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1、 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 1 - 2O y x 12xy 1 D【海文考研数学】【海文考研数学】 20082008 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试农学门类农学门类联考数学试题解析联考数学试题解析 一、选择题：一、选择题：1 18 8 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 3232 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求, ,请选出请选出 一项最符合题目要求的一项最符合题目要求的. . (1)【答案】(B) 【解析】函数2sin(1)
2、( )1xf xx在点1x 没有定义,而 21sin(1)lim1xx x ,所以1x 为无穷间断点； 211sin(1)sin(1)1limlim1(1)(1)2xxxx xxx,所以1x 为可去间断点. 故选(B). (2)【答案】(D) 【解析】(1)(1)(1)(1)xxxxxdydfefeedxfee dx, 故选(D). (3)【答案】(C) 【解析】由于20( )( ) xF xf t dt,则 2202220( )( )( )() ()2()xxF xf t dtf t dtf xxxf x , 故选(C). (4)【答案】(A) 【解析】积分区域D如右图所示.由于 ( , )
3、|01,220( , )| 20,01,2Dx yyyxxx yxy 所以, 10012 02220( , )( , )xydyf x y dxdxf x y dy, 故选(A). (5)【答案】(D) 【解析】根据行列式的性质,有 2123213223123223,2,2,2,02,26.BA 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 2 - 故选(D). (6)【答案】(C) 【解析】对于 A、B、D 选项,由于 122331(2)(2)()0； 122331(2)2()(2)0； 122331()(2)(2)0, 根据线性相关的定义可知,A、B、D
4、 选项中的向量组都是线性相关的.由排除法可得 C 正确. 事实上,可以根据定义证明选项 C 正确. 设 112223331(2)(2)()0kkk, 整理得 131122233(2)()(2)0kkkkkk . 由于向量组123, 线性无关,所以13122320,0,20,kkkkkk 此线性方程组的系数矩阵 201 110 021A . 由于 201220221101104011021021A , 所以方程组13122320,0,20,kkkkkk 只有零解,即1230kkk. 由线性无关的定义可知,向量组1223312,2, 线性无关. (7)【答案】(A) 【解析】若123,A A A相
5、互独立,由相互独立的定义可知, 121223231313123123()() (),()() (),()() (),()() () (),P A AP A P AP A AP A P AP A AP A P AP A A AP A P A P A由此可得123,A A A两两独立,故(A)正确； 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 3 - 对于选项(B),若123,A A A两两独立,则 121223231313()() (),()() (),()() (),P A AP A P AP A AP A P AP A AP A P A但123123()
6、() () ()P AA AP A P A P A不一定成立,即123,A A A不一定相互独立,(B)不正确； 根据相互独立的定义可知,选项(C)显然不正确； 对于选项(D),令事件2A ,则1A与2A独立,2A与3A独立,但1A与3A不一定独立.故选项(D)不正确. (8)【答案】(D) 【解析】X服从参数为, n p的二项分布,则 (),()(1)E Xnp D Xnpp. 由期望和方差的性质,可得 (21)(2)(1)2 () 121; (21)(2)(1)2 () 121; (21)(2)4 ()4(1); (21)(2)4 ()4(1).EXEXEE Xnp EXEXEE Xnp
7、DXDXD Xnpp DXDXD Xnpp 故选项(D)正确,应选(D). 二、填空题：二、填空题：9 91414 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分. . (9)【答案】2 【解析】令( )0xfxee ,可得1x .( )xfxe,(1)0fe,根据极值的第二充分条件,可得1x 为函数( )2xf xeex的极小值点,极小值为(1)2f . (10)【答案】222e 【解析】22222| | | |202220(1)2222xxxxxex dxe dxxe dxe dxee . (11)【答案】1yx 【解析】首先求(0,1)y.方程sin()ln()xyy
8、xx两边对x求导,得 1cos() ()(1)1xyyxyyyx, 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 4 - 将0,1xy代入上式,得(0,1)1y,即切线的斜率为 1,所以,切线方程为1yx. (12)【答案】(1)8e 【解析】作极坐标变换cos ,sinxryr,则 22( , )|1,0( , )|01,04Dx yxyyxrr, 2222214 00112001(1).4 288xyrDrredxdyderdre dree (13)【答案】4 3【解析】由于A的特征值为 1,2,3,所以 1 2 36A , 1131422863AA .
9、 (14)【答案】5 【解析】由于1234,X XXX为来自正态总体(2,4)N的简单随机样本,所以 ()2,()4,1,2,3,4.iiE XD Xi 又由于22()()()E XD XEX,而 442 114411111()()()()1,444 11()()()()2,44iii iiiii iiD XDXDXD XE XEXEXE X所以 222()()()1 25E XD XEX . 三、解答题：三、解答题：15152323 小题小题, ,共共 9494 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . (15)(15)(本题满分本题满分
10、1010 分分) ) 【解析】 2200001 cos(sin )1 cos(sin )sin(sin )cossin1limlimlimlim2221xxxxxxxxxx xxxe. (16)(16)(本题满分本题满分 1010 分分) ) 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 5 - 【解析】令2,2tx xtdxtdt ln(1)2 ln(1)2 ln(1)21 12 ln(1)2 (1)1 2 ln(1)22ln(1)2(1)ln(1)2.xdxtdtx tttdttttdtt ttttCxxxC (17)(17)(本题满分本题满分 1010
11、 分分) ) 【解析】原方程可化为1xyyxex,则 11 .dxdxxxxxxyeexe dxCxe dxCxeCx 将10xy代入得1Ce,故所求特解为xxyxee. (18)(18)(本题满分本题满分 1111 分分) ) 【解析】设 2( )(1)1xf xx ex , 则 22( )(1 2 )1,( )4xxfxx efxxe . 当0x 时,( )0fx,则( )fx单调增加,故( )(0)0,( )fxff x单调增加.于是 ( )(0)0f xf,即2(1)1xx ex . (19)(19)(本题满分本题满分 1111 分分) ) 【解析】 cos(2 )xyxyzyeeyx
12、, (2)cos(2 )xyxyzxeeyy, 2 cos(2 )cos(2 )sin(2 ) (2)(1)cos(2 )(2)sin(2 ).xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyzeeyxyeeyyeeyxex yexyeyy xeey (20)(20)(本题满分本题满分 9 9 分分) ) 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 6 - 【解析】由2AXBX,得(2 )AE XB,其中E为单位矩阵. 1112012 002AE . 因为220AE ,所以2AE可逆,1(2 )XAEB.而 13112 (2 )0111002AE , 则 11
13、11 (2 )100 101XAEB . (21)(21)(本题满分本题满分 1212 分分) ) 【解析】解法解法 1 1 方程组系数行列式111 121 230Daa . 当0D 时,即1a 时,由克莱姆法则知方程组有唯一解； 当1a 时,方程组的系数矩阵111121230A , 对方程组的增广矩阵施行初等行变换得 11121112 12110123 2300001B bb . 当1b 时,( )2, ( )3, ( )( )r Ar Br Ar B,线性方程组无解； 当1b 时,( )( )23r Ar B,线性方程组有无穷多解,其通解为 123533201xxkx ,其中k为任意常数. 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 7 - 解法解法 2 2 方程组的系数矩阵11112230Aa , 对方程组的增广矩阵施行初等行变换得 11121112 1210113 2300011Baa bab . 当1,1ab 时,( )2, ( )3, ( )( )r Ar Br Ar B,线性方程组无解
