《数学物理方法复变函数部分复习提纲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方法复变函数部分复习提纲（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 复变函数部分复习提纲一、一、复变函数及其导数复变函数及其导数1明确区域的概念，了解导数定义明确区域的概念，了解导数定义 2掌握可导的必要条件、充要条件掌握可导的必要条件、充要条件必要条件：必要条件：条件Riemann-Cauchy, xv yu yv xu充要条件：充要条件：函数 f(z)的偏导数存在，且连续，并且满足柯西黎曼方程。xv yu yv xu ,3掌握解析函数的概念及其性质掌握解析函数的概念及其性质（重点：解析函数的实部和虚部通过 C-R 方程相互联系，并不 独立只要知道解析函数的虚部(或实部)，就可求出相应的实部(或虚部).例题：1. 已知解析函数的实部，求这个解析函数。)(z
2、f22yxu2. 某个区域上的解析函数如为实数，试证它必为常数。二、二、复变函数的积分复变函数的积分1了解积分的定义了解积分的定义,及其积分的性质及其积分的性质 2掌握单通区域柯西定理及其复通区域柯西定理掌握单通区域柯西定理及其复通区域柯西定理单通区域柯西定理: 如果函数 f(z)在闭单通区域解析, 则沿上任一分段光滑闭合曲线 l (也可BB 以是的边界),有B0)(ldzzf复通区域柯西定理：如果 f(z)是闭复通区域上单值解析函数, 则B0)()(1 nillidzzfdzzf式中: l 为区域外境界线, 诸 li 为区域内境界线,积分均沿境界线的正方向进行.或者 。 nillidzzfd
3、zzf1)()( 逆逆例： a,10a, 11)(21 不包含或的整数包含lnlnazdz iln3掌握掌握 Cauchy 积分公式、解析函数的无限次可微性积分公式、解析函数的无限次可微性 Cauchy 积分公式：积分公式：若 f(z)在闭单通区域上解析, l 为的围线, 为内任意一点, 则BB 有柯西公式:一般写为：，特别 ldzzzf if)( 21)( ldzf izf )( 21)(idzzl21 dzf inzf lnn1)()( 2!)(）（三、三、复变函数的级数展开复变函数的级数展开1掌握一般有理分式洛朗级数展开掌握一般有理分式洛朗级数展开设 f(z)在环形域 R2|z-z0|R
4、1内单值解析，则对环内任意一点 z, 有kk kzzazf0)( dzf ia Ckk1 021）（例题 将函数分别在和的环形域上展为洛朗级数。) 1(1)(zzzf, 10 z110 z将。上展开在2, 21, 1)2)(1()(2zzzzzzzf将分别在和上展开。11)(zzf, 1z1z将在 z0=1 展开。) 1(1)(2zzzf将分别在上展开。)3)(2(1)(zzzf3z2了解孤立奇点及其分类了解孤立奇点及其分类若 f(z)在 z0没有主要部分，则称 z0为 f(z)的可去奇点。Rzzzzaazf00000)()(L若 f(z)在 z0的主要部分只有有限项，则称 z0为 f(z)的
5、 m 阶极点。)0()(1 )()(010 00 mmmazzaazza zzazfLLL或者写成 0)()()()()(00 0zzzzzzzfm点解析且在，若 f(z)在 z0的主要部分含无穷多项，则称 z0为 f(z)的本性奇点 掌握判断孤立奇点的方法。掌握判断孤立奇点的方法。四、四、留数定理及其应用留数定理及其应用1 掌握留数的定义及其留数定理掌握留数的定义及其留数定理留数定理： njjlbsfidzzf1)(Re2)(若 z0为 f(z)的 m 阶极点，则)()(lim)!1(1)(Re0110 0zfzzdzd mzsfm mmzzz0为 f(z)的一阶极点，则 或)()(lim)
6、(Re00 0zfzzzsf zz )()()(Re00 0zQzPzsf2掌握留数定理的应用掌握留数定理的应用（1）积分20)sin,(cosdxxxRdzizdxizz ieexzzeexezixixixix ix1,22sin22cos,11 ，则令 dzizizzzzRI z1)2,2(111（2）无穷积分 b1bjll1lj 0Im)(Re2)(kzkzsfidxxf）个一阶极点（实轴上mmjj zkbbmbsfizsfidxxfkL1 10Im)(Re)(Re2)( （3）无穷积分 mxdxxfmxdxxfcos)(sin)(， 0Im)(Re2)(kkzimz kimxezsfi
7、dzexf（） mjimb j zimz kimxjkkebsfiezsfidzexf10Im)(Re)(Re2)(mbbmL1个一阶极点实轴上例题：分别计算 I=;；20cos21dxx 02222)(dxaxxI 0222)(cosdxaxmxI, 022)(sindxaxxmxI -221dxaxI五、五、付里叶积分与变换付里叶积分与变换1掌握付里叶积分与变换的概念掌握付里叶积分与变换的概念称为Fourier 变换，defFi)(21)()(xf)()(xfFF记为：为Fourier 积分（或者的逆变换）记为：deFxfxi)()()(xf)(F)()(1FFxf2了解了解 Fourie
