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1、1整系数多项式不可约的判别法整系数多项式不可约的判别法曾成芳(玉溪师范学院理学院数学与应用数学专业 2010 级 1 班, 学号: )指导教师: 刘云摘要摘要: : 要想判断一个整系数多项式在有理数域是否可约,有我们学过的著名的艾森斯坦（Eisenstein）判别法,该判别法给出了判别整系数多项式不可约的一个充分条件,但它只能判别一部分整系数多项式,其应用范围有限,本文在艾森斯坦（Eisenstein）判别法的基础上对其进行推广和变形,并给出了一种新的判别方法来改进其不能判别有些多项式的缺陷.本文首先讨论了艾森斯坦（Eisenstein）判别法；其次在艾森斯坦（Eisenstein）判别法的基
2、础上对其进行推广和变形,并给出了一种新的判别方法来改进其不能判别有些多项式的缺陷；最后通过例题对方法进行了说明。关键词关键词: :艾森斯坦（艾森斯坦（EisensteinEisenstein）判别法；可约；不可约；整系数多项式；素数）判别法；可约；不可约；整系数多项式；素数正文：正文：在高等代数中介绍了艾森斯坦判别法，他是判别整系数多项式为不可约多项式的一个非常有用的判别法，但这个方法使用时有其局限性，本文介绍为 2 个方法，使用它可以判断一些无法使用艾森斯坦判别法判断的整系数多项式的可约性。如何来判定一个整系数多项式在有理数域是否可约?满足什么条件的整系数多项式在有理数域才具有可约性?本文结
3、合素数给出了以下判别法.一、一、 艾森斯坦判别法及其推广艾森斯坦判别法及其推广定理 : 【艾森斯坦（Eisenstein）判别法】 设 =是一个)(xf01.axaxan nn n整系数多项式如果有一个素数，使得p1. 不能整除;pna2. |;p021,.,aaann3. 不能整除p0a那么在有理数域上是不可约的.)(xf证明 : 如果在在有理数域上是可约的，那么有定理知，可以分解成两个)(xf)(xf次数较低的整系数多项式的乘积,= )(xf).)(.(01 101 1cxcxclxxbm mm ml ll l 2(nmlnml ,)因为,所以能整除或，但是不能整除，所以 不能同时整除及.
4、p0a0b0cp0ap0b0c因此不防假定,但 p 不整除.另一方面，因为不整除，所以不能整除.p0b0cpnaplb假设中第一个不能被整除的是，比较中的系数，得等式lbbb,.,10pkb)(xfkx.式中都能被素数整除，所以也能被kkkkcbcbcba0110.01,.,bbakkp0cbk整除，但是一个素数，所以和中至少有一个被 整除，这是一个矛盾，定理得ppkb0cp证.例 1 设= 判断在有理数域上是否可约？)(xf136 xx)(xf解：不能直接应用艾森斯判别法，令 代入=中得，)(xf1 yx)(xf136 xx=,取素数=3,则) 1()(yfyg39182115623456y
5、yyyyyp36，315，321，318，39，33，但 3 不能整除 1，且 3不能整除 3，满足艾森斯判别法，在有理数域上不可约，所以在有理数域上不可约.)(yg)(xf例 2 设= 判断在有理数域上是否可约？)(xf4123xx)(xf解：首先我们可以看出不满足艾森斯坦判别法，且经过一些变换也不能满足艾)(xf森斯坦判别法，但在有理数域上是不可约的.)(xf有些整系数多项式不满足艾森斯坦判别法的判别条件，但也是不可约的，由此可见艾森斯坦判别法的应用受很大的限制，在此给出了艾森斯坦判别法的一个有益的推广，得出定理如下：定理：设=（）是一个整系数多项式，并且)(xf01 1.axaxan n
6、n n 0na没有有理根，如果能找到一个素数使)(xfp1. 不能整除；pna2. ；p110,.,naaa3. 不能整除；p1a3那么在有理数域上不可约.)(xf证明：设在有理数域上可约，易知能分解成两个次数都小于的整系数多)(xf)(xfn项式的乘积，设=, =，)(xf)(xg)(xh)(xg01 1.bxbxbk kk k =（）,显然不能整除不能整除的所有系数，的所有系数，)(xh01 1.cxcxcl ll l nlknlk ,p)(xg也不能整除也不能整除的所有系数的所有系数，令，各是和中第一个不能被整除的系数.)(xhsbtc)(xg)(xhp情形 1：如,考察系数有，因为，n
7、tststststsbbcbcba0110.nts有条件 2 可知，,又等式右边除外都能被整除，所以,但是素数，ptsatscbpptscbp所以或，与和不能被整除矛盾.psbptcsbtcp情形 2：如，此时必有,考察. ntsltks ,ksbb ltcc 10011cbcba因为没有有理根，所以,因此|,|,|,|,由等式)(xf1, 1lkp0bp1bp0cp1c知，|与条件 3 不能整除矛盾.10011cbcbap1ap1a综上可知在有理数域上不可约.)(xf推论推论: : 设设= =（）是一个整系数多项式，）是一个整系数多项式，没)(xf01 1.axaxan nn n 0na)(
