《电动力学书后习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电动力学书后习题（106页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 章 电动力学基本方程1. 根据算符的微分性与矢量性，推导下列公式：()()()()()A BBABAABAB u v u vu vu vu vu vu vu vuu vu v21()()2AAAAA u vu vuu vu v解：矢量性为 ()()()ab cbcaca bvv vvv vvv v ()()()ca bb c ac a bvv vv v vv v v ()()()a bcc a bc b av vvv v vv v v微商性 ()ddadba bbadtdtdt vvv vvv()ddadba bbadtdtdt vvv vvv 由得()()()cccBABABA uu
2、 vu vu vu vu vu v ()()()cccABABAB uu vu vu vu vu vu v +得()()()()()()ccccccBAABBAABBAAB uu vu vuu vu vu vu vu vu vu vu vu vu v()()()ccA BABA B u v u vu vu vu v uu v因为 上式得()()()()()ccccA BBAABBAAB u v u vuu vu vuu vu vu vu vu vu v令BAu vu v 得22()2()AAAAA u vu vuu vu v21()() 2AAAAA u vu vuu vu v2.设 是空间坐
3、标 x，y，z 的函数，证明：( )( )( )dff uudxu d AA uudu d AA uudu u vu vu vu v解：( )( )( )( )( )( )( )( )()( )xyzxyzxyzf uf u ef u ef u exyz f uuf uuf uueeeuxuyuz f uuuueeexxyz df uudu u u vu u vu vu u vu u vu vu u vu u vu v( )xyzyxzA uAAAxyz dAdAdAuuu duxduyduzd Audu u vu v( )()()()()()()xyzxyzyyxxzz xyzyyxxzz
4、xyzeeeA uxyz AAAAAAAAAeeeyzzxxy dAdAdAdAdAdAuuuuuueeeduyduzduzduxduxduyd Audu u u vu u vu vu vu u vu u vu vu u vu u vu vu v3.设222()()()rxxyyzz为原点xv 到场点xv 的距离，rv 的方向规 定为从原点指向场点。 证明下列结果，并体会对原变数求微商（ xyzeeexyz ） 与对场变数求微商 （ xyzeeexyz ） 的关系 333311,0,0,(0)rrrrrrrrrrrrrrr vvvvv（最后一式在 r=0 点不成立，见第二章第五节） 求,()
5、,(),sin()rr ara rEk rvv vvv vu u vu u vv。及sin()Ek ruu vu u vv。，其中, a kv v 及Eu v。均为常矢量。 解：222222222()()()()()()()()()xyzxyzrrrreeexyzxxyyee xxyyzzxxyyzzzze xxyyzzr r u u vu u vu vu u vu u vu vv 2 2 2 2 2 2 2 2 2()()()()()()()()()()()()xyzxyzrrrreeexyzxxyyzzeee xxyyzzxxyyzzxxyyzzr r r u u vu u vu vu u
6、 vu u vu vv231111( )( )( )1()xyzxyzeeerx ry rz r rrreeerxyzr r u u vu u vu vu u vu u vu vv 231111( )( )( )1()1xyzxyzeeerxryrzr rrreeerxyzr rr u u vu u vu vu u vu u vu vv33334411()13030rrrrrrrrrr rrrr vvvvvv323343431()113131()30rrrrrrrrr rrrr rrrrr vvvvvvvv 3 3 33433 31()1131()( 3)00(0)r rrrrrrr rrrr
7、rr r r r r vvvvvvvv()()()3rxxyyzzxyz 0xyzeeerxyz xxyyzz u u vu u vu vv()()xyzxyzxxyyzzaraaarxyzrrraaaxyza ea ea ea u u vvvvvvu u vu u vu vv()()()()()00()()xyzxyza rararraraarrraarxyzrrraaaxyza v vvvvvvvvvvvvvvvvvsin()sin()sin()sin()()()cos()()()cos()()()cos()(xyzoxxxyzoyyxyzozzxyEk rk rEk rEkxxkyykz
8、zEE kkxxkyykzzE kkxxkyykzzE kkxxk uu vu u vvu u vvuu vu u vvuu vuu v。)()()cos()()()cos()zoxxoyyozzxyzyykzzE kE kE kkxxkyykzzk r Eku u vv uu v v。sin()sin()sin()cos()cos()cos()cos()()cos()()xxyyzzxxyyzzEk rk rEk rEkk r ekk r ekk r eEk r k ek ek eEk r kE uu vu u vvu u vvuu vu u vvuu vu u vv u u vu u vv
9、 u u vu u vv u vuu vu u vvu u vu u vu vuu vu u vvuu v。4. 应用高斯定理证明VSdVfdSfu vu v 应用斯托克斯（Stokes）定理证明SLdSdLu vu v 解：()()()SSVVdSf cfcdSfc dVdVfc u v vu v vu vu v vu v v SVdSfdVfu vu v ()LLSSSdLcc dLcdSc dSdSc u vvvu vvu vvu vv LSdLdSu v 5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为( )( , ) VP tx t xdVu vvv利用电荷守恒定律0Jtu v证明Pu v 的变化
10、率为( , ) VdPJ x t dVdtu vu v v解： ( , )()()VVVVdP dtxdVJ x t xdVtJ x dVJxdV u vvu v vvu v vu vv() SVSVJxdSJx dVJxdSJdV u vv u vu vvu vv u vu v 取被积区域大于电荷系统的区域，即 V 的边界 S 上的( , )0J x t u v v ，则0.( , )SVJxdSdPJ x t dVdtu vv u vu vu v v。 6. 若mu v 是常矢量，证明除 R=0 点以外矢量3mRARu v u vu v的旋度等于标量3m R Ru v u v的梯度的负值，
11、即(0)AR u v ,其中 R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场 点。 解： 333333333()()()()()()()0()RmR RRRRmmmmRRRR RRmmRR R R RmR u vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu v Q u vu v上式7. 有一内外半径分别为1r和2r的空心介质球，介质的电容率为，使介质内均匀带静止自由电荷f，求 空间各点的电场； 极化体电荷和极化面电荷分布。 解：对空间做高斯面，由： E dSQu vu vQ233 211 444()33Ifr Err33 21 233 21 2()3()3f
12、If IrrErrrErruu vv对空间：做高斯面，由 D dS u vu v233 1444()33fr DrrDEu vu vQ33 1 2()3frrErru vv对空间: 做高斯面，由240r E0E 由 0DEPu vu vu v0PDEu vu vu v3333 101 22()()33ffrrrrPrrru vv3 01 3()()3fr rPrrvu vv3 01 300()()3 ()(30)(1)3Pff fPr rrr u vu vvv2rr时,由边值条件:21nnPPP (Pu v 由 1 指向 2)12432 021 3 233 210 2 233 021 22 2123 011 13 21()()3()() 3(1),()3()0()30()PnnfffPnnfPPrr r rrr rrrrrrPPr rrrrru vu v8. 内外半径分别为 和 的无穷长中空导
