《高二(新课标)学年教案选修(2--1)第二章---抛物线中的轨迹与最值问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二(新课标)学年教案选修(2--1)第二章---抛物线中的轨迹与最值问题（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学教案第二章圆锥曲线的方程（2.4 第 4 课时）华师大一附中黄松生第二章圆锥曲线的方程（2.4 第 4 课时）1 课题：抛物线中的轨迹问题及最值问题 教学内容：抛物线中的轨迹问题、最值问题。 教学目的：能掌握抛物线中的各种轨迹的求法、能熟练地掌握抛物线中的最值问题的处理方法。 教学重点：抛物线中的轨迹问题、最值问题。 教学难点：抛物线中的轨迹问题、最值问题。 教学过程： 一、课前复习二、讲解新课三、典例解析 例1 设抛物线过定点A（0， 2） ，且以 x轴为准线求抛物线顶点M的轨迹 C的方程 . 解: 设 动点M(x, y) ，焦点F(x0, y0), |AF|= 2)2(2020yx
2、， 4)2(2020yx. 而2000y yxx， yyxx200，代入 x2+(2y-2)2=4, 1)1( 422yx且 y0. 例 2 已知抛物线C: y=x2-2x+2 ，直线 L：y=kx. 若 L 与 C 有两个公共点P、Q，设 M 为射线 OP 上的点，且111 =+ |OM |OP|O Q |(O 为原点 )，求 M 点的轨迹方程 . 解： 联立方程组 1)1(2xykxy x2-(k+2)x+2=0, l 与 c 有两个公共点P、Q， 0，解得k-2+22 设动点 M(x,y), xM=|OM|cos, MxOMcos|1,同理QPxOQxOPcos|1,cos|1 。由 |
3、1|1|1OQOPOM22111kxxxxxxxQPQPQPM，kxykx221消 去k 可 得2x+y-2=0 ，又 x= 22k及 k 的取值范围可知- 220) 上有两个动点A、 B （A、B 不垂直于x 轴） ， F 为焦点，且 |AF|+|BF|=8 ，又线段 AB 的垂直平分线恒过定点Q(6, 0) 。（ 1）求抛物线C 的方程；（2）求 AQB 的面积的最大值。解： （1）设 A(x1, y1), B(x2, y2)(x1x2)，则 |AF|+|BF|=x1+ 2p+x2+ 2p=x1+x2+p=8. x1+x2=8-p . 线段 AB 的垂直平分线过Q(6, 0)， |AQ|=
4、|BQ|. (x1-6)2+y21=(x2-6)2+y22, (x1-6)2+2px 1=(x2-6)2+2px 2 x21-x22-(12-2p)(x1-x2)=0。 x1x2, x1+x2=12-2p. ，联立得p=4 。抛物线C 方程为高中数学教案第二章圆锥曲线的方程（2.4 第 4 课时）华师大一附中黄松生第二章圆锥曲线的方程（2.4 第 4 课时）2 y2=8x. （ 2）由（ 1）知 AB 中点的横坐标为2，设纵坐标为y0，由 kAB=02121482yyyyyp，AB 的方程为y-y0=04y(x-2) ，代入y2=8x ，得y2-2y 0y+2y20-16=0 。 =4y20-
5、4(2y20-16)0 ，得 -40）上原点以外的两点，且OAOB ，（ 1）求 A、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线AB 过定点；（ 3）求弦 AB 中点 P 的轨迹方程；（4）求 AOB 面积的最小值；（ 5）O 在 AB 上的射影H 轨迹方程。解： 设 A（ x1,y1） ， B（ x2,y2） ，中点 P（x0,y0）（ 1）22 OB11 OAxy k, xy k. OA OB, kOAkOB=-1, x1x2+y1y2=0， y12=2px 1，y22=2px 2.，0yy p2yp2y212 22 1. y10 ，y20, y1y2=-4p2, x 1x2=4p
