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1、Tianxin YangPage 13/14/2018Assignment 2 for Quantum Mechanics 一、简答题1.粒子的双缝实验的结论是什么？ 2.在量子力学中，波函数的波动方程是什么？它是定态薛定谔方程吗？ 3.波函数除了归一化要求之外的三个标准条件是什么？ 4.写出一维无限深方势阱的能量本征函数及能量本征值。 5.写出一维线性谐振子的能量本征函数及能量本征值。 6.什么叫做粒子的共振穿透？请举例说明。 7.什么叫做粒子的遂穿效应？请举例说明。 8.粒子的共振穿透与粒子的遂穿效应有何区别？ 9.什么叫做厄米算符？它有什么性质？ 10. 量子力学中两个基本力学量是什么？
2、在坐标表象中，用什么算符表示？ 11. 动量算符的本征函数和本征值是什么？其本征函数如何归一？ 12. 在三维直角坐标系中，角动量算符的表示式是什么？动量（矢量）算符的本征函数和 本征值是什么？ 13. 在球坐标系中，角动量平方算符的表示式又是什么？它的本征函数和本征值是什么？ 其中什么是轨道角动量量子数（角量子数）？取值范围是哪些数值？ 14. 在球坐标系中，角动量在极轴上的投影算符如何表达？其本征函数和本征值是什么？ 其中什么是轨道角动量磁量子数（磁量子数）？取值范围是哪些数值？ 15. 量子力学中关于波函数与力学量的两个假设，告诉你什么结论，试用你自己的语言归 纳出 5 条结论。 16.
3、 什么是对易算符？他们的本征函数有什么性质？什么是非对易算符？非对易算符能有 共同的本征函数吗？ 17. 归纳学习过的对易算符和非对易算符。 18. 什么叫做力学量的完全集合？ 19. 用什么方式表示非对易算符在某一个状态下的不确定性？ 20. 坐标和动量的测不准原理是什么？二、计算证明题1.利用厄密多项式的递推公式,111( )2( )2( ),( )2( )nnnnnHxxHxnHxHxnHx证明线性谐振子的能量本征函数的递推公式为：11111( )( )1( ) ,( )( )1( )22nnnnnnxxnxnxxnxnx 2.设一维势场的形式是，试解出其能级和定态波函数。2210( )
4、2 0xxU x x Tianxin YangPage 23/14/20183.如果势能可以写成单一坐标的函数之和，求证定( )V rv 123( )()()()V rV xV xV xv态薛定谔方程通过采用和可以分解成如112233( )()()()rxxxv 123EEEE下形式的一维方程组：222( )2( )( )01,2,3ii iiiii idxV xExidxh4.动能为 E 的粒子在高度为 V0的势阶（Step Potential）上散射，求反射系数和透射系 数。5.已知是一维线性谐振子能量本征函数，请计算在基态下动2 22( )()xnnnxN Hx e 0( ) x量的几率
5、分布函数 提示：2? xpC2 202a xedxa6.转动惯量为 的量子体系绕一定点转动的能量表达式为，绕一定轴转动的能量I22LHI表达式为，求对应的量子体系的定态能量及定态波函数。22zzLHI7.设体系处于态中，求力学量的可能取值和平均值，力学量的本1 112 10CYC Y zL2L征值。8.设氢原子处于状态，求氢原子能量、角动2110211 113( , , )( )( , )( )( , )22rRr YRr Y 量平方及角动量 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。z9.利用坐标与动量的基本对易关系证明：成立。,yzxzxyLLi LLLi Lhh10. 证明在具有完全确定值的态中（） ，和的平均值为零。 （提示： zL zLm h xL yL利用第 8 题的结论） 。11. 证明在离散谱的能量本征态中，不显含时间 的力学量的平均值不随时间变化。tF12. 证明厄密算符平方的平均值是正的。2FTianxin YangPage 33/14/201813. 课堂上讲过的例题。
