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1、高观点下的几何学练习题参考答案一一、填空题。1公理法的三个基本问题是（相容性问题） 、 （独立性问题）和（完备性问题） 。2公理法的结构是（原始概念的列举）、 （定义的叙述） 、 （ 公理的叙述）和（定理的叙述和证明）。3仿射变换把矩形变成平行四边形4仿射变换把平行线变成平行线5仿射变换把正三角形变成三角形二、简答题。1试给一个罗氏几何的数学模型。答：罗氏几何的（Cayley-F.kLein）模型在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”。罗氏平面几何的原始概念解释成：罗氏点：圆内的点；罗氏直线：圆内的开弦（两个端点除外，它们可称为无穷远点）。结合关系：圆内原来的点和线
2、的结合关系；介于关系：圆内弦上三点的介于关系；运动关系：欧氏平面上，将圆K变成自身的射影变换。罗氏平行公理（在罗氏平面上）通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。2试给一个黎曼几何的数学模型答：黎曼几何的（F.KLein ）模型黎曼几何的原始概念解释成：黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点；黎氏直线：球面上的大圆；黎氏平面：改造后的球面。黎氏点与黎氏直线的基本关系：(1) 通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线；(2) 通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；(3) 每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交
3、。3简述公理法的基本思想。答：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、 定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统逻辑结构，这就是公理法思想。4简述公理系统的独立性答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。5试着陈述非欧几何是怎样产生的？答：众所周知，欧几里得几何原本是演绎体系的里程碑，
4、虽然它不尽完善，但它确实是建立科学演绎体系的最早的代表作，它一经问世，就引起了学术界的广泛关注，欧几里得之后的数学家们在对几何原本的研究过程发现，它的第五公设的内容不象前四条公设叙述的那么简单，同时它又是在第二十九条命题之后才出现的，于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理，而是一条命题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性，在这种论证过程中，罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无矛盾的科学演绎体系，即罗氏及何与黎曼几何，这两种几何与欧氏几何有共同的绝对几何公理体系，只是平行公理不同。6简述公理系统的完备性。答：如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或
5、称其具有完备性。7简述公理系统的相容性。答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的所有构成要素是无矛盾的。任何一个公理系统都要满足无矛盾性。证明公理系统的相容性常用的方法是模型法。三、选择题。1三角形内角和等于180 度与（ A ）A欧氏平行公理等价B罗氏平行公理等价C椭圆几何平行公设等价D不可判定2欧氏几何与非欧几何的本质区别为（ A ）A平行公设不同B结合公理相同C绝对公设不同D结合公理不同3设点, ,A B C 共线，且在仿射变换下分别变成,A B C ，则,A B C 三点（ A ）A共线 B三角形顶点 C 可能不共线 D可能重合4正方形在仿射变换下变成（ B ）A 正方形 B平行四边形
6、 C菱形 D矩形5正方形的下列性质中哪些是仿射的( 1，4 ) （1）对边平行；（2）四角相等； （3）四边相等； （4）对角线互相平分；（5）对角线互相垂直； （6）角被对角线平分； （7）对角线相等； （8）面积6在仿射对应下，哪些量不变？（ C，D ）A 长度 B角度 C单比 D交比四、计算与证明题。1 求出将点(3,1)变成点 ( 1,3)的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线28180yxy上。解：设所求的旋转变换为cossinsincosxxyyxy则 2于是所求的旋转变换为xyyx即xyyx将此变换用于所给的抛物线得28 180xxy。2 试确定仿射变换，使y 轴、 x 轴
7、的象分别为直线10xy和10xy，且点 (1 ,1) 的象为原点。解：所求变换的公式为111222xxyyxy其中11220则0x变成直线1110xy但由题设0x变成 10xy可知，1110xy与 10xy表示同一直线。所以1111 111h因此 1hxxy同理 1kyxy此处,h k是参数。又因为点（ 1，1）的象为原点，于是1,1hk，所以，所求变换的逆式为 1( 1)xxyyxy由此得出所求的仿射变换为 221 22xyxxyy3求出将点 (2,3) 变成点(0,1)的平移变换，在这个平移变换下，抛物线28180yxy变成什么曲线？解：设所求的平移变换为xxayyb将已知对应点的坐标代入
8、上式得0213ab于是2, 4ab所以所求的平移变换为24xxyy即24xxyy将此变换用于所给的抛物线上2(4)(2)8(4)180yxy即20yx4求仿射变换71424xxyyxy的二重直线。解：设所求的不变直线为0AxByC（,A B不同时为 0）即在所给的变换下，0AxByC对应0AxByC因为(71)(424)(74 )(2 )(4)AxByCAxyBxyCAB xAB yABC所以74 (1)2 (2)4 (3)ABAABBABCC消去,A B C得7401200141展开化简得(1)(7)(2)4(1)0解得1,3,6由于当1时，0AB，因此不对应不变直线，分别将3,6代入（1）
