圆锥曲线(一)轨迹问题

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1、1PMN圆锥曲线（一） 轨迹问题轨迹问题解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程， 研究平面曲线的性质 【教学目标】能理解轨迹的概念，能根据所给条件选择适当的直角坐标系求轨迹方程， 掌握 求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、相关点代入法、参数法等； 将几何性质转化为方程（几何法等） 。【自测回扣】（步步坚实，赢在起点）1.1.分别过作两条互相垂直的直线，则它们的交点的轨迹方程是_. 12( 1,0),(1,0)AAM2.2.已知点 F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上运动，则线段 PF 的中点轨迹方程是 .22yx3.已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个

2、动点如果延长到，使得，那1F2FPPF1Q|2PFPQ 么动点的轨迹是 （ ） ，如果 M 是线段的中点，则动点 M 的轨迹是( ).Q1FP （A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线 【典例精析】（夯实基础，高效整合）4 （06 江苏卷） 如图,圆 O1与圆 O2的半径都是 1,O1O2=4, 过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2的切线 PM、PN（M、N 分别为切点） ，使得试建立适当的坐标系，并求动点 2PMPN P 的轨迹方程.5. 已知2222 12:(4)=16:(4)=4CxyCxyee和（1）若动圆 Q 与C1外切，且与C2内切，则动圆圆心 Q 的轨迹方程为_；（

3、2）与C1、C2都外切的动圆圆心的轨迹方程为_（3）与C1、C2都内切的动圆圆心的轨迹方程为_（4）过点C1且C2外切的动圆圆心的轨迹方程为_（5）与C1外切，且与y轴相切的动圆圆心 M 的轨迹方程是_.6.设 A，B 分别是直线和上的两个动点，并且，动点 P 满足2 5 5yx2 5 5yx |20AB uuu r记动点 P 的轨迹为 C，求轨迹 C 的方程.OPOAOBuuu ruu u ruuu r27. 已知椭圆1C的中心在坐标原点，一个焦点为，过点 F 且垂直长轴的弦长为1，F(0, 3)(1) 求椭圆1C的方程;(2) 过椭圆1C上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量My

4、mmxN，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.OQOMONuuu ruuuu ruuu rQ*变式：变式：在上题中，若 P 为椭圆1C上的动点，A 为过 P 且垂直于 y 轴的直线上的点，=，求OP OA点 A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 【总结归纳】（1）掌握好直接法、定义法、相关点法、参数法直接法、定义法、相关点法、参数法等方法的运用，特别是面对什么条件要想到用什么方法，一般步骤是：建系、设点、限制条件列式、代入、化简.（建设限代化建设限代化） ；（2）用待定系数法待定系数法求出对应方程类型的系数，要注意方程思想的应用；（3）最后结果要写正确（注意“查漏除杂查漏除杂” ） 。

5、 【巩固练习】（强化训练，规范提升）38.8.已知 A,B 是两个定点, O 为线段 AB 的中点,且|AB|=2,动点 M 到点 A 的距离为 4,线段 MB 的垂直平 分线 l 交 MA 于点 P,求点 P 的轨迹方程. . 变式：变式：点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上运动，且|AB|=2，点 P 在线段 AB 上， （1）若 P 为线段 AB 的中点，则点 P 的轨迹方程为_.（2）若，则点 P 的轨迹方程为_.| PA| : | PB| =1: 29.动圆 P 过点 A (0,1)且与直线 y=-1 相切，O 是坐标原点，动圆 P 的圆心轨迹是曲线 C. （1）求曲线 C 的方程；

6、（2）过 A 作直线 交曲线 C 于两点，求弦的中点的轨迹方程；l,D EDEM（3）在（2）中求的重心 G 的轨迹方程。ODE【高考链接】10.10.（20102010 天津文数）天津文数）已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程是3yx，它的一个焦点与抛物线216yx的焦点相同。则双曲线的方程为 .11.（07 年湖南）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线222xy1F2F2F相交于两点若动点满足（其中为坐标原点） ，AB，M1111FMF AFBFOuuuu ruuu ruuu ruuu rO(1)求点的轨迹方程;M12.（2010 安徽文数）安徽文数）1

7、7、 （本小题满分 12 分）椭圆E经过点2,3A422122:1(0)xyCabab，对称轴为坐标轴，焦点12,F F在x轴上，离心率1 2e .()求椭圆E的方程；()求12F AF的角平分线所在直线的方程。13.(13.( 2010 广东理) )已知双曲线的左、右顶点分别为，点，2 212xy12,A A11(,)P x y是双曲线上不同的两个动点.（1）求直线与交点的轨迹的方程;11(,)Q xy1A P2A QE14.14.（20102010 江西理）江西理）设椭圆，抛 物线22 2:Cxbyb.（1）若2C经过1C的两个焦点，求1C的离心率；（2）设 A（0，b） ，53 34Q，

