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1、用心 爱心 专心12.12.1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法教学目的：教学目的：1.通过本节学习,让学生理解数列的概念,理解数列是一种特殊函数,把数列融于函数之中;2.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项,对于比较简单的数列,会根据前几项写出它的通项公式;3.理解递推公式的意思,能类比函数画出数列通项公式的图象;4.理解通项公式与递推公式的异同;5.通过探究、思考、交流、实验、观察、分析等教学方式,充分发挥学生的主体作用,并通过日常生活重的大量实例,鼓励学生动手试验,大胆猜想,培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度;6.通过本节章头图的学习,体会数学来源于
2、生活,理解大自然的丰富多彩,感受“大自然是懂数学的”,从而提高学生学习数学的兴趣.教学重点：教学重点：1.理解数列及其有关概念;2.了解数列的通项公式和递推公式的意义,并能根据通项公式或递推公式写出数列的前几项;3.了解数列和函数之间的关系.教学难点：教学难点：1.根据数列的前几项,归纳出数列的通项公式;2.理解递推公式和通项公式的关系;3.数列的递推公式及其应用的处理技巧.教学过程：教学过程：一、引入新课：一、引入新课：创设情景创设情景引导学生阅读章头图几文字说明,“有人说,大自然是懂数学的” “树木的分叉、花瓣的数量、植物的种子或树木的排列都遵循了某种数学规律”,那么大自然是怎么懂数学的?
3、都遵循了什么样的规律?真是神奇而又奥妙.插图右侧是四种不同类型的花瓣,其花瓣树木分别是13, 8 , 5 , 3,你看出这几个数字的特点了吗?前两个之和恰好等于后一个,你说奇妙不奇妙?这种规律就是我们将要学习的数列.引例引例1.国际象棋中的每个格子中一次放入这样的麦粒数排成一列数634322 ,2 ,2 ,2 , 2 , 1L2.某班学生的学号由小到大排成一列数 45, 4 , 3 , 2 , 1L3.1984 年至 2008 年,我国奥运健儿在历次奥运会上获得的金牌数排成一列数 51,32,28,16,16, 5 ,15像上面这些例子中,按一定次序排成的一列数,它们有什么共同特点?共同特点:
4、(1)每一项都是一个数;用心 爱心 专心2(2)这些数在排列上按一定顺序来.二、讲解新课：二、讲解新课：1.1.数列的概念数列的概念按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项,排在第n位的数称为这个数列的第n项.注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别.2.2.数列的记法数列的记法数列的一般形式可以写成:LL,21naaa,可简记为na.其中na是数列的第n项
5、.3.3.数列的通项公式数列的通项公式如果数列na的第n项na与序号n之间的关系可以用一个公式)(nfan来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一.如L, 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1,它的通项公式可以是2) 1(11nna,也可以是|21cos|nan.(2)通项公式的作用:求数列中的任意一项;检验某数是不是该数列中的项,并确定是第几项.4.4.数列的本质数列的本质从函数的观点看,数列可以看作一个定义域是正整数集*N(或它的子集, 3 , 2 , 1nL)的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是
6、函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立点.由于函数有三种表示法,所以数列也有三种表示法:列表法、图象法和通项公式法.通常用通项公式法表示数列.5.5.数列的分类数列的分类(1)按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列.项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列.(2)按数列的每一项随序号的变化趋势,分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.一个数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;一个数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;各项相等的数列叫做常数列;一个数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它
7、的前一项的数列叫做摆动数列.6.6.递推公式递推公式已知数列的第一项(或前几项),且任一项na与它前一项1na(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.注:已知数列的递推公式时,采用逐次代值法,可以求出数列的其它项值.用心 爱心 专心3三、讲解范例：三、讲解范例：例例 1 1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数:(1)41,31,21, 1; (2)0 , 2 , 0 , 2.(3)7 , 5 , 3 , 1 (4)515,414,313,2122222解解: : (1)nann1) 1( (2)|21cos|2nan(3)12 nan (4)1