9、 ， （2） ， （3）得3,2ABCB和4 , 0ABC所以不变直线为2230xy和40xy5证明，直线0AxByC将两点111(,)P xy与222(,)Pxy的连线段分成的比是1122AxByCAxByC。6求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线。证明：设二直线1l 和2l 交于P点，P点在影消线上，1l 和2l 经射影对应，对应直线为1l和2l，则P点对应无穷远点。由于射影对应保持结合性不变，所以P的对应点是1l和2l的交点，即无穷远点， 也就是1l 2l。二一、填空题。1设共线三点0,2 ,(2,0),(1,1)ABC，则 ()ACB 2 2如果两个向量线性相关，则它们的位置关系
10、是（共线或平行） ，夹角为（0或） 。3空间中三个向量线性相关当且仅当它们（共面） ，空间中的四个向量一定（线性相关）4设 a 与 b 是两个非零向量，若a与 b线性相关，则0ab。5已知向量123123,ax xxbyyy，则 a 与 b 之间的内积112233a bx yx yx y。二、选择题。1下列性质或量中哪些是仿射的( 1 ，3，4，8 ) （1）线段的中点；（2）角的平分线； （3）交比；（4）点偶的调和共轭性（5）角度（6）三角形的面积（7）两相交线段的比（8）两平行线段的比（9）对称轴（ 10）对称中心2设 a 与 b 是两个非零向量，若0a b，则（ B ） 。Aa与 b
11、平行Ba 与 b 垂直Ca与 b 线性相关Da 与 b的夹角为3设 a 与 b 是两个非零向量，则下列结论正确的是（ A ） 。Aa ba bBa ba bCa ba bDa ba b4下列说法错误的是（ B，C ）A平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；B平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直C平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行 D 平面上的三个向量一定线性相关5设 a 与 b 是两个非零向量，若0ab，则（ A，C ）Aa与 b 平行Ba与 b交角为锐角。Ca与 b 线性相关Da与 b 的夹角为 2三、计算与证明题。1 设平面上的点变换1和2分别15232:1yxyyxx 和2:2
12、xyyxx 表12(1) ；1 1(2) ；21(3) ；1 2(4) 。解：（）12()2(2)32()5(2)1xxyxyxyx即1237729xxyyxy（）若求1 1，只需从1中求出 x,y 即可。所以1 127:5217xyxyxy（）2)32()152()32(:12yxyyxyxx，即5243:12yxyyxx（）若求12，只需从2中求出yx,即可，所以22:1 2yxyyx2求线坐标1,0,1所表示的直线方程。解：1,0,1表示直线130xx或10x3求线坐标1,1, 1所表示的直线方程。解：1,1, 1表示直线1230xxx或10xy4求线坐标2,2,2所表示的直线方程。解：
13、2,2,2表示直线0321xxx或01yx5求线坐标0,1,1所表示的直线方程。解：0,1,1表示直线230xx或10y6试用向量法证明：等腰三角形的中线垂直于底边。证明：设ABC为等腰三角形，记,ABa ACb，则BCba，并设中线ADm，见图111222mabab上式两端同ba做内积，得ABDCabm22111222m baabbaba，根据已知条件ABAC，即ab，所以0m ba，即ADBC。7证明：使向量内积不变的仿射变换是正交变换。证明：设在使二向量内积不变的仿射变换下，点A变成点A，点B变成点B，则),(),(2222BAdABABABBABABABAd所以),(),(BAdBAd
14、（d表示两点间的距离） 。由于这个变换保持两点间的距离不变，因此它是正交变换8试用向量法证明：半圆的圆周角是直角。证明：设O为半圆的圆心，AB为直径，C为半圆上任意一点，见图，要证明 2ACB，取OAa，则OBa，设OCc，由于,OA OB OC都是圆的半径，所以ac，由图有,BCca ACca22 ()()0BC ACca caca所以BCAC，即2ACB9若存在，求下列各点的非齐次坐标(1) (3,5,3)(2).(0,1,0) 。CBOaAc解：).1 (存在，设)35,3(),(321xxx， 则这个点的非齐次坐标为)35,33(),(),(3231 xxxxyx。).2(不存在，因为
15、无穷远点没有非齐次坐标。10若存在，求下列各点的非齐次坐标(1) (0,5,6)，(2) (1,8,0)。解：).1(存在，设)6,5 ,0(),(321xxx，则这个点的非齐次坐标为)65,0(),(),(3231 xxxxyx。).2(不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。11若存在，求下列各点的非齐次坐标(1) (0,1,0)，(2) (0,8,6)。解： （1）不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。（2）存在。设123(,)(0,8,6)xxx，则这个点的非齐次坐标为12334( ,)(,)(0,)3xxx yxx。12将二次曲线22220xxyyxy化简成标准型。解：11,1, C1,1, 02ABDEF1）计算不变量2 122,0ABIACIACB BC3111111124 1102ABDIBCEDEF2）判别类型20I，30I，说明曲线为抛物线3）化方程为标准方程：因为0B，方程可化简成23 1 12II xy I即21228xy化简得21 8xy
