浅谈排列组合中的分组问题

《浅谈排列组合中的分组问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈排列组合中的分组问题（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、浅谈排列组合中的分组问题浅谈排列组合中的分组问题广东石油化工学院高州师范学院 309 数学（2）班 张艳【摘要】排列组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛应用，一直是高考的热点之一，考题一般都以实际生活为背景，以应用题的形式出现。文章简单阐述了排列组合的基本定义、分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列组合数公式，重点论述介绍了排列组合题的解题方法及其解题思路。【关键词】排列与组合 加法原理 乘法原理排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此学好排列与组合

2、至关重要。排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，下面就介绍几类典型排列组合题的解答策略。一、一、 对对“排列组合排列组合”的概述的概述1、基本定、基本定义义及公式及公式排列：从 n 个不同的元素中取出 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同的元素中取出 个元素的一个排列。组合：从 n 个不同的元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个组合。排列数与组合数公式：Anm =n(n-1)(n-m+1)=n!/(n-m)！Cmn=n(n-1)(n-m+1)/12m=n!/m!

3、(n-m)! 2、排列、排列组组合合题题的解的解题题依据及方法依据及方法分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第一类中有 m 种不同的方法，在第二类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=mn 种不同的方法。分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第一步有 m 种不同的方法，做第二步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=mn 种不同的方法。分类法：问题分成互斥各类，根据加法原理，可用分类法；位置法：问题考虑先后次序，根据乘法原理，可用位置法；问题反面简单明了，可用排除法.转化法：复杂排列用转化法，选取后排，转化为组合问题，利用转化公式Pmn=Cmnpmn;粘合法

4、：某些元素必须在一起的紧密排列用“粘合法”,紧密结合的粘成小组，组内外分别排列；某些元素必须不在一起的分离排列用间隔法，无需分离的站好实位，在空位上进行排列。例 1.有 6 本不同的书甲乙丙 3 人每人 2 本，有多少种不同的分法？分成 3 堆，每堆 2 本，有多少种不同的分法？分成 3 堆，一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，有多少种不同的分法？分给甲乙丙 3 人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本，有多少种不同的分法？分成 3 堆，有两堆各 1 本，另外一堆 4 本，有多少种不同的分法？解析：对于问题，首先从 6 本不同的书选出 2 本来给甲，选出的 2 本之间无顺序，为 C6

5、2,其次，从剩下的 4 本书中选出 2 本书来给乙，为 C42，最后剩下的 2 本给丙，为 C22，整个解题过程应用的是分步计数原理，所以最终的分法数为 C62 C42 C22。对于问题，与问题的相同在于都是均匀分组，差别仅仅在于，一个是分给 3 人，一个是分成 3 堆，即分成的 3 组之间，一个是有顺序的，一个是没有顺序的，所以问题的解决可以在问题解决的基础上对 3 组进行消序，即 C62 C42 C22A33对于问题，解决方法与问题一样，用分步计数原理，先从 6 本不同的书中选出 1 本来，再从剩下的 5 本书中选出 2 本来，最后剩下的 3 本作为一堆，最终的分法数为 C61C52C33

6、对于问题（4）,分析题目，可见问题（4）与问题（3）的相同在于都是不均匀分组，差别在于问题（3）是分成 3 堆，即分成的 3 堆无顺序，问题（4）是分给 3 人，即分成的 3 组有序，所以问题（4）的解决可以在问题（3）的基础上，对 3 组进行排序，即 C61C52C33A33对于问题（5） ，这是局部均匀无序的分组分配问题，需要在对局部均匀的组进行消序即可，消序后各组之间按无序对待。所以在之分的基础上，再对均匀的两组进行消序即可，具体解法：(C61C51/A22)C44例 2 求不同坐法的种数（1）6 男 2 女坐成一排，2 女不得相邻；（2）4 男 4 女坐成一排，男女均不得相邻。解：（1

