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1、1. 对一个五人学习小组考虑生日问题（1）求五个人的生日都在星期日的概率；解（1 设 A1=五个人的生日都在星期日 ，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故 P （A 1）= （）5 2） 设 A2=五个人生日都不在星期日 ，有利事件数为 65，故 P （A 2）=()5设 A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1 P( A1)=1 ()5. 2. 一批产品共 N件，其中 M件正品 . 从中随机地取出 n 件（n30.如图阴影部分所示 .2230 / 601/ 4P13. 从（0，1）中随机地取两个数 ，（1） 两个数之和小于 6/5 的概率（ 2）两个数之积小于1/4 【解】设两数
2、为 x,y，则 002FF（ ），（ ），20. 设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 f(x)求（1） 在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概【解】1.1503 1210010018P(X150)=(150)327P Xx(2) 21 23124339PC(3) 当 xa 时， F （x） =1 即分布函数-xx =0xa1x =ex02 x =1,xFaFFxa（ ），（ ），（ ）22. 设随机变量 X 在2，5上服从均匀分布 .现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3 的概率 .【解】 XU 2,5
3、，即1x =2x53=0,F （ ），其他5312x3)=33Pdx（故所求概率为2233 3321220()()33327PCC23. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X （以分钟计） 服从指数分布 . 试写出 Y的分布律并求 P【解】 依题意知，即其密度函数为/51x =,05=0, x0xFx（ ）e该顾客未等到服务而离开的概率为/5-2101x10)=dxe5xP（e, 即其分布律为225 52 5()() (1),0,1,2(1)1(0)1 (1)0.5167kkkP YKCeekP YP Ye24. 设随机变量 X分布函数为 （1） 求常数 A，B；（2） 求 PX 2，PX3
4、 ；【解（1由0+0lim(x =1lim(x = lim(xxxxFFF）得 A=1 B=-1（2）-2x2)=F(2)=1-eP （-3-3x3)=1-F(3)=1-1-e=eP （）(3) -xfx =Fx = ex0=0x0;(2)2.=b ,01( )1/,12.0,xxf xxx其他试确定常数 a,bFx【解】（ 1）由( )1f x dx知 0122 /xxaedxaedxa故/ 2a即密度函数为=/ 2,x0x =/ 2,0xxeexf （ ）当 x0时( )( )22xxxxeF xf x dxe dx当 x0时 0( )( )1222xxxxxxeeF xf x dxe d
5、xdx故其分布函数=1-/ 2,x0x =/ 2,0xxeexf （ ）(2) 由122-011b11f(x)dx=bxdx+dx+x22得 b=1 即 X的密度函数为2=x,00(x) .0,. 0,f x y ddf。其他y-y-x0( , ) xexyey0( ) .0,. 0,Yf x y ddfY。其他35. 设二维随机变量（ X，Y）的概率密度为 f （x，y）= （1） 试确定常数 c；（2） 求边缘概率密度 . 【解】 （1）2+112-1fxydxdy=( . )4 / 211c=21/ 4x Df x y dxdydxcx ydyc（ ， ）得(2) 21224x2121(
6、 )( ,y) yx y y=x 1-x-x148 .=0.=0.XFxfxdd（）， 1，其他y25/2 y-y217(y)( ,y) xx y x=yy142.=0.=0.Ff xdd，0，其他36. 设随机变量（ X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 求条件概率密度 fYX（yx），fXY（xy）.【解】xx-x(x)( ,y) y1dy=2x1.=0.=0.Ff xd， 01.96,即 n24.01，所以 n 至少应取 25 50.设某厂生产的灯泡的使用寿命XN（1000，2）（单位：小时），随机抽取一容量为9 样本，并 测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的
7、结果只记得样本方差为S2=1002，试求 P（1062）. 解. =1000,n=9，S2=100251.从一正态总体中抽取容量为10 的样本 ，假定有 2%的样本均值与总体均值之差的绝对值以上，求总体的标准差 .【解】，由 P(|- |4)=0.02得 P|Z|4( /n)=0.02, 故,即查表得所以52.设总体 XN（ ，16），X1，X2，X10是来自总体 X 的一个容量为 10 的简单随机样本， S2为其 样本方差，且 P（S2a）=0.1，求 a 之值. 【解】查表得所以53. 设总体 X服从二项分布 b（n，p），n 已知， X1，X2，, ， Xn为来自 X的样本，求参数 p
8、的矩法估【解】因此 np=所以 p 的矩估计量54. 设总体 X的密度函数 f （x, ）=X1，X2，, ， Xn为其样本，试求参数 的矩法估【解】令 E(X)=A1=, 因此=所以的矩估计量为55. 设总体 X的密度函数为 f （x，），X1，X2，, ， Xn为其样本，求 的极大似然估计 .（1）f（x，）=（2） f（x，）=【解】 （1） 似然函数4ni-11=(, )nixin nxinif xeeeL由知所以的极大似然估计量为. (2) 似然函数,i=1,2, ,n.由知所以的极大似然估计量为56. 某车间生产的螺钉，其直径XN（，2），由过去的经验知道 2=0.06, 今随机抽
9、取 6 枚，测得其长度（单位 mm）如下：14.715.014.814.915.1求的置信概率为 0.95 的置信区间 . 【解】 n=6,2=0.06, =1-0.95=0.05, 的置信度为 0.95的置信区间为. 57. 总体 XN ( , 2)，2已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使 的置信概率为 1-，且置信区间的长度不大于L？【解】 由2已知可知 的置信度为 1-的置信区间为, 于是置信区间长度为, 那么由L, 得 n58. 设某种砖头的抗压强度XN（，2），今随机抽取 20 块砖头，测得数据如下（ kgcm-2）：6469499255974184889984661009872
10、7487【解】(1) 的置信度为 0.95 的置信区间(2)的置信度为 0.95 的置信59 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082). 现在测了 5 炉铁水，4.28 4.40 4.42 4.35 4.37 问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（=0.05）? 【解】所以拒绝 H0，认为总体平均值有显著性变化. 60. 某种矿砂的 5 个样品中的含镍量（ %）经测定为： 设含镍量服从正态分布，问在=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25. 【解】设所以接受 H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25. 61.在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均
11、1. 1 克，若从这种香烟堆中任取36 支作为样本；测得样 本均值为 1.008 （克），样本方差 s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）【解】设所以接受 H0，认为这堆香烟 （支）的重要（克）62.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5 小时，标准差为 2.9 小时.在实验室测 试了该公司生产的6 只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结 . 【解】所以接受 H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短. 63.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出=0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态， 为总体均值， 为总体标准差，试在水平=0.05下检验 .（1） H0： =0.5(%)；H1： 0.5(%). 2）=0.04(%)；0.04(%).【解】 (1)所以拒绝 H0，接受 H1. (2) 所以接受 H0，拒绝 H1.
