的面积 所以当iiAS, i i时，可用和式 的极限作为 的面积0Tnii1S现在按照上述给出的曲面面积的概念，来建立曲面面积的计算公式首先计算 的面积由于切平面 的法向量就是曲面 S 在 处的法向量，iAi),(iiM记它与 轴的夹角为 ，则zi.),(),(1cos22iyixi ff因为 在 平面上的投影为 ，所以iAxyiiiyixii ff ),(),(1cos22
3、其次，由于和数 iiyixnini ffA ),(),(2211是连续函数 在有界闭区域 上的积分和，于是当 ，就,),(22fyfxD0T得到 2201lim(,)(,)nxiyiiTSff(1),xyDffdx或， (2)其01licoss(,)niTDySnz中 为曲面的法向量与 轴正向夹角的余弦),cos(znz例 1 求圆锥 在圆柱体 内那一部分的面积2yxxy2解 据曲面面积公式(1)，DyxdzS21其中 是 所求曲面方程为Dxy2，2yxz故22,yxzyxz因此，11222 yxzyx所以 .422DdxySD二 重心设 是密度函数为 的空间物体， 在 上连续为求得 的重心V
4、),(z),(zyxVV坐标公式，先对 作分割 ，在属于分割 的每一小块 上任取一点( )，于是小TTivii,块 的质量可以 近似代替若把每一小块看作质量集中在 的质iv,iiivii点时，整个物体就可用这 个质点的质点系来近似代替由于质点系的重心坐标公式为n， ，ni iiiiiiivx1),(,ni iiii iiivy1),(,ni iiiiiiivz1),(,当 时， 的极限 即为 V 的重心坐标，即0T,nzyxzyx,， ， Vdzyx),(Vdzyx),(.),(Vdzyxz当物体的密度 均匀即 为常数时，则有（此时重心称为形心）,1,1,1VVV zdzydxd这里 为 的体
5、积V密度分布为 的平面薄板 的重心坐标是),(yD.),(,),(DDdyxydx当平面薄板 的密度均匀时，即 是常数时，则有.1,1DDyx这里 为平面薄板 的面积D 例 3 求密度均匀的上半椭球体的重心解: 设椭球体由不等式表示122czbyax由对称性知 又由 为常数，所以 0,x.32abczdxyVz由5 例 5 得 .8z三 转动惯量质点 对于轴 的转动惯量 是质点 的质量 和 与转动轴 的距离 的平方的乘AlJAmlr积，即 2mrJ现在讨论空间物体 的转动惯量问题我们把 看作由 个质点组成的质点系，然后VVn用取极限的方法求得 的转动惯量设 为空间物体 的密度分布函数，它在 上
6、连续对 作分割 ，在属于),(zyx VT的每一小块 上任取一点 ，于是 的质量可以 近似替代当Tiv,iiiviiiv),(以质点 近似替代 时，质点系对于 轴的转动惯量则是nii 2,1),(Vx.),()(12i iiiiix vJn 当 时，上述积分和的极限就是物体 对于 轴的转动惯量0T x.),()(2Vx dVzyzyJ类似可得物体 对于 轴与 轴的转动惯量分别为VyzVz dVzyxJ.),()(2同理，物体 对于坐标平面的转动惯量分别为V VzxyzVxdzyxJzyxJ.),(,),(22据此，也可建立平面薄板对于坐标轴的转动惯量：DyDxJy),(,)(22以及l dxr
7、J,)(,2这里 为转动轴， 为 中点 到 的距离函数l),(yxr),(yl例 4 求密度均匀的圆环 对于垂直与圆环面中心轴的转动惯量（图 21-38） D解: 设圆环 为 ,221Ryx密度为 ，则 中任一点 与转轴的距离平方为 于是转动惯量),(yx.yx，212 3212410()()RD mJdrdR其中 为圆环的质量m例 5 求均匀圆盘 对于其直径的转动惯量（图 21-39） D解 设圆盘 为 密度为 ，求对于 轴的转动惯量由于 内任一点,22RyxyD与 轴的距离为 ，故),(yxDRrddJ2022 )cos(2003cosRdr,412mR其中 为圆盘的质量m例 6 设某球体
8、的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量解 设球体由不等式 表示，密度函数为 ，22Rzyx22zyxk这里 为比例常数切平面方程为 ，则球体对于平面 的转动惯量为kRdxyzJV222)( 20032sin)cosin(Rdrrdk03 .kRd020 352 sicssinrk.916R四 引力求密度为 的立体对立体外质量为 1 的质点 的引力),(zyxA设 的坐标为 ， 中点的坐标用 表示我们使用微元法来求 对AV),(zyxV的引力 中质量微元 对 的引力在坐标轴上的投影为Vdm, 333 drzkdFVrkFrxkdFy 其中 为引力系数，k222)()()(z是 到 的距离于是力 在三个坐标轴上的投影分别为AdVFVyx drkFdrkF,33 ,3Vzdrk所以 .jizyx例 7 设球体 具有均匀的密度 ，求 对球外一点 （质量为 1）的引力VA（引力系数为 ） k解 设球体为 ，球外一点 的坐标为（ ） （ ） 22Rzyxa,0R显然有 ，现在计算 由上述公式，0yxFzFdxyzazyxkVz 2/32)(,)()( 2/32RDda其中 用柱坐标计算：.),(22zRyxDdrazrdakFzRz 202/3)()(Ra21(2.342ka作业题：1，2，
