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1、 初探中考试题中存在性探求问题的求解策略安徽 宣城六中 李庆银 TEL： 13865362899探索性问题多年来一直备受各级各类考试的青睐，存在性探求问题是其中极其重要的一种。这类问题常出现“是否存在”“是否变化”等疑问句，以示结论有待判断，证明。由于这类题目较好的检测学生素质和能力，近几年来，在中考试题中，特别是压轴题中经常出现，在竞赛中也时有出现。由于这类题型问题多样，背景丰富，没有固定的解法，解答时需要灵活判断，综合运用基础知识，基本技能和数学思想方法。本文试通过几例，初步探讨解答此类问题的一般策略，思路，方法。一般回答这类问题采用假设推证-定论。一般是从存在方面入手，寻求结论成立条件，
2、若能找到这个条件，则回答是肯定的，若找不到这个条件或找到的这个条件与已知条件矛盾，则问题的回答是否定的。例题 1 2010 年恩施自治州初中毕业及高中招生考试第 24 题（压轴题）24.(12 分) 如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 x 轴交于cbxy2A、 B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3， 0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点 .（1）求这个二次函数的表达式（2）连结 PO、PC ， 并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPC ，那么是否存在点/P，使四边形 POPC 为菱形？若存在，请求出此时点 P
3、 的坐标；若不存在，请说明理/由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积 .思路与策略：（1）二次函数表达式中有 2 个未知字母 b 和 c，只要能找到 2 点或 2 条件带入即可，由题知将 B，C 两点坐标代入可求出。 （2）在回答是图 11否存在 P 点时，先假设存在，在草稿上用铅笔画出 P 关于 Y 轴对称的 P ，根据菱形的性/质，对角线互相垂直平分，知道 P P 垂直平分 OC，从而知道 P 的纵坐标，继而求出它/的横坐标。 （3）假设在抛物线上且在 BC 下方的 P 点符合要求，做 PE 垂直 AB 于 E
4、，交BC 于 Q，运用面积分割法，得 BQOECABSSCPQBACBP 2121四 边 形根据坐标关系和图形知，QP= PEQE，令 P（x ， ） ，Q（x，x3）.，得2QP= （ x3）（ ）=3xx 2,带入即可，化简成二次函数，用配方法确定顶点32即可解决。24、 解：（1）将 B、 C 两点的坐标代入得 2 分30cb解得： 2所以二次函数的表达式为： 3 分32xy（2）存在点 P，使四边形 POP C 为菱形设 P 点坐标为（x ， ） ，/ 32xPP 交 CO 于 M/若四边形 POP C 是菱形，则有 PCPO/连结 PP 则 PE CO 于 M，/OM=MC= 23
5、= 6 分y = 32x解得 = ， = （不合题意，舍去）1x0210P 点的坐标为（ ， ）8 分23（3）过点 P 作 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 E，设 P（x ，y） ，32x易得，直线 BC 的解析式为 3xy则 Q 点的坐标为（x，x3）. EBQPOCABSSCPQBACBP 2121四 边 形 3)(421x= 10 分87532x当 时，四边形 ABPC 的面积最大23x此时 P 点的坐标为 ，四边形 ABPC 的415,面积 1287的 最 大 值 为例 2 2010 年桂林市初中毕业升学考试第 26 题（压轴题）26 （本题满分 12 分）如图，过
6、 A（8，0） 、B（0， ）两点的直线与直线 交83xy3于点 C平行于 轴的直线 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 轴向右yl平移，到 C 点时停止； 分别交线段 BC、OC 于点 D、E，以 DE 为边向左侧作等边DEF，设DEF 与BCO 重叠部分的面积为 S（平方单位） ，直线 的运动时间为lt（秒） （1）直接写出 C 点坐标和 t 的取值范围； （2）求 S 与 t 的函数关系式；（3）设直线 与 轴交于点 P，是否存在这样的点 P，使得以 P、O、F 为顶点的三角lx形为等腰三角形，若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 A8COB备 用 图 1
