抛物线焦点弦问题

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1、1江夏一中江夏一中 2013 届文科数学一轮复习专题讲座届文科数学一轮复习专题讲座 抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一一. .弦长问题：弦长问题：例 1 斜率为 1 的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交 AB 两点，求线段 AB 的长。24yx二二. .通径最短问题：通径最短问题：例 2：已知抛物线的标准方程为，直线 过焦点，和抛物线交与 A.B 两点，求 AB 的最小值22ypxl并求直线方程。三两个定值问题：三两个定值问题：例 3：过抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为、22ypx1x2x1y，求证：，。

2、2y2114px y 2 12y yp 四一个特殊直角问题：四一个特殊直角问题：例 4：过抛物线的焦点 F 的直线与抛物线交与 A、B 两点，若点 A、B 在抛物线的准22(0)ypx P线上的射影分别是，求证：。1A1B1190AFB五线段五线段 ABAB 为定长中点到为定长中点到 y y 轴的最小距离问题轴的最小距离问题例 5：定长为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线上移动，设点 M 为线段 AB 的中点，求点 M 到 y 2yx 轴的最小距离。六一条特殊的平行线六一条特殊的平行线 例 6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点 P、Q,经过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于点 M，求 证：

3、直线 MQ 平行于抛物线的对称轴。2七一个特殊圆七一个特殊圆 例 7：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。八一个特殊值：八一个特殊值：例 8：已知抛物线 过焦点 F 弦 AB 被焦点分成 m、n 的两部分，则22ypx112 mnp【练习】1.已知抛物线的焦点为 F，A，B 是抛物线上的两动点，且yx42（0） ，过 A，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M，FBAF（1）证明：的值；（2）设的面积为 S，写出的表达式，并求 S 的ABFM ABM fS 最小值2.对每个正整数 n，是抛物线上的点，过焦点 F 的直线 FAn交抛物线于另一nnnyxA,yx42点，n

4、nntsB,（1）试证：（n1）4nnsx（2）取，并 Cn为抛物线上分别以 An与 Bn为切点的两条切线的交点，求证：n nx2（n1）1221 21nn nFCFCFCL3抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一弦长问题：例 斜率为 1 的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交 A .B 两点，求线段24yxAB 的长。分析：利用弦长公式能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够2 121dRxx运用抛物线第二定义，把焦点的距离和转化到准线的距离较为简单。解： 根据抛物线的定义，同理 11AFx21BFx于是得122ABAFBFxx由题

5、已知消去 y 得21 4y x yx 2610xx 故 126xx628AB 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：或。12ABxxp12AByyp二.通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为，直线 过焦点，和抛物线交与 A.B 两点，22ypxl求 AB 的最小值并求直线方程。解：如果直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ll2px 2ABp如果斜率存在，不妨设斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立k()2pyk x方程组得 消去得22()2ypx py k xy22 222(2 )04k pk xk pp x若 则 0k 222440k pp 1222pxxpk则 1222222ppA

6、Bxxppppkk当时 最小 即 此时 k ABmin2ABp2px BAFoyx4三两个定值问题：例：过抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为、22ypx1x、，求证：，。2x1y2y2114px y 2 12y yp 证明：联立消去 y 得 22()2ypx py k x22 222(2 )0(0)4k pk xk pp xk2124px x 同理消去 y 可得 ；2 12y yp 斜率为 0 时，直线与抛物线不能有两个交点；斜率不存在时， ，同样是定值；2114px y 2 12y yp 从上所述：，2114px y 2 12y yp 四一个特殊直角问题：过抛物线的焦

7、点 F 的直线与抛物线交与 A、B 两点，若点 A、B 在抛物线22(0)ypx P的准线上的射影分别是，求证：。1A1B1190AFB解： 设 A 坐标为（，）B 坐标为（，）1x1y2x2y，11(,)2pAy12(,)2pBy, 12(,)FBP y uuu r12(,)FBP y uuu r2 1212FA FAPy yuuu r uuu u r又由上题可知 ， 。120FA FAuuu r uuu u r2 12y yP 五线段 AB 为定长中点到 y 轴的最小距离问题例：定长为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线上移动，设点 M 为线段 AB 的中点，2yx求点 M 到 y 轴的最

8、小距离。解：抛物线焦点,准线，设点 A、B、M 在准线 上的射影分别是、1( ,0)4F1:4l x l1A、，设点 则1B1M00(,)M xy111111()22AABBAABBAB又AMx ox Fx yx xA x oFyx1A1BBA5， ，所以，101 4MMx3AB 013 42x 05 4x 即的最小值是0x5 4点 M 到 y 轴的最小距离是，当且仅当 AB 过点5 4F 是取得最小距离。 六一条特殊的平行线 例：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点 P、Q,经过点 P 和抛物线顶点的直线交准线 于点 M，求证：直线 MQ 平行于抛物线的对称轴。解： 设抛物线的标准方程为，设

9、P、Q 的坐标为 22ypx，11( ,)x y22(,)xy则 PO 的直线坐标为 又11(,)22PyP x2 1 12yxp带入 M 的纵坐标 2 11 2 11122 2PyPyPyyxy p 又M 的坐标为 故直线平行于抛物线的对称轴。2 2 121 2Py yPyy 02yy七一个特殊圆 例：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。证明： 设抛物线的方程为 ，则焦点，22ypx(,0)2PF准线，设以过焦点的弦为直径的圆2Px 的圆心， 、在准线 上的射影分别是 l、则1A1B1M11AABBAFBFAB又1112AABBMM，即为以为直径的圆的半径，且准线 11

10、 2MMAB 1MMl1MM命题成立。 本篇总结了过焦点的弦与直线的七条性质，认识这几条性质可以更清楚地认识抛物线。BAFAyBxF MQPyxx 6八一个特殊值：例：已知抛物线 过焦点 F 弦 AB 被焦点分成 m、n 的两部分，则22ypx112 mnp证明： 假设直线 AB 的斜率不存在 则112mnpmnp若 AB 的斜率存在，不妨设斜率为 k 则直线 AB 的方程为设，2()2 2py k xypx11( ,)A x y22(,)B xy则 又 2111 224pxyppx x 12pmx22pnx12 21212112()24xxpmn ppmnmnpx xxx 【练习】 （200

11、6 年重庆高考（文）22）对每个正整数 n，是抛物线上的点，nnnyxA,yx42过焦点 F 的直线 FAn交抛物线于另一点，nnntsB,（1）试证：（n1）4nnsx（2）取，并 Cn为抛物线上分别以 An与 Bn为切点的两条切线的交点，求证：n nx2（n1）1221 21nn nFCFCFCL（1）证明：焦点（0，1） 设直线 An Bn方程为：1xkyn消去 y 得 yxxkyn 4120442xkxn4nnsx（2）由 则xy212n nxxy故在 An处切线方程为，即类似的，在 Bnyx42nn nxxxyy2422 nnxxxyyx42处切线方程为，即nn nsxsty2422 nnsxsyF BAoyxx 7两式相减得代入可得2nnsxx14nnxsy则点1,2nn nsxC222222 22 224 42442 nnnnnnnn nxx xxsxsxFC从而nn nxxFC2 2 nnnxxxxxxFCFCFC111221212121LLL122221221 21 2122222111 22nnnn nnLL