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1、计算气动声学 二. 声学原理（一）黄迅 特聘研究员力学与空天技术系 工学院 北京大学 初稿，保留一切版权(黄迅)计算气动声学Oct 20101 / 16声的传播(propagation of sound)声音是流场中扰动的传播I扰动源(声源)可是不固体、液体、气体或者其他地方的振动声音以机械波的形式传播I声的传播需要介质。声速c：在空气中约为340m/s，在水中约 为1500m/sI一般情况下，声波在传播过程中，波前曲率逐渐变小，趋近于平面波(黄迅)计算气动声学Oct 20102 / 16声能的传播声音在传播过程中携带着能量声波的能量使耳膜震动，通过inner hair cells使得人能感知
2、到声音人耳可感知的声波频率为20 20000Hz，其中对1kHz 5KHz的频段最为敏感使用声功率级(power level in decibel)衡量声波能量大小，PWL = 10log10(W W0)(1)其中W0= 1012瓦，也称为参考功率例：一般人大叫功率约为105瓦，则PWL = 70dB，火箭发射的声因约为107瓦， SPL = 190dB(黄迅)计算气动声学Oct 20103 / 16声波是线性运动相较于平均的背景流动，声音的扰动很小I假设流动的压强、密度为p0,0，扰动的压强、密度为p,，|p p0| 1,| 0| 1I扰动粒子的运动速度也很小，记为 v( x,t)声压级(S
3、ound pressure level)：声压的幅度很小，但是数量级的跨度却很 大。SPL = 20log10(prms 0.0002bar) = 20log10(prms 2 105pa)(2)其中p2rms= p2，f表示函数f对时间的平均I人耳感到刺痛的声压级大致为130 140dB，对应声压为千分之一大 气压左右I人耳的听力阈值为0dB，压强幅度为1010个大气压(黄迅)计算气动声学Oct 20104 / 16声波是线性运动在大多数情况下，声场是看以看做连续介质场I声音的相关参数，压强、粒子速度、运动幅度等都是小量 = c/f， 考虑空气中f = 1kHz的声波Ic = 340m/s，
4、u 0.1m/s,u/c 104,u c，u为粒子扰动速度I = 0.34m，d = 104 105m,d ，d为粒子的扰动振幅I听力阈值附近，d 1011m声波的相互作用是线性的I压强、速度、脉动密度等为小量，相乘的部分为更高阶小量，因此在 传播过程中近似满足线性叠加原理I声波的控制方程是流动方程的线性简化形式(黄迅)计算气动声学Oct 20105 / 16声波的线性叠加假设有两束声波，声压级(SPL)分别为80dB和85dB，若频率相同， 二者相遇后叠加的声压级应如下计算：因为频率相同，假设两束声波脉动压强分别为p1cos(t),p2cos(t + )则叠加后压强为p= p1cos(t)
5、+ p2cos(t + )有：p2= p21cos2(t) + 2p1cos(t)p2cos(t + ) + p22cos2(t + )即: p2= 0.5(p21+ p22) + p1p2cos对于两束声波，pirms=pi2,i = 1,2p1= 0.503pa假设二者同相位，即 = 0，有p2= 0.5(p1+ p2)2得SPL = 20log1012(p1+p2)2105 = 88.9dB(黄迅)计算气动声学Oct 20106 / 16声场可视为理想流场声波可以经过流动方程线性化得到，其中一个重要的原因的粘性项 可以忽略I雷诺数Re =uL =u2 L u L2uux 2ux2，表示惯
6、性力与粘性力之比I选取波长为特征尺度，则Re = 2c/ = 2/ 108; 选取粒子振幅d为特征尺度，Re 104 1I与惯性力相比，粘性项的作用微乎其微。在声场中，可以忽略粘性作 用在远程传播中，粘性的作用会比较重要，但是声波已经传播了约为Re 的距离在声场中，粘性作用、介质中分子结构的作用力可视为理想流场中的一种影响很 小的修正作用(黄迅)计算气动声学Oct 20107 / 16一维波动方程 假设声波各参数只与方向x位置相关，声压、密度、脉动速度分别记 为p(x,t),(x,t), v(x,t)，有 v(x,t) = (u(x,t),0,0)假设背景流场密度为0，为脉动粒子密度，由质量守
