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1、第七章第七章 流行病学数学模型流行病学数学模型（mathematical modelmathematical model； mathematic mathematic epidemiologyepidemiology；theoretical epidemiologytheoretical epidemiology）1、概述、概述2、用途、用途3、建立、建立4、实例、实例4、应用、应用第一节第一节 概述概述定义：定义：用数学公式明确地和定量地表达病因、宿主和环用数学公式明确地和定量地表达病因、宿主和环境之间构成的疾病流行规律，同时从理论上探讨不同防境之间构成的疾病流行规律，同时从理论上探讨不同防
2、治措施的效应。治措施的效应。发展史：发展史： Harmer Harmer（19601960）：决定流行过程动态规律为易感者和接触率）：决定流行过程动态规律为易感者和接触率 Ross Ross（19111911）：确定性模型）：确定性模型 Reed & Frost Reed & Frost（19281928）：）：Reed-FrostReed-Frost模型模型 Armitage & Doll Armitage & Doll（1960s)1960s)：肿瘤形成模型（非传染病）：肿瘤形成模型（非传染病） 1970s 1970s：计算机的应用，提出多状态、时间序列、时空聚集性模型：计算机的应用，提出
3、多状态、时间序列、时空聚集性模型 1980s 1980s：混沌论；协同论；灰色模型：混沌论；协同论；灰色模型第二节第二节 流行病数学模型的用途流行病数学模型的用途一、研究流行特征的模型一、研究流行特征的模型一、研究流行特征的模型一、研究流行特征的模型 1、研究疾病分布规律、研究疾病分布规律 （1）研究疾病地区聚集性：二项分布、）研究疾病地区聚集性：二项分布、Poisson分布分布 （2）研究疾病时间分布特征）研究疾病时间分布特征 （3）研究疾病人群分布）研究疾病人群分布 2、研究疾病流行过程、研究疾病流行过程二、用于以情预测：二、用于以情预测：二、用于以情预测：二、用于以情预测：乙型脑炎回归模
4、型乙型脑炎回归模型三、用于效果评价：三、用于效果评价：三、用于效果评价：三、用于效果评价：空间模型、多等级模型空间模型、多等级模型四、其它四、其它四、其它四、其它第二节第二节 主要研究方法主要研究方法一、模型建立步骤一、模型建立步骤提出假设选择模型结构模型参数估计建立模型现场观察资料模型性质不满意模型性质满意拟合度理想模型性质满意拟合度欠佳拟合度比较（一）模型所适用的条件（一）模型所适用的条件1 1、封闭人群、封闭人群2 2、经空气飞沫传播的急性呼吸道传染病、经空气飞沫传播的急性呼吸道传染病3 3、固定的有效接触率、固定的有效接触率（每个个体在单位时间（每个个体在单位时间内与其他个体相互交往发
5、生有效接触的概率）内与其他个体相互交往发生有效接触的概率）4 4、易感者转归：、易感者转归：有效接触后获感染并传染给有效接触后获感染并传染给其他易感者，病后获免疫力。其他易感者，病后获免疫力。5 5、上述各条件在流行过程中保持不变、上述各条件在流行过程中保持不变二、二、ReedFrost模型的建立过程模型的建立过程（二）明确流行病学等级及其相互转移流程（二）明确流行病学等级及其相互转移流程S(t) ：第：第t 代易感者；代易感者； S(t+1)：第：第(t+1)代的易感者代的易感者C(t)：第：第t 代的病例及传染者；代的病例及传染者； C(t+1)：第：第(t+1)代的病例代的病例I(t)：
6、第：第t 代的免疫者；代的免疫者； I(t+1)：第：第(t+1)代的免疫者代的免疫者S(t)C(t)I(t)S(t+1)S(t+2)C(t+1)C(t+2)I(t+1)I(t+2)（三）确定模型的数学表达式及其参数（三）确定模型的数学表达式及其参数1、确定型模型：、确定型模型：初值一经确定，参数不再变动初值一经确定，参数不再变动（1）确定模型：下一代将发生的病例数）确定模型：下一代将发生的病例数C(t+1) 是有效接触率是有效接触率P0与与t 代代病例数和病例数和t 代易感人数的乘积代易感人数的乘积 C(t+1)=P0Ct St（2） 确定关键变量确定关键变量(参数参数)：有效接触率：有效接
7、触率P0（有效接触指能引起传染（有效接触指能引起传染的接触）。以的接触）。以q 表示该人群中单位时间内任何两个体不发生有效表示该人群中单位时间内任何两个体不发生有效接触的概率，则接触的概率，则q=1-p。如该人群在。如该人群在t 时间有时间有Ct 个病例，则个病例，则qct 为一为一名易感者和个名易感者和个Ct 病例不发生感染的概率，而病例不发生感染的概率，而1- qct 则为一名易感者则为一名易感者至少和一例患者发生有效接触的概率。即传染率，而某代出现的至少和一例患者发生有效接触的概率。即传染率，而某代出现的病例数为：病例数为： 某代病例数某代病例数=传染率传染率上代余下的易感者数。由此，计