6、2（ 2） y12=2px 1，y22=2px 2. （ y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)，212121yyp2xxyy, 21AByyp2k. 直线 AB：)xx( yyp2yy1211， 211 121yypx2 y yypx2 y, 212112121yyyypx2yyypx2y，2 2112 1p4yy,px2y. 21221yyp4yypx2 y, )p2x( yyp2y21， AB 过定点（ 2p，0） ，（ 3）设 OA y=kx，代入 y2=2px 得： x=0 或 x=2kp2, A（ kp2 , kp22） ，同理，以 k1代 k 得B（2pk2，-2pk ）
7、 ，)k k1 (Py) k1 k(px022 0 ， 2) kkk1 ( k1 k222，2) py ( px200. 即 y02=px 0-2p2, 中点 M 轨迹方程y2=px-2p2。高中数学教案第二章圆锥曲线的方程（2.4 第 4 课时）华师大一附中黄松生第二章圆锥曲线的方程（2.4 第 4 课时）3 （ 4）|)y|y(|p|)y|y(|OM| 21 SSS2121BOMAOMAOB2 21p4|yy|p2。(当且仅当|y1|=|y2|=2p 时，等号成立.) （ 5） 设 H （x3,y3） ， 则33 OHxy k, 33 AByx k， AB：)xx( yx yy333 3.
8、 即3333x)yy( xy x代入 y2=2p，得02223323332px xpy y xpy y. 由（ 1）知， y1y2=-4p2. 2 3323p4px2 xpy2,x32+y 32-2px 3=0. 点 H 轨迹方程为x2+y2-2px=0 。 （去掉（ 0，0） ）解法二：OHM=900，又由（ 2）知 OM 为定线段 . H 在以 OM 为直径的圆上，点 H 轨迹方程为 (x-p)2+y2=p2。去掉（ 0， 0）四、课堂练习1求抛物线y2=64x 上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值，并求取得最小值时抛物线上点的坐标。解： 设 P(x0,y0)是抛物线上的点，则x
9、0= 6420y，P 到直线 4x+3y+46-0的距离 d= 5|463 644|020yy= 80160)24(80|73648|20020yyy。当 y0=-24, x0=9 时， d 有最小值2。抛物线上的点到直线的最小距离等于2，这时抛物线上点的坐标为(9,-24) 。解法二： 04634642yxxy 无实根，直线与抛物线没有公共点。设与直线4x+3y+46=0平行的直线为 y=-x 34+b，则xybxy64, 342得 y2+48y-48b=0 。设此直线与抛物线相切，即只有一个公共点， =482-4(-48b)=0 ，b=-12. 代入得y=-24 ，x=9 ，即点 P(9,
10、-24) 到直线 4x+3y+46=0的距离最近。最近距离为d= 5|46)24(394|=2. 2 （1）动直线y=a 与抛物线y2=21（x2）相交于A 点，动点B 的坐标是（ 0，3a ） ，求线段AB 中点M 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点 D（2，0）的直线l 交上述轨迹C 于 P、Q 两点， E 点坐标是（ 1，0） ，若 EPQ 的面积为 4，求直线l 的倾斜角的值 . 解： （1） 设 M 点的坐标为 （x， y） ， 由点 A 的坐标为（2a2+2， a） ， B 点的坐标为 （0， 3a） ， 得ayax212. 轨迹 C 的方程为x= 42y+1， 即 y2=4（ x1
