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1、高等代数课程教学大纲一、 课程说明1、课程性质：高等代数是高等院校数学系数学与应用数学专业的一门重要基础课。对学生数学思想的形成有着重要意义，是进一步学习近世代数、 常微分方程等后继课的基础，也为深入理解中学数学打下必要的基础。高等代数是现代数学的基础知识，是学习其它数学学科和现代科学知识的必备基础和重要工具，尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科的发展均需要代数学的知识与支持。高等代数也是师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课程，既是中学代数的继续和提高，对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用，又是输送更高层次优秀人才的专业知识保证。
2、2、课程教学目的要求（1）使学生掌握多项式理论、 线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。(2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。(3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。(4) 逐步培养学生的对真理知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。(5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。(6) 根据教学的实际内容的需要
3、， 对大纲所列各章内容， 分别提出了具体的目的要求， 教学时必须着重抓住重点内容进行教学。本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、-矩阵、欧几里得空间等。本课程教学重点应放在多项式理论与线性代数理论。多项式理论以一元多项式的因式分解唯一性定理为主体介绍了有关多项式的一些必要的知识，为后继课提供准备；线性代数部分则较为系统地介绍了线性方程组，线性空间与线性变换理论。本课程的难点有行列式的Laplace 定理的展开定理，线性变换的值域与核、线性空间按特征值分解成不变子空间的直和，-矩阵和 Jordan标准形的推导
4、等。3、先行或后继课高等代数是在中学代数基础上在第一、第二学期开设的课程，是中学代数的深化与提高。后继课程有近世代数、群论、环论等课程，它也是数学专业其他课程的基础。4、教学时数分配表本课程学分为 12学分。本课程讲授时间为一学年共186学时，第一学期 84 学时，第二学期102学时。其各章学时分配如下：章节目录课时分配第一章多项式第一节数域1 27 第二节一元多项式1 第三节整除的概念2 第四节最大公因式2 第五节因式分解定理2 第六节重因式2 第七节多项式函数2 第八节复系数与实系数多项式的因式分解2 第九节 有理系数多项式3 第十节 多元多项式2 第十一节对称多项式2 习题课6 第二章行
5、列式第一节引言1 17 第二节排列1 第三节n 级行列式2 第四节n 级行列式的性质2 第五节行列式的计算2 第六节行列式按一行（列）展开2 第七节克拉默（ Cramer）法则2 第八节拉普拉斯（ Laplace ）定理 .行列式的乘法规则2 习题课4 第三章线 性 方程组第一节消元法2 22 第二节n 维向量空间2 第三节线性相关性4 第四节矩阵的秩2 第五节线性方程组有解判别定理2 第六节线性方程组解的结构4 习题课6 第四章矩阵第一节矩阵概念的一些背景1 17 第二节矩阵的运算2 第三节矩阵乘积的行列式与秩2 第四节矩阵的逆2 第五节矩阵的分块2 第六节初等矩阵2 第七节分块乘法的初等变