7、）N1=P88-P77P22(种)解题思路：用粘合法结合排除法来解，先紧密排列，2 女粘成一组，与 6男共成七组，组内排列为 P22，组外排列为 P77，得 2 女相邻的坐法为 P77P22种，再从总体 P88种排除，便得到 2 女不得相邻的坐法的种数。还有另一种更简单的方法，2 女不得相邻，也就是必须分开，意味着题意本身就是分离排列，自然可用间隔法6 男先坐实位，再在七个空位中排列 2 女，即 N1=P66P72(种)总结解题方法：解决分离排列的问题可以用粘合法结合排除法，也可直接用间隔法。 （学生容易得出这样的结论）为了澄清学生的模糊认识，可适当的将问题变化一下，例 2（1）改为“5男 3

8、 女坐成一排，3 女都不得相邻”问两种答案P88-P66P33与 P55P63都对吗？解：P88-P66P33=36000，P55P63=14400前一答案用排除法，排除了都相邻，得到的是“3 女不都相邻”的坐法，其中自然包括了 2 女相邻的情形，因此把题意理解错误了，把不符合条件的种数也算进去了，导致失误；而间隔法在 6 个空位中排了 3 女，保证了 3 女都不相邻，题意理解正确，答案显然对。解决分离排列的问题应该用间隔法，既直接又不易出错。题目要求 3 女都不得相邻，而 P88-P66P33=36000，这一解法仅仅排除了 3 女都相邻， “都相邻”并不是“都不相邻”的反面,“都不相邻”的

9、反面除了“都相邻”之外，还有“两个相邻，另一个不相邻” 。计算“两个相邻，另一个不相邻”有多少种排法？解析：首先是哪两个相邻，这是组合问题，显然 C32=3然后把这两人粘合，再用间隔法，有 C32P55P62P22=3120302=21600因此，如果在粘合法结合排除法的基础上，继续做下去，仍能得出正确结果：(P88-P66P33)- C32P55P62P22=36000-21600=14400（2）常见的 错误解答：用间隔法，N2=P54P54(种)这样排法，女的不相邻，男的就不一定不相邻。男不得相邻，女也不得相邻，必须男女都坐好，即男的坐奇数位，女的坐偶数位，或者对调，正确的坐法种数为 N

10、2=2P44P4=1152（种）例 3 直线与圆相离，直线上六点 A1、A2、A3、A4、A5、A6,圆上四点B1、B2、B3、B4,任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？所成直线可分为两类：已知直线上与圆上各取一点或圆上取两点，得到直线最多条数 N1=C61C41+C42(条)再加一条已知直线：N1=C61C41+C42+1(条)所成直线条数最少时，重合的直线最多，需用排除法减去重合的直线条数。因此时由已知直线上与圆上各取一点连成的直线已经有重复。而重复的直线，即是由圆上取两点连成的直线（如图） ，排列重复，便得直线最少条数N2=C61C41-C42+1（条）（例 4 涉及排列组合最

11、值问题，要化繁为简）二、从应用题的条件上看，可分为没有限制条件问题和有限制二、从应用题的条件上看，可分为没有限制条件问题和有限制条件问题。条件问题。（1）若是没有限制条件的排列或组合问题，可直接根据有关公式求得结果。（2）若是有限制条件的排列组合问题，一般都是对某个（些）元素的位置加以限制，被限制的元素，称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置，解决这类问题通常有以下三种方法：以元素为主，即先满足对特殊元素的要求，再考虑其它元素（元素分析法）以位置为主，即先满足对特殊位置的要求，再考虑其它位置（位置分析法）先不考虑限制条件，计算出排列数或组合数后，再减去不合要求的排列数或组合数。例 4（1）某人