11、） ；高中数学教案第二章圆锥曲线的方程（2.4 第 4 课时）华师大一附中黄松生第二章圆锥曲线的方程（2.4 第 4 课时）4 （ 2）设直线l 的方程为 y=k （x2） ，因 l 与抛物线有两个交点，故k0 ，得 x= ky+2，代入y2=4（x1） ，得 y2k4y4=0 ，故 =216k+16 0 恒成立 . 设这个方程的两实根为y1、y2，则 |PQ|=211 k|y1 y2|=22212212)1(44)(11 kkyyyy k. 又 点E到 直 线l的 距 离d= 1|1|201|22kkkkk. EPQ 的面积为SEPQ= 21|PQ| d= |122kk. 由 |122kk=
12、4，解得k2=31， k= 33. = 6或 = 65. 解法二：设直线l 的方程为y=k（ x2） ，代入 y2=4（ x1） ，得 k2x2（ 4k2+4）x+4k2+4=0. 因直线 l与抛物线有两个交点，故k0 ，而 =16（k2+1） 0 恒成立 . 设这个方程的两个实根为x1、 x2，因抛物线y2=4（ x1）的焦点是D（2，0） ，准线是x=0. 所以|PQ|=x1+x2=22)1(4kk. (以下同解法一.) 解法三：设直线l 的方程为y=k（x2） ，因为直线与抛物线交于两点，所以k0 ，则 x= ky+2，代入y2=4（x1）得 y2k4y4=0.SEPQ=SEPD+SEQ
13、D= 21|ED| （ |y1|+|y2|） = 21|ED| |y1y2| = 21 1212214)(yyyy= 21 4416)4(22kk. SEPQ=4，442k=4.得 k= 33， = 6或 65. 五、备选习题1抛物线 y2=4x 中，求经过焦点的弦的中点的轨迹方程。解： 设 A(x1, y1), B(x2, y2)，线段 AB 的中点 P(x, y) ， 则)3.(2)2(,4)1(,421222121yyyxyxyAB 过焦点 F(1, 0)， 12121xyxxyy。， -，得2121214yyxxyy . 将，代入，得yxy241。 y2=2(x-1) 。高中数学教案第
14、二章圆锥曲线的方程（2.4 第 4 课时）华师大一附中黄松生第二章圆锥曲线的方程（2.4 第 4 课时）5 2若点 P 在 y2=x 上，点 Q 在(x-3)2+y2=1 上，求 |PQ| 的最小值。解： 设圆 (x-3)2+y2=1 的圆心为 O (3,0) 。要求 |PQ| 的最小值，只需求|OP|的最小值。设(y20, y0)，设|OP|= 411) 25(95)()3(22 02 022 02 022 0yyyyy。 |OP|的最小值为 211，从而 |PQ|的最小值为1 211。3求抛物线y=x2的一组斜率为2 的平行弦中点的轨迹。解： 设平行弦中任意1 条为 AB，其中 (x1,y
15、1),B(x2,y2),AB 中点 P(x,y) ，则由条件，有22121221222211xxyyxxxxyxy由 -得 y2-y1=(x2-x1)(x2+x1), 即1212xxyy = x2+x1，把 代入得2=2x ， 即 x=1 。由于弦中点必在抛物线内部，且当x=1 时， y=1，抛物线开口向上，所以这些平行弦的中点轨迹方程是x=1 ( y 1 ), 轨迹是去掉端点的一条射线。4已知点 P 是抛物线y2=4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为d1，到直线x+2y-12=0的距离为d2，求 d1+d2的最小值解: 由抛物线的定义知d1=|PF|, d1+d2=|PF|+|PA|
16、 ，可证由点F 向直线 x+2y-12=0引垂线时，与抛物线在第一象限的交点在区域0122,0,0yxyx内则 d1+d2的最小值为F(1, 0) 到 x+2y-12=0的距离，其值为5 51121|121|225求抛物线y=x2上点到直线y=2x-4 距离最短的点的坐标解： 设抛物线上点的坐标(x0, y0)，则 y0=x20，它到 y=2x-4 的距离为d= 5|3)1(|5|42|5|42|2002000xxxyx . 当 x0=1 时， d 有最小值 553。此时 y0=x20=1。6抛物线 x2=-2py(p0) 上的点与直线3x+4y-8=0的最短距离为1，求 p 的值。解：设与直线3x+4y-8=