6、换及应用2 习题课4 第五章二次型第一节二次型及其矩阵表示2 16 第二节标准型4 第三节唯一性2 第四节正定二次型4 习题课4 第六章线 性 空间第一节集合. 映射1 19 第二节线性空间的定义与简单性质2 第三节维数. 基与坐标2 第四节基变换与坐标变换2 第五节线性子空间2 第六节子空间的交与和2 第七节子空间的直和2 第八节线性空间的同构2 习题课4 第 七 章线 性 变换第一节线性变换的定义1 27 第二节线性变换的运算3 第三节线性变换的矩阵4 第四节特征值与特征向量3 第五节对角矩阵2 第六节线性变换的值域与核2 第七节不变子空间3 第八节若当（ Jordan）标准形介绍1 第九
7、节最小多项式2 习题课6 第八章-矩阵第一节-矩阵1 17 第二节 - 矩阵在初等变换下的标准型2 第三节不变因子2 第四节矩阵相似的条件2 第五节初等因子2 第六节若当（Jordan）标准形的理论推导2 第七节矩阵的有理标准形2 习题课4第九章欧 几 里德空间第一节定义与基本性质2 24 第二节标准正交基2 第三节同构2 第四节正交变换2 第五节正交子空间2 第六节实对称矩阵的标准形4 第七节向量到子空间的距离 . 最小二乘法2 第八节酉空间介绍2 习题课6 总课时数186 5、使用教材本课程选用的教材是北京大学数学系编高等代数第三版6、教学方法与手段采用课堂讲授及讨论的教学方法，本课程以黑
8、板讲授为主， 辅以多媒体演示， 由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多引导思考；要注重对教材内容各个知识点的理解，对教学内容、教学方法与教学手段的改革，要突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；要注重对学生证明技巧、证明思路的训练；要增强以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；要让学生多加练习、多加思考，提出问题，质疑解答。7、考核方式考试成绩按百分制计算,其中考试成绩占80%,平时作业、课堂考核占20% 8、主要参考书目1.张禾瑞、郝炳新 . 高等代数 .北京：高等教育出版社， 1983. 2.姚慕生 . 高等代数 .上海：复旦大学出版社，2002. 3.蓝
9、以中 . 高等代数 . 北京：北京大学出版社， 2000. 4.陈志杰 . 高等代数与解析几何 . 北京：高等教育出版社， 1996. 5.张贤科 . 高等代数 . 北京：清华大学出版社（第二版） ，2004. 6.李师正 . 高等代数解题方法与技巧 . 北京：高等教育出版社，2004. 7.王品超 . 高等代数新方法 .徐州：中国矿业大学出版社，2003. 8.钱吉林 . 高等代数题解精粹 . 北京：中央民族大学出版社，2002. 9.张禾瑞 . 近世代数基础 . 北京：高等教育出版社， 1992. 10、冯克勤等 . 近世代数引论 .合肥：中国科学技术大学出版社，2002. 11、熊全淹
10、. 近世代数 . 武汉：武汉大学出版社，1999. 二、课程内容第一章多项式（ 27 课时）1、教学目的及要求： 掌握带余除法、因式分解定理、复系数与实系数的因式分解及有理系数多项式的有关结论。2、教学重点：因式分解及唯一性定理，有理系数多项式的因式分解。3、教学难点：有理系数多项式的因式分解。4、主要内容教学要求：知识目标：（1）掌握一元多项式的概念和运算规则，整除互素的概念及简单性质并能进行相关论证。（2）掌握最大公因式概念和求法， 因式分解定理及有关因式的条件，在复数实数范围内进行因式分解的理论结果。（3）掌握多项式有理根判别，有理不可约多项式的概念，艾森斯坦判别法及应用。能力目标：（1
11、）训练学生领会和把握多项式的概念和运算规则。（2）掌握多项式的基本理论中的公理化定义、性质，并且能应用这些理论进行推理论证、计算和解决问题。5、各章节主要知识点及教学时间分配: 1 数域(1 学时) 2 一元多项式 (1 学时) (一)有关多项式的概念(二)多项式的代数性质 3 整除的概念 (2 学时) (一)整除概念(二)整除性几个常用性质(三)不可约多项式 4 最大公因式 (2 学时) (一)最大公因式的定义及唯一性(二)最大公因式的存在性及求法(三)互素的概念(四)最大公因式、互素概念的推广 5 因式分解定理 (2 学时) (一)不可约多项式及其性质(二)因式分解唯一性定理 6 重因式