8、r 变换的性质变换的性质)()(FixfF)(1)(FidfFx)(1)(aFaaxfF)()(0 0FexxfFxi)()(00 FxfeFxi)()(2)()(F2121FFxfxf的卷积和为)()()()()()(212121xfxfdxffxfxf3掌握掌握 Driac- 函数的定义及其性质函数的定义及其性质 函数定义：满足下列性质的函数1)()(000)()( dxxiixxxi性质：)()()()()(xxxxx函数，是偶函数，其导数是奇)()()(00xfdxxxxfdexxdedeCxdxexCxxixixixi)( 00 21)(21)()(21)(21)(六、六、Lapla
9、ce 变换变换1定义：称 为 f(t) 的 L 变换，记为 0)()(dtetfpfpt)()(tfLpf逆变换 ， )()(1pfLtf复平面上的留数之和）()(Re2)(ktp kkepf sitf2. 基本性质 tfLtfLtftfL2121 00001221nnnnnnfpffpfptfLptfLL tfLepfetfLpp pfpftfLtfLdtffLt2121021 )(21021tftfdtfft3了解其解常微分方程的应用数理方程部分复习提纲七、七、数学物理定解问题数学物理定解问题1.熟悉三类古典物理问题泛定方程的导出熟悉三类古典物理问题泛定方程的导出：即波动问题，热传导（扩散
10、）问题，稳定场问题，),(22 2 22 txfxuatufuatu22),(2zyxfu 2.熟悉三类边界条件的导出：熟悉三类边界条件的导出：fnuHufnufu边界边界边界第三类第二类第一类)(,213.对一般物理问题能写出定解问题。对一般物理问题能写出定解问题。 4.掌握一维动问题的达朗贝尔公式及其物理意义掌握一维动问题的达朗贝尔公式及其物理意义八、八、分离变量法（直角坐标与平面极坐标）分离变量法（直角坐标与平面极坐标）1.掌握分离变量法的步骤掌握分离变量法的步骤 2.例题：求解下列定解问题：例题：求解下列定解问题： 0)(),(00022 2 22lxxttt uuxuxuxuatu0
11、0000 022 2xxxtuuxluuxuatu 0)(),()0(00022 2 22lxxxxttt uuxuxulxxuatu)(),(),2(cos)()(00002隐含条件作零电势有相对意义可以当空间中元电荷边界上uuExEuuuu )()2()(10222 0222uufuuaatut3.了解非齐次方程求解方法了解非齐次方程求解方法: 以定解问题 0,0)(),(),(00022 2 22lxxttt uuxuxutxfxuatu为例，说明本征函数展开法求解分齐次方程的步骤。 4.了解非其次边界条件的处理方法。了解非其次边界条件的处理方法。九、九、二阶常微分方程的级数解法二阶常微
12、分方程的级数解法1. 了解常点邻域上和正则奇点邻域上的级数解法。 2. 掌握斯特姆掌握斯特姆-刘维尔本征值问题的一般结论刘维尔本征值问题的一般结论。十、十、分离变量法（球坐标系）分离变量法（球坐标系）1.轴对称球函数轴对称球函数（1）球函数方程： 0) 1(sin1sinsin1222 YllYY （2）勒让德方程本征值问题：) 1(012)1 (22 2）（lldxdxdxdx本征值问题的本征值：l(l+1), l=0,1,2,3,. 本征函数： Pl(x) （勒让德多项式）其中： )(21)(2 2)!2()!(2 !)!22() 1()(220为奇数为偶数llll lxklklkklxP
13、kllklk l或 或 l llllxdxd lP) 1(!212dzxzz ixP lllll12)() 1( 221)()35(21),13(21, 13 32 210xxPxPxPP也称为轴对称球函数)()()(0xPYl（3）L 多项式的正交完备性)(0)()(11lkdxxPxP lk122)(1122 ldxxPNlldxxPxfldxxPxfNfxPfxfll lll ll 111120)()(212)()(1)()(（4）拉普拉斯方程球对称问题的一般解：)(cos)(),(01l llll lPrBrAru2.例题：求解以下定解问题例题：求解以下定解问题（1） 22cos)0(00rruru)()0(002fururr（2）均匀静电场中放置一半径为的均匀介质球，求球内外的电场强度。0E0r（3）均匀静电场中放置一半径为的导体球，求球外的电场强度。0E0r（4）求解同心球壳内的定解问题： )()()(02121221 fufuRrRuRrRr3. 非球对称问题：非球对称问