8、1) 1(2nnan类型题类型题: : 根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式.(1)L, 0 , 1 , 0 , 1 (2)L356,245,154,83,32(3)L,7777,777,77, 7(4)L,31,25,19,13, 7 , 1(5)L, 9 , 9 , 7 , 7 , 5 , 5 , 3 , 3 , 1 (6)L,15, 7 , 3 , 1(7)L,42,30,20,12, 6, 2 (8)L,9999. 0 ,999. 0 ,99. 0 , 9 . 0(9)L,316, 3 ,34,31(10)L,9910,638,356,154,32答案答案: : (1)2)
9、 1(11nna (2)1) 1(1) 1(2nnan n(3) 110(97n na (4)56() 1(nan n(5)2) 1(1nnna (6)12 n na(7) 1() 1(1nnan n(8)nna1011(9)32nan (10) 12)(12(2 nnnan点评点评: : 这种由“数”给出数列的“式”的题目,解决的关键是找出这个数列呈现的规律性的东西,然后在通过归纳给出这个数列的通项公式.但是学生应该注意到,数列的通项公式并不是唯一的.常用下列手段来解决这类问题:用n) 1(和1) 1(n来调整符号;各项均化为分数,平方数,指数,对数及同类式子再找规律;借助一些特殊的数列:2
10、) 1(,2) 1(1,12,11 2nnannnn n有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示.例例 2 2 根据下面数列na的通项公式,写出前5项.用心 爱心 专心4(1)1nnan (2)nan n) 1( (3)2na解解: : 略例例 3 3 在数列na中,21, 3101aa,通项公式是项数的一次函数.(1)求数列na的通项公式,并求2008a;(2)若nnab2,求数列nb的通项公式.解解: : 略例例 4 4 已知数列na的通项公式为3922nnan.(1)试问2是否是数列na中的项?(2)求数列na的最大项;(3)若0na,求n.解解: : 略例例 5 5 已知数列L,513
11、,25,37, 2 , 1(1)写出这个数列的一个通项公式na;(2)根据na判断数列na的增减性和有界性.解解: : (1)nnan23 (2)因为0122)23()123(1nnnnaann所以数列na是递增数列又因为3230nan所以数列na是有界数列.例例 6 6 已知数列na的首项11a,且) 1(111naann,写出这个数列的前5项.解解: : 略例例 7 7 (1)已知数列na的首项21a,且) 1(41naann,试写出这个数列的前4项,并归纳出通项公式.(2)在数列na中,01a,) 12(1naann(*Nn),试写出这个数列的前4项,并归纳出通项公式.解解: : 略例例
12、 8 8 设数列na是以1为首项的正数列,且)(0) 1(8 122 1Nnaanaannnnn,求数列na的通项公式.解解: : 略用心 爱心 专心5类型题类型题 1:1: 已知数列na满足21a,nnaa21,写出前5项,并猜想na.类型题类型题 2:2: 已知数列na满足21a,221 nn naaa,写出前5项,并猜想na.类型题类型题 3:3: 已知数列na满足31a,231nnaa,写出前5项,并猜想na.例例 9 9 已知数列na的递推公式是nnnaaa2312,且3, 121aa.求:(1)5a; (2)127是这个数列中的第几项? 例例 1010 若记数列na的前n项和为nS
13、,试证明 1111 nSnSSann n.证明证明: : 略变式题变式题 1:1: 已知数列na的前n项和为nnSn22,求na.变式题变式题 2:2: 已知数列na的前n项和为12nnSn,求na.变式题变式题 3:3: 已知数列na的前n项和为12 n nS,求na.例例 1111 如图中的三角形成为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.(P30 例 2)解解: : 略例例 1212 如图是第七届国际数学教育大会的会徽,会徽的主体图 案是由如图所示的一连串直角三角形演
14、化而成,其中18732211AAAAAAOAL,记87321,OAOAOAOAOAL的长度所在的数列为nl(81 ,*nNn)(1)写出数列的前4项; (2)写出数列nl的一个递推关系式;(3)求nl的通项公式;(4)如果把图中的三角形继续做下去,那么20089,OAOA的长度分别为多少?解解: : 略用心 爱心 专心6补充练习补充练习: :1.下列说法正确的是( C )A. 数列7 , 5 , 3 , 1可以表示为7 , 5 , 3 , 1B. 数列2, 1, 0 , 1与数列1 , 0 , 1, 2 是相同的数列C. 数列1nn 的第k项为k11D. 数列L, 8 , 6 , 4 , 2
15、, 0可记为2 n2.设数列L,3333. 0 ,333. 0 ,33. 0 , 3 . 0的通项公式是( B )A. ) 110(91nB.)1011 (31n C.) 110(92nD.) 110(103n3.已知数列na中,)3(1, 3, 12121naaaaannn,则5a等于( A )A. 1255B. 313C. 4 D. 54.已知数列na的首项11a且)2(211naann,则4a等于( D )A. 1 B. 21C. 2417D. 815.已知数列na满足211nnaa,则数列na是( A )A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 6.已知数列na满足nnnaaa