12、(2 学时) (一)一些概念：重因式、单因式、微商等(二)重因式的判别及求法(三)去掉因式重数的方法 7 多项式函数 (2 学时) (一)多项式的根(二)多项式的根的个数 8 复系数与实系数多项式的因式分解(2 学时) (一)复数域上多项式的分解(二)实数域上多项式的分解 9 有理系数多项式 (3 学时) (一)有理系数多项式的根1）本原多项式及 Gauss引理2）确定整系数多项式有理根的范围3）求有理系数多项式根的方法(二)Eisenstein判别法 10 多元多项式 (2 学时) (一)基本概念(二)多元多项式中单项式的排列次序(三)两个结论 (关于乘积首项和次数 ) (四)多元多项式函数
13、 11 对称多项式 (2 学时) (一)基本概念、对称多项式环、初等对称多项式(二)对称多项式的基本定理(三)一元多项式的判别式习题课（ 6 课时）第二章行列式（ 17 课时）1、教学目的和要求：通过本章学习，使学生熟练掌握计算行列式的三种方法：利用定义、利用性质、降阶，并会运用 Gramer法则求线性方程组的解。2、教学重点：n 阶行列式的定义，行列式的性质，行列式的一些计算及关于Gramer法则。3、教学难点： Laplace定理，行列式乘法规则。4、主要内容教学要求：知识目标：（1）掌握排列、 n 阶行列式的定义和基本性质（2）掌握子式、余子式、代数余子式及行列式的依行依列展开，克拉默定
14、理。（3）熟练掌握用化上三角形式，依行依列展开法，以及用行列式性质，建立递推公式，克拉默定理等方法计算行列式，证明行列式的性质及基本理论。能力目标：（1）训练学生领会和把握n 阶行列式的定义和基本性质。（2）掌握 n 阶行列式的基本理论、性质，并且能应用这些理论进行n 阶行列式的计算以及论证问题。5、各章节主要知识点及教学时间分配: 1 引言 2 排列(2 学时) (一)基本概念：n 级排列，逆序数，偶 (奇)排列，对换(二)排列的奇偶性 3 n 级行列式 (2 学时) (一)一般行列式的定义(二)行与列的地位是对称的 4 n 级行列式的性质 (2 学时) (一)行列式的性质(二)应用实例 5
15、 行列式的计算 (2 学时) (一)矩阵的初等变换(二)行列式计算 6 行列式按一行 (列)展开(2 学时) (一)行列式按一行展开的性质(二)展开性质的应用 7 Cramer法则(2 学时) 8 Laplace 定理、行列式乘法法则 (2 学时) (一)Laplace 定理(二)行列式乘法规则习题课（ 4 课时）第三章线性方程组（ 22 课时）1、教学目的及要求：使学生掌握n 维向量的线性运算及线性方程组的求解方法。2、教学重点：以线性相关性概念及线性方程组有解判定定理为重点。3、教学难点：线性相关性理论和线性方程组解的理论为难点。4、主要内容教学要求：知识目标：（1） 掌握矩阵三种初等变换
16、的意义（2） 掌握消去法解线性方程组的方法掌握矩阵的秩，线性方程组可解的判别法及有解、无解、唯一解的理论和解法。能力目标：（1）训练学生理解和领会矩阵三种初等变换的意义（2）能应用消去法解线性方程组、以及能熟练应用矩阵的秩，线性方程组可解的判别法的理论。5、各章节主要知识点及教学时间分配:： 1 消元法 (2 学时) (一)方程组的初等变换(二)方程组的有解判别 2 n 维向量空间 (2 学时) (一)n 维向量概念(二)n 维向量的运算 3 线性相关性 (4 学时) (一)一些概念：线性组合、向量组等价、线性相关(无关) (二)线性相关性的判定(三)极大线性无关组及向量组的秩 4 矩阵的秩 (2 学时) (一)矩阵的秩(二)矩阵秩的求法 5 线性方程组有解判定定理 (2 学时) (一)有解判定定理(二)线性方程组解的求法 6 线性方程组的结构 (4 学时) (一)齐次线性方程组解的结构(二)一般线性方程组解的结构(三)线性方程组解的几何意义习题课（ 6 课时）第四章矩阵（ 17 课时）1、教学目的及要求：使学生熟