8、xf有有理根，如果能找到一个素数使得p1. |(=1,2,n);piai2. 不能整除；p0a3. 不能整除；p1na那么在有理数域上不可约.)(xf证明：令= 代入中得xy1)(xf，而，nn ya yaayf.)1(1 0nnnnayayayfyy.)1()(1 10显然在有理数域上不可约的充要条件是在有理数域上不可约，由定理知不)(xf)(y)(y4可约，所以在有理数域上不可约.)(xf例 1 设判断在有理数域是否可约？96915)(234xxxxxf)(xf解：易知没有有理根，取=3, 3|9，3|6，3|15，3|9，不能应用艾森斯坦判)(xfp别法，由于 3不能整除 6，有定理可知
9、在有理数域上不可约.)(xf例 2 设判断在有理数域是否可约？126184)(234xxxxxf)(xf解：易知没有有理根，取=2,2|4,2|6,2|18,2|2,2 不能整除 1 )(xfp2不能整除 18，由推论可知在有理数域上不可约.)(xf定理定理 1 1：设 是一个整系数多项式，若没有有理根，并能n nxaxaaxf.)(10)(xf找到一个素数，使：（1）中至少有一个不能被整除；（2）p1,nnaap都能被整除；（3）不能被整除，那么整系数多项式在有)2,.,2 , 1(niaip0a2p)(xf理数域上不可约。证明：用反证法，若在有理数域上可约，则可以分解成 2 个次数都低于)
10、(xf)(xf的次数的整系数多项式的乘积；，这里)(xfn)()()(xhxgxf，由此可得，因为无l lk kxcxccxhxbxbbxg.)(,.)(1010000cba )(xf有理根，而由假设可约知：，所以)(xf2)(),(min(xhxg，因为能被整除，是一个素数，所以或被整1,4)(nlkxf0app0b0cp除，但不能被整除，所以不能同时被整除，不妨假定被整除，而不0a2p00,cbp0bp0c被整除，不能整除的所有系数，否则，与条件（1）矛盾。令中第一个被pp)(xg)(xg整除的系数是，考察等式，由于sbsssscbcbcba0110.能被整除，中至少有一个被整除，矛盾，命
11、题01,., 1, 1,bbansnlkssp0,cbsp成立。定理定理 2 2：设是一个整系数多项式，若没有有理根，并能找n nxaxaaxf.)(10)(xf5到一个素数，使：（1）中至少有一个不能被整除：（2）都能被p10,aap),.,2(niai整除；（3）不能被整除，那么整系数多项式在有理数域上不可约。pna2p)(xf证明：用反证法，若在有理数域上可约，则可以分解成 2 个次数都低于)(xf)(xf的次数的整系数多项式的乘积：，这里)(xfn)()()(xhxgxf，由此可得，因为无l lk kxcxccxhxbxbbxg.)(,.)(1010lkncba )(xf有理根，因为能
12、被整除，但不能被整除，所以不能同时, 1,2nlknapna2plkcb ,被整除，不妨假定被整除，而不能被整除，不能整除的所有系数，否pkbplcpp)(xg则，与条件（1）矛盾。令中第一个被整除的系数是，由于，所)(xgsb2, 1knks以，考察等式，由于，所以2 sl1,.011nscbcbcbalslslsls2 sl能被整除，中至少有一个被整除，矛盾，命题得证。lsslsbba,.,1plscb ,p例例 1 1：54237333)(xxxxxf解：最高项系数的因数为，常数项因数为。故一切可能的根为，3, 13, 131, 3, 1通过验证可知它们都不是的根，又能找到一个素数，使得
13、 7 不能被整除，3)(xf3pp能被整除，3 不能被整除，满足定理 2 的条件，故不可约。p2p)(xf例例 2 2：54233371)(xxxxxf解：最高项系数的因数为，常数项因数为，故一切可能的根为根为，通过验证3, 113, 1可知它们都不是的根，又能找到一个素数，使得 1,7 不能被整除，3 能被)(xf3pp整除，3 不能被整除，满足定理 3 的条件，故不可约p2p)(xf而这 2 个例题，无法直接使用艾森斯坦判别法进行判定。二二 通过比较整系数多项式的系数大小来判定多项式的不可约通过比较整系数多项式的系数大小来判定多项式的不可约. .定理：设= 是一个整系数多项式，如果 )(x
14、f011 1.axaxaxn nn 61+|+,则在有理数域上是不可约的.定理的使用1na2na3na01aa )(xf很方便，但要求最高次数项系数是 1，且定理证明要用到复变函数论，本文用初等方法得到了如下定理.定理 1 设= （0 ）是整系数多项式且|)(xf011 1.axaxaxan nn n na|是素数，如果 则在有理数域上是不可约的.na021.aaaannn)(xf证明：1. 首先证明：若=0, 则1,设满足若=0 则)(zfzz)(zf, ,如果).(02 21 1azazazan nn nn n 02 11 1.azazazan nn nn n 1,则,z 1 021).(
15、 n nnn nzaaaza于是，与已知矛盾，所以1.011.aaazaannnnz 2.假设在有理数域上是可约，则存在两个次数都小于的整系数多项式 u(x)和)(xfnv(x)使得= .)(xf)(xu)(xv设=，= ，因|是素数，)(xu01 1.bxbxbt tt t )(xv01 1.cxcxcs ss s na则或，不妨设，又，所以是非零整数，nstacb1tb1sc1tb0000 acb0b设是 u(x)=0 全部根.由 1 得 （=1,2,t）,由根与系数的关系推tzzz,.,211izi得|= 与是非零整数矛盾，所以在有理数域上不可约.0btbb01.21tzzz0b)(xf定理 2 设=是 n 次整系数多项式，是素)(xf011 1.axax
