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1、第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的链式求导法则为：多元复合函数的链式求导法则为：口诀：分段用乘，分叉用加。口诀：分段用乘，分叉用加。多元函数与多元函数复合的情景多元函数与多元函数复合的情景（将下面的链式法则补充完整）（将下面的链式法则补充完整）xv vz xu uz xz 口诀：分段用乘，分叉用加。口诀：分段用乘，分叉用加。yv vz yu uz yz xz zf xf xu 口诀：分段用乘，分叉用加。口诀：分段用乘，分叉用加。yz zf yf yu xv vf xu uf xw 口诀：分段用乘，分叉用加。口诀：分段用乘，分叉用加。yv vf yu uf
2、yw zv vf zu uf zw xv vf xu uf xz 口诀：分段用乘，分叉用加。口诀：分段用乘，分叉用加。yv vf yu uf yz 根据下列图示，写出复合函数的根据下列图示，写出复合函数的所有所有链式求导法则：链式求导法则：（做题时，一次可能只会用到一个做题时，一次可能只会用到一个-用到那个就写那个，不用到那个就写那个，不必全部写出了。必全部写出了。）xv vf xu uf xz 口诀：分段用乘，分叉用加。口诀：分段用乘，分叉用加。yv vf yu uf yz xv vf xu uf xf 111口诀：分段用乘，分叉用加。口诀：分段用乘，分叉用加。yv vf yu uf yf
3、111xv vf xu uf xf 222yv vf yu uf yf 222xv vf xf xf 口诀：分段用乘，分叉用加。口诀：分段用乘，分叉用加。（简单！（简单！yv vf yf ）（因为图中：红色线段有（因为图中：红色线段有 3 3 条；蓝色线段只有条；蓝色线段只有 2 2 条。条。虽然只少了一条，但对做题过程的影响却非常大。从虽然只少了一条，但对做题过程的影响却非常大。从最后一题的解题过程中就能看出来。最后一题的解题过程中就能看出来。 ）xv vf xf xf 111口诀：分段用乘，分叉用加。口诀：分段用乘，分叉用加。yv vf yf 11xv vf xf xf 222口诀：分段用
4、乘，分叉用加。口诀：分段用乘，分叉用加。yv vf yf 22三、1. (11-7) 已知函数，其中具有二阶连续的偏导数，(,)zf xy xyf求。2zx y 解：本题考查的知识点是：多元复合函数的高阶偏导数设，（这两个属于具体函数）yxuxyv 则（这个属于抽象函数）KKvufz,对 式，把看作常数，由链式法则得（下一步：遇到抽象函数，写y出它的“记号”即可；遇到具体函数，求出它的偏导数。最后一步：在抽象函 数的记号后面标出它的“自变量”-因为求二阶偏导数时，需要知道它的“自 变量”有几个，各是“啥”？，这样，后面做题时，就会“一目了然” 。 ）KKyffxv vf xu uf xz121
5、对 式，把看作常数，由链式法则和函数的和、积求导法则得：x )()(22 2112yv vf yu ufyfyv vf yu uf yxz)1(1222121211xffyfxff222121211xyfyffxff（）2221211)(xyfffyxf注： （这些记号都是为抽象函数准备的！1fvuf,1vufu,uz ）（具体函数不需要这些记号！）2fvuf,2vufv,vz ； ；11fuf 121fvf 112fuf 222fvf 2xv vf xf xf 口诀：分段用乘，分叉用加。口诀：分段用乘，分叉用加。（简单）（简单）yv vf yf 三、1. (07-7) 设，其中具有连续二阶偏
6、导数，xyxxfz,f求和。xyz 2 yxz 2解：本题考查的知识点是：多元复合函数的高阶偏导数设，（这个属于具体函数）xyv 则（这里面既有具体函数又有抽象函数-其KKvxxfz,中，为具体函数；为抽象函数。）xvxf,（下面用到的就是这一个）（下面用到的就是这一个）yv vf yf 先求先求xyz 2对 式，把看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：x xfxyv vfxyz1 2KKvxff,22（下面用到的就是这一个）（下面用到的就是这一个）xv vf xf xf 222对 式，把看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：y222212 2221222 fxyfxyffxv vf xf
7、 xyz设，（这个属于具体函数）xyv 则（这里面既有具体函数又有抽象函数）KKvxxfz,再求再求yxz 2（下面用到的就是这一个）（下面用到的就是这一个）xv vf xf xf 对 式，把看作常数，由链式法则和函数求导法则得：y 221,xyffxvxfxv vf xfxvxfxzKKvxfxyvxxfvxf,21（下面用到的就是这一个）（下面用到的就是这一个）yv vf yf （下面用到的就是这一个）（下面用到的就是这一个）yv vf yf 11（下面用到的就是这一个）（下面用到的就是这一个）yv vf yf 22对 式，把看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：x yv vf xyvx
8、fxyv vfxyv vf yxz2 212 ,1 xfxyfxxfxxf1111 222122222212211fxyfxffx22212fxyf22221fxyfxyz 2比较和的求解过程，可以看出：比的求解过程xyz 2 yxz 2 xyz 2 yxz 2要简单得多。这是因为在中，的关系简单。y注：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无注：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关，所以就可以自由选择次序关，所以就可以自由选择次序-优先选择关系优先选择关系少的变量（在本题中，显然少的变量（在本题中，显然 y 的关系少，这样的关系少，这样优先选择优先选择 y 就会简单的多。就会简单的多。 ）！）！