7、恒 tx = (0+ )u(x,t) (0+ )u(x + x,t)假设背景流动定常，且关于x方向密度0均匀分布，注意到u,等都为小量，有 t+ 0u x= 0(3)(黄迅)计算气动声学Oct 20108 / 16一维波动方程考虑动量方程，且p = p0+ p, = 0+ 有(0+ )uxx = p0+ p(x,t) (p0+ p(x + x,t)忽略高阶小量，有0u t+p x= 0(4)联合(3),(4)两式，有 2 t22p x2= 0(5)假设p只为密度的函数，即p = p0+ ( 0)dpd|0+ ，忽略高次p= dp d|0(6)令c2=dp d|0，有p= c21 c22p t2
8、2p x2= 0(7)上式即为一维声波方程(黄迅)计算气动声学Oct 20109 / 16一维声波方程 上述一维波动方程解的一般形式为p(x,t) = f(x ct) + g(x + ct)，两项分别表示x向 方向传播考虑初始时刻p(x) = 0.5e(x20)2 9的声波，对空间离散使用DRP方法，时间分别使用 经典4阶RK方法，以及傅里叶变换的方法（代码见附录） ，结果与精确解对比如下(黄迅)计算气动声学Oct 201010 / 16粒子速度的确定考虑声波方程中朝x方向传播的一项p= f(x ct)由p= c2= p/c2= c2f(x ct)令X = x ct,有t=1 c2f XX t
9、= 1cdf dX有方程(3)知 u x=1 0cdf dX(X) =1 0cf x(x ct)积分后有u(x,t) =1 0cf(x ct),即u =p 0c(8)同样的道理，朝x方向的声波速度声压关系为u = p 0c(9)其中0c称为声阻(黄迅)计算气动声学Oct 201011 / 16声速c的确定由波动方程的解可知，c表示初始的扰动向波传播方向的速度在假设压强p 只为密度的函数的情况下，c2=dp d|0等温模型 17世纪牛顿利用波义耳定律，p/ = f(T)在T = 293K时，有c2=dp d=p0 0= 84000m2/s2得c 290m/s，与实际情况相差较大等熵(绝热)模型
10、1816年Laplace观察到介质在进行热交换的一段时间内，声波已经传播了很远，所以提出等 熵模型对理想气体p/p= p0/p0与p = RT在T = 293K时，有c2=dp d= RT = p0/0= 117700m2/s2得c = 343m/s，与实际情况符合得很好(黄迅)计算气动声学Oct 201012 / 16声波的能量关系方程(3)两边同时乘上c2经过简单的整理，有c2 202 t+ pu x= 0(10)方程(4)两端乘以u，整理后有 0 2u2 t+ upx= 0(11)两式相加，有 t(0u2 2+c22 20) + x(pu) = 0(12)容易看出0u22表示动能密度，记
11、为ek另外c2220表示势能密度，记为ep，理由如下对于一段控制体而言，其势能Ep =RVepdV = RpdV对质量一定的控制体V0，p= c2,dV = V00d可以得到：RpdV =V0c2 0Rd= V02 (黄迅)计算气动声学Oct 201013 / 16声波的能量关系pu称为intensity，记作I，表示的是声波穿过单位面积上的功率值 t(ek+ ep) = I x(13)声强级定义(IL|intensity level)为:IL = 10log10(I 1012W/m2)dB(14)因为u = p/(0c) =c 0ek=c22 20= ep(15)I = pu =c32 0=
12、 c(ek+ ep) = ce(16)故而有关于总能量密度e的方程也满足波动方程：e t+ ce x= 0(17)(黄迅)计算气动声学Oct 201014 / 16噪音强弱的主观评价 声压级、声强级是描述声音强弱的客观指标，响度级是描述声音强弱的主观指标，用 方(phon)表示 方的定义为：在某个特定频率下，一般人对此声音的响度感受与1kHz的纯音N方 相同，则称该声音为N方。 宋(sone)的定义：N宋是指对于观察者而言，感受到的响度是1kHz、40方的纯音 的N倍(黄迅)计算气动声学Oct 201015 / 16参考文献A. P. Dowling and J. E. Ffowcs Williams. Sound and Sources of Sound, Ellis Horwood Limited (1983)(黄迅)计算气动声学Oct 201016 / 16