12、去四个单位做报告，每个单位只讲一次，有多少种不同的轮讲方法？解：此题要分清 n 与 m 的值分别是多少：某人去四个单位做报告，实质上就是 4 个单位做报告的顺序，四个单位都要讲，就是四个单位排顺序，所以 n=4,m=4,是全排列问题，所以A44=4321=24(种)（2）某铁路段上有 10 个火车站，问这 10 个车站要准备多少种不同的普通客车票？解：每张客车票上印有两个站，这两个站是着铁路上的 10 个站中的任 2个，所以火车票是 10 个站中任取 2 个站（n=10.m=2）又因火车票上的两个站，一个站是起点站，另一个站是终点站，而起点站，终点站互换以后是两张不同的火车票，所以这个问题是从

13、 10 个站中任意选 2 个站得排列问题，所以A102=109=90（种）（3）3 本不同的书，5 名同学去借，每人最多只能借一本，并且全部借完，那么有多少种不同借法？解：这个问题可以换个说法：5 名同学去借 3 本不同的书，就是 5 名同学只有 3 人借到，也就是 5 人种选出 3 人去拿 3 本不同的书，所以 n=5,m=3 是排列问题，所以 A53=543=60(种)以上三道题，主要分清 n 与 m 的值例 5（1）从 1，2，3，4，5 五个数中，任意取出 3 个数字，问可以组成多少个没有重复数字的三位数？解：此题是取出数字后要组成三位数，显然是排列问题，所以A53=543=60(个)

14、（2）某小组共有 8 人，现在要选出 2 人去参加某个会议，有多少种不同的选法？解：从 8 人种选出 2 人企业参加会议，是组合问题，所以C82=8!/2!6!=28（种）例 6（1）从 0,1,2,3,4,5 中任意选出 4 个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数解：0，1,2,3,4，5 六个数字中 0 不能放在最高位，即 0 不能是千位数字，所以 0 是特殊元素，最高位（千位）是特殊位置，因此要先满足特殊位置，也就是千位数的位置，只能由 1,2,3,4,5 中德任意一个数字来占，有 A51种，其余三个位置，由其它 5 个数字来占，有 A53种，因为是分两步进行，所以用乘法，即 A51

15、 A53=300（个）（2）从 1,2,3,4,5 中任意选出 4 个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位奇数解：此题要求是四位奇数，也就是个位数的位置上的数是奇数数字，所以个位的位置是特殊位置，1,3,5 是特殊元素，所以先满足特殊位置，也就是个位的位置由 1,3,5 中的一个来占，有 A31种不同选法，再满足其它三个位置，5个数字中个位占了一个，还有 4 个数字，4 个数字中任选 3 个去占其它三个位置，有 A43种不同方法，因为是分两步进行的，所以两步的种数做乘法，即A31 A43=72（个）（3）有 5 种不同品牌的电视机，摆成一排展销，其中（）甲种品牌电视机要摆放在正中间，问有多少

16、种不同的摆放方法？（）若甲种品牌电视机只能摆在两端，有多少种不同的摆放方法？解：（）此题是有限制条件的问题，也就是甲种品牌电视机要求摆放在正中间，所以甲种品牌电视机为特殊元素，正中间位置为特殊位置，所以先满足特殊位置，特殊元素，即把甲种品牌电视机先放在正中间，再满足其它四个位置，所以 A44=4321=24（种）（）甲种品牌电视机是特殊元素，首末两个位置是特殊元素，先满足一端，先把甲种品牌电视机放在第一个位置，则有 A44种不同摆法，如果甲种品牌电视机放在最后一个位置上，则有 A44种不同摆法，因为把甲种电视机放在第一个位置和最后一个位置是两类方法，所以 2 A44=48 种例 7 从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米的接力赛，其中甲冲刺技术好，规定他跑最后一棒，乙，丙起跑技术不过硬，规定乙丙不跑第一棒，问有多少种不同的选法？解：因为规定甲跑最后一棒，所以从其余 5 人中选 3 人跑其它三棒，又乙丙不跑第一棒，所以第一棒由除去甲乙丙