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1、1立体几何立体几何 第一节第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积 第一部分第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃 2009 年高考题年高考题 一、选择题 1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.22 3 B. 42 3 C. 2 323 D. 2 343【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为2,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为 212 32333所以该几何体的体积为2 323.答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得
2、到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c2m）为）为（A）48+122 （B）48+242 （C）36+122 （D）36+2423.正六棱锥 P-ABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比 为 （A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：24.在区间-1，1上随机取一个数 x，cos2x的值介于 0 到21之间的概率为( ).2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 2A.31B.2C.21D.32【解析】:
3、在区间-1，1上随机取一个数 x,即 1,1x 时,222x, 0cos12x区间长度为 1, 而cos2x的值介于 0 到21之间的区间长度为21,所以概率为21.故选 C答案 C 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到函数值cos2x的范围,再由长度型几何概型求得.5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为1 2。则该集合体的俯视图可以是答案: C 6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方 体 的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位 是 A
4、. 南 B. 北 C. 西 D. 下 解解：展、折问题。易判断选 B7.如图，在半径为 3 的球面上有, ,A B C三点，90 ,ABCBABC， 球心O到平面ABC的距离是3 2 2，则BC、两点的球面距离是A.3B. C.4 3D.2 答案 B8若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A.2 6B.2 3C. 3 3D.2 3答案 C39，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 3 和 4，过直角顶点的侧棱长为 4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）答案 B 二、填空题10.图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3，则 a=_答案 311.
5、如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3，则a _12若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 3cm 答案 18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1 3 39 ，上面的长方体体积为3 3 19 ，因此其几何体的体积为 1813.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m） 。 则该几何体的体积为 3m 4答案 414. 直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于 。 解:在ABC中2ABAC,120BAC,可得2 3BC ,由正弦定理,可得ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在R
6、T OBO中，易得球半径5R ，故此球的表面积为2420R. 15正三棱柱111ABCABC内接于半径为2的球，若,A B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 答案 816体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于 答案 8 6 17如图球 O 的半径为 2，圆1O是一小圆，12OO ，A、B 是圆1O上两点，若 A，B 两点间的球面距离为2 3，则1AO B= .答案 218.已知三个球的半径1R，2R，3R满足32132RRR，则它们的表面积1S，2S，3S，满足的等量关系是_. 答案 32132SSS19.若球 O1、O2表示面积之比4 21SS，则它们的半径之比
7、 21 RR=_.答案 2 三、解答题20 （本小题满分 13 分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示。墩的上半部分是正四棱锥5PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH。图 5、图 6 分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图； （2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线BD 平面PEG.【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为：P EFGHABCD EFGHVVV221406040203200032000640003 2cm（）如图,连结 EG,HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO.由正四棱锥
8、的性质可知,PO 平面 EFGH , POHF又EGHF HF平面 PEG又BDHFP BD平面 PEG； 620052008 年高考题年高考题 一、选择题一、选择题1.(2008 广东）广东）将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示ABC，分别是GHI三边的中点） 得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）答案答案 A2.（2008 海南、宁夏理）海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ ）A2 2 B2 3 C4 D
9、2 5答案答案 C 【解析解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为, ,m n k，由题意得2227mnk，226mk1n21ka，21mb，所以22(1)(1)6ab228ab，22222()282816abaabbabab4ab当且仅当2ab时取等号。 3.（2008 山东）山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A.9 B.10 C.11 D12E FDIAHG BCE FDABC侧视图 1图 2BE ABE BBE CBE Dnmk7答案答案 D 【解析解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和
10、一个 圆柱组合而成的，其表面及为22411221 312 .S 3. (2007(2007 宁夏理宁夏理8)8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ， 可得这个几何体的体积是（ ）34000cm338000cm332000cm 34000cm答案答案 B B 4.4. （20072007 陕西理陕西理66）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三 个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A433B33C 43D123答案答案 B B5.5.（2006 安徽）安徽）表面积为2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A2
11、 3 B1 3 C2 3 D2 2 3答案答案 A【解析解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由2382 34a知，1a ，则此球的直径为2，故选 A。6.6.（20062006 福建）福建）已知正方体外接球的体积是332，那么正方体的棱长等于（ ）A.22 B.332C.324D.3342020正视图20侧视图101020 俯视图8答案答案 D【解析解析】正方体外接球的体积是32 3，则外接球的半径 R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于4 3 3，选 D.7.7.（ 2006 湖南卷）湖南卷）过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成
12、的角是 60则该截面的面积是 ( )A B.2 C.3 D.32答案答案 A 【解析解析】过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60，则截面圆的半径是21R=1，该截面的面积是 ，选 A.8.8.（20062006 山东卷）山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 13 B. 13 C. 133 D. 19答案答案 C【解析解析】设正方体的棱长为 a，则它的内切球的半径为1 2a，它的外接球的半径为3 2a，故所求的比为 133，选 C.9.（2005 全国卷全国卷）一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积
13、 为 ( )A.28 B.8 C.24 D.4答案答案 B B 10.（2005 全国卷全国卷）如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 BCFADE、均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为 ( )A.32B.33C. 34D.23二、填空题二、填空题 11.11.（2008 海南、宁夏理科）海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8，底面周长为 3，则这个球的体积为 答案答案 349【解析解析】令球的半径为R，六棱柱的底面边长为a，高为h，显然有22( )2haR，且21396248 363aVahha 1R344 33VR.12.（2008 海南、宁夏文）海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为 3，那么这个球的体积为_答案答案 4 3【解