7、83xy3yxA8PCEODFBl3yxxy83 (本题 12 分)思路与策略：（1）C 是直线 AB 与 OC 的交点，根据两点 A，B 坐标求出直线 AB 的表达式，后与直线 OC 表达式联立即可。或利用 tanA= tanCOA= ,得出A= COA=600， OAC3为正三角形，易得 C 的坐标。 （2）在以 DE 为边向左侧作等边DEF 时 ，发现 F 有落在 Y轴内，Y 轴外，Y 轴上可能。首先求出 F 落在 Y 轴上时，由线段 DE 等于 D 的纵坐标减去E 的纵坐标，设它们的横坐标为 t,利用前面的知识得 D 点的坐标是（ ， ） ，t38tE 的坐标是（ ， ）t3DE= -
8、 = 在利用 300 的直角三角形中，60 0 所对的8t32t直角边是 300 所对的直角边的 倍关系，得到它的高是（ ） ，建立关系，然后分两123t种情况分别计算，利用不同的图形，在备用图中运用梯形的公式不难得到。 （3）中正常情况下等腰三角形有三种可能。在用铅笔直线演绎运动时感觉有的边相等不太可能，从长短来看容易发现 FO BO= ，FP BO = ，OP 4，腰只有可能是21432143FO，FP,且 F 在 Y 轴的右侧，假设二者相等，根据对称性知 F 在 OP 的垂直平分线上， 根据等腰三角形的三线合一的性质知等边DEF 的 DE 边上的高为： ，它为 OP 的一12t半，建立关
9、系，顺而解出。解（1）C（4， ） 2 分3的取值范围是：0 4 3 分tt（2）D 点的坐标是（ ， ） ，E 的坐标是（ ， ）t83tDE= - = 4 分38t2t等边 DEF 的 DE 边上的高为： 1当点 F 在 BO 边上时： = ， =3 5 分3tt 当 0 3 时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为： - 7 分t 832tS= 23(83283)tttt= 146)tt= 8 分2738t 当 3 4时，重叠部分为等边三角形S= 9 分1()(132tt= 10 分348t（3）存在，P（ ，0） 12 分7说明：FO ，FP ，OP 43以 P，O，F 以顶点的等腰三角
10、形，腰只有可能是 FO，FP,若 FO=FP 时， =2（12-3 ） ， = ，P（ ，0） tt247例 3 2010 年黑龙江鸡西市初中毕业学业考试第 28 题（压轴题）28. (本小题满分 10 分）如 图 ,矩 形 OABC 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,若 OA、 OC 的 长 满 足.2230 求 B、 C 两 点 的 坐 标 . 把 ABC 沿 AC 对 折 ,点 B 落 在 点 B处,线段 AB与 x 轴 交 于 点 D,求 直 线 BB的 解 析式 在 直 线 BB上 是 否 存 在 点 P,使 ADP 为 直 角 三 角 形 ？ 若 存 在 ,请 直 接 写 出P
11、 点 坐 标 ； 若 不 存 在 ,请 说 明 理 由 .A8PCEODFBl3yxxy83xBBAyCDO思路与策略：（1）由非负数的性质知：OA=2 ，OC=2 ，易得：B（2 ，2） ，C（233，0）.（2）由 tan1= = ，所以1=30 0，由翻折知，1=2=30 0，推出3323=300，要求 B的 坐 标 ， 作 BE 垂 直 Y 轴 于 E， 由 AB=A B=2 3利用 300 的直角三角板形特殊关系得 BE= ，AE=3，3又 AO=2，所以 B（ ，1） ，根据 B，B 两3点 坐 标 确 定 一 次 函 数 表 达 式 ， y= x4（3）假设在在直线 BB上 有 P 点 ， 画 出 草 图 感 受 出 它的 两 种 可 能 ， 由 特 殊 度 数 和 边 角 关 系 ，PAB=300，AB B=600， 所 以 P1=300，推出 AB=BP1，过 P1 做 AB 的 垂 直 线 交 AB 于 M， 根 据 300直 角 三 角 形 性 质 得 BM= ，P 1M=3，所以 P1（ 33 ，5） ，同理 推出 P2（ ，1） ，或用两直线的交点问题也可求，既联立两个一次5函数的表达式求解。解答过程略。