8、上代余下的易感者数。由此，计算公式为：算公式为：（3）数学表达式：）数学表达式： C(t+1)=St(1-qct) S(t+1)=St-C(t+1) I(t+1)=It+Ct 2、随机性模型：、随机性模型：确定性模型仅在大人群、传染者接触人多的情确定性模型仅在大人群、传染者接触人多的情况下可作为随机性模型的估计值，对新一代病例数作出点估计。况下可作为随机性模型的估计值，对新一代病例数作出点估计。其其假定有效接触率不变假定有效接触率不变，这与实际不符。，这与实际不符。如以可变的参数计算新如以可变的参数计算新一代病例数的概率区间，先按给定的初值计算出一代病例数的概率区间，先按给定的初值计算出t+1
9、代不同病例的代不同病例的概率，再选择较大概率的事件作为新出始值计算下一代出现不同概率，再选择较大概率的事件作为新出始值计算下一代出现不同病例数的概率，即为病例数的概率，即为随机性模型随机性模型随机性模型随机性模型。（1）模型：）模型： 式中：式中：PC(t+1)|St,Ct为在为在t 时间内存在时间内存在St 个易感者和个易感者和Ct 个病个病例的条件下例的条件下,，t+1时间出现时间出现C(t+1) 个病人的概率。也用个病人的概率。也用r表示，表示， 是是0至至St 之间的任何整数。之间的任何整数。例：例：在在5个易感者中发生了个易感者中发生了1个病例，假定个病例，假定p=0.2，下一，下一
10、代发生代发生0、1、2、3、4病人数的概率是：病人数的概率是：0例例:1例例:2例例:3例例:4例例:（四）参数估计及模型拟合（四）参数估计及模型拟合根据经验和实际资料假定参数值根据经验和实际资料假定参数值分别将数个假定参数值代入分别将数个假定参数值代入比较各假定参数获得的曲线和实际比较各假定参数获得的曲线和实际流行曲线的拟合度，取最佳拟合者流行曲线的拟合度，取最佳拟合者 （最小卡方值法、列线图法、最大（最小卡方值法、列线图法、最大似然法）似然法）第四节第四节 实例拟合实例拟合水痘流行期间儿童总数水痘流行期间儿童总数N=196过去患过此次未感染者：过去患过此次未感染者：40无患病史，此次未感染
11、者：无患病史，此次未感染者：60无患病史，此次感染者：无患病史，此次感染者：96全部流行期间：全部流行期间：79天天病例呈代出现病例呈代出现其它条件符合要求其它条件符合要求 代代 例数例数 1 1 2 2 3 14 4 38 5 34二、初步拟合二、初步拟合1、假定有效接触率、假定有效接触率p： 0.01、0.02、0.03 则则q：0.99、0.98、0.972、利用公式计算各代期望、利用公式计算各代期望病例数：结果见表病例数：结果见表（p=0.02)3、以期望病例数为理论数，、以期望病例数为理论数，与各代实际发病例数比与各代实际发病例数比较：卡方检验较：卡方检验 3个个p值中最小的卡方值为
12、值中最小的卡方值为p=0.02，选此进一步拟合。，选此进一步拟合。4、进一步拟合，结果见表、进一步拟合，结果见表结果：以结果：以p=0.0231的卡方值为最小，但的卡方值为最小，但p0.05，说明模型结构，说明模型结构有问题有问题三、修正模型后拟合（三、修正模型后拟合（Reed-FrostReed-Frost模型衍化式）模型衍化式）1 1、免疫屏障的作用、免疫屏障的作用（1 1）假定）假定2 2名免疫者保护一名易感者（阈值为名免疫者保护一名易感者（阈值为33%33%），拟合优度颇佳），拟合优度颇佳（2 2）假定）假定1 1名免疫者保护名免疫者保护1 1名易感者（阈值为名易感者（阈值为50%50
13、%）（3）将公式改写为：）将公式改写为：以以K3.6或或p=K/155=0.023226拟合，则效果颇佳拟合，则效果颇佳2 2、隐性感染作用：、隐性感染作用： 式中：式中：b b为流行过程中隐性感染与显性为流行过程中隐性感染与显性感染的比例常数；感染的比例常数； 为第代为第代t t 已经积已经积累的感染者。累的感染者。四、模型抽象研究采用公式：（一）有效接触率和隔离的变动对流行过程的影响（一）有效接触率和隔离的变动对流行过程的影响（二）隔离对流行过程的影响以以p=0.05，每代隔离，每代隔离15新病例为例，则：新病例为例，则：tCSI第一代第一代1例例11499 0第二代第二代24.95例例2
14、25474 1第二代第二代25例，隔离例，隔离5例例3303 171 26第三代病例数第三代病例数303.434145 26329第三代第三代303例，隔离例，隔离61例，例，242例仍传播例仍传播第四代第四代144.9例，免疫人数超过易感者数例，免疫人数超过易感者数（三）预防接种对流行过程的影响（三）预防接种对流行过程的影响四、综合因素对流行过程的影响四、综合因素对流行过程的影响同时隔离传染源、预防接种等多项措施同时隔离传染源、预防接种等多项措施的影响的影响第四节第四节 应用近况及前景应用近况及前景1.定量研究各种流行因素的效应定量研究各种流行因素的效应2.设计和评价控制疾病流行的方案设计和评价控制疾病流行的方案3.研究疾病流行的动力学特点研究疾病流行的动力学特点4.模拟流行过程用于培训模拟流行过程用于培训