8、,又 M、N 为1C与2C不在 y 轴上的两个交点，若AMN 的垂心为3 4Bb0，且QMN 的重心在2C上，求椭圆1C和抛物线2C的方程。5PM N圆锥曲线（一） 轨迹问题轨迹问题【自测回扣】（步步坚实，赢在起点）1.分别过作两条互相垂直的直线，则它们的交点的轨迹方程是_. 12( 1,0),(1,0)AAM2.已知点 F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上运动，则线段 PF 的中点轨迹方程是 .22yx3.已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个动点如果延长到，使得，那1F2FPPF1Q|2PFPQ 么动点的轨迹是 （ ） ，如果 M 是线段的中点，则动点 M 的轨迹是( ).Q1FP （A）圆 （

9、B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线答案：1 2 1A,B 221xy21 4yx【典例精析】（夯实基础，高效整合）4 （06 江苏卷） 如图,圆 O1与圆 O2的半径都是 1,O1O2=4, 过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2的切线 PM、PN（M、N 分别为切点） ，使得试建立适当的坐标系，并求动点 2PMPN P 的轨迹方程.解：如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，12OOx12OOy建立平面直角坐标系，则两圆心分别为设，则12( 2,0),(2,0)OO( , )P x y，同理22222 11(2)1PMO PO Mxy222(2)1PNxy，2PMPN ，2222(2)

10、12(2)1xyxy 即，即这就是动点的轨迹方程221230xxy22(6)33xyP5. 已知2222 12:(4)=16:(4)=4CxyCxyee和（1）若动圆 Q 与C1外切，且与C2内切，则动圆圆心 Q 的轨迹方程为_；922 = 1 (3)7xyx （2）与C1、C2都外切的动圆圆心的轨迹方程为_2 2= 1 (1)15yxx （3）与C1、C2都内切的动圆圆心的轨迹方程为_（2）与（4）2 2= 1 (1)15yxx 过点C1且C2外切的动圆圆心的轨迹方程为_2 2= 1 (1)15yxx （5）与C2外切，且与y轴相切的动圆圆心 M 的轨迹方程是_.216 (0)0(0)yx

11、xyx 或66.设 A，B 分别是直线和上的两个动点，并且，动点 P 满足2 5 5yx2 5 5yx |20AB uuu r记动点 P 的轨迹为 C，求轨迹 C 的方程.OPOAOBuuu ruu u ruuu r解：设 P（x，y） ，因为 A、B 分别为直线和上的点，故可设 2 5 5yx2 5 5yx ， ，)x552,x(A11)x552,x(B22OPOAOBuuu ruu u ruuu r )xx(552y,xxx2121 y25xx, xxx2121又， 20AB 20)xx(54)xx(2 212 21即曲线 C 的方程为6 分20x54y4522116y 25x22 7.

12、已知椭圆1C的中心在坐标原点，一个焦点为，过点 F 且垂直长轴的弦长为1，F(0, 3)(1) 求椭圆1C的方程;(2) 过椭圆1C上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量MymmxN，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.OQOMONuuu ruuuu ruuu rQ解解: (1) 设椭圆方程为：22221(0)yxabab, 由题意得,22222121()baabab3所求的椭圆方程为2 214yx. (2)设点的坐标为（） ，点坐标为,则点坐标是 M00, yx00x Qyx,N0,0x， 即， , OQOMONuuu ruuuu ruuu r 00,2,x yxy02xx

13、0yy又，,即 2 20 044yx22 1(0)44yxx224(0)xyx点的轨迹方程是，轨迹是一个以原点为圆心，2 为半径的圆，除去Q224(0)xyx与 y 轴的交点。 7*变式：变式：在上题中，若 P 为椭圆 C 上的动点，A 为过 P 且垂直于 y 轴的直线上的点，=，求OP OA点 A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解：解：设，其中,由已知及点在椭圆上可得0( , ), (, )A x y P xy2,2y 2 2 2OPOAPC，其中,易知2 2222 22(1)4,4yyxy 22整理得：4x +(4-3)y2,2y 0（i）时。化简得所以点 A 的轨迹方程为，3 22

14、4,3x 2 3 3x 2,2y 轨迹是两条平行于轴的线段。y（ii）时，方程变形为，其中3 22222114 43xy2,2y 当时，点 A 的轨迹为中心在原点、焦点在轴上的双曲线满足的部分；302x2,2y 当时，点 B 的轨迹为中心在原点、焦点在轴上的椭圆满足的部分。3 2y2,2y 【巩固练习】（强化训练，规范提升）7.已知 A,B 是两个定点, O 为线段 AB 的中点,且|AB|=2,动点 M 到点 A 的距离为 4,线段 MB 的垂直平 分线l交 MA 于点 P,求点 P 的轨迹方程. . （先建立适当的坐标系）（先建立适当的坐标系） 2 22 2x xy y+ += =1 14 43 3变式：变式：点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上运动，且|AB|=2，点 P 在线段 AB 上，（1）若 P 为线段 AB 的中点，则点 P 的轨迹方程为_.2 22 2x x + +y y = =1 1（2）若，则点 P 的轨迹方程为_