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1、恩师指路，一点成“公”第 1 页共 15 页一、容斥原理容斥原理关键就两个公式：1. 两个集合的容斥关系公式：A+B=A B+A B 2. 三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A BC+A B+BC+C A-ABC 请看例题：【例题 1】某大学某班学生总数是32 人，在第一次考试中有26 人及格， 在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4 人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22 B.18 C.28 D.26 【 解 析 】 设A=第 一 次 考 试 中 及 格 的 人 数 (26人 ),B= 第 二 次 考 试 中 及 格 的 人 数 (24人 ), 显然,A+B=26
2、+24=50； A B=32-4=28，则根据 AB=A+B-A B=50-28=22。答案为 A。【例题 2】电视台向100 人调查前一天收看电视的情况，有62 人看过 2 频道， 34 人看过 8 频道， 11人两个频道都看过。问两个频道都没看过的有多少人？【解析】设 A=看过 2 频道的人 (62) ，B=看过 8 频道的人 (34) ，显然， A+B=62+34=96 ；AB=两个频道都看过的人(11) ，则根据公式AB= A+B-AB=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为 100-85=15 人。二、作对或做错题问题【例题】某次考试由30 到判断题，每作对一道题得4 分，
3、做错一题倒扣2 分，小周共得96 分，问他做错了多少道题？A.12 B.4 C.2 D.5 【解析】方法一假设某人在做题时前面24 道题都做对了 , 这时他应该得到96分, 后面还有 6 道题 , 如果让这最后6 道题的得分为 0, 即可满足题意 . 这 6 道题的得分怎么才能为0分呢 ?根据规则 , 只要作对 2 道题 , 做错 4道题即可 ,据此我们可知做错的题为4 道, 作对的题为26 道. 方法二作对一道可得4 分, 如果每作对反而扣2 分, 这一正一负差距就变成了6 分.30 道题全做对可得120 分,而现在只得到96 分, 意味着差距为24 分 , 用 246=4 即可得到做错的题
4、, 所以可知选择B 三、植树问题核心要点提示：总路线长间距( 棵距 ) 长棵数。只要知道三个要素中的任意两个要素，就可以求出第三个。【例题 1】李大爷在马路边散步，路边均匀的栽着一行树，李大爷从第一棵数走到底15 棵树共用了7分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走，当他回到第5 棵树是共用了30 分钟。 李大爷步行到第几棵数时就开始往回走？A.第 32 棵 B.第 32 棵 C.第 32 棵 D.第 32棵解析：李大爷从第一棵数走到第15 棵树共用了7 分钟，也即走14 个棵距用了7 分钟，所以走没个棵距用 0.5 分钟。当他回到第5 棵树时，共用了30 分钟，计共走了300.5=60 个棵距
5、，所以答案为B。第一棵到第 33 棵共 32 个棵距，第33 可回到第 5 棵共 28 个棵距， 32+28=60个棵距。【例题 2】为了把 2008 年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划恩师指路，一点成“公”第 2 页共 15 页在通往两个比赛场馆的两条路的( 不相交 )两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000 米，若每隔 4 米栽一棵，则少2754 棵；若每隔 5 米栽一棵，则多396棵，则共有树苗：( ）A.8500 棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵解析：设两条路共有树苗棵，根据栽树原理，路的总长
6、度是不变的，所以可根据路程相等列出方程：( +2754-4) 4=( -396-4) 5(因为 2 条路共栽 4 排，所以要减4) 解得 =13000，即选择 D。四、和差倍问题核心要点提示： 和、差、倍问题是已知大小两个数的和或差与它们的倍数关系，求大小两个数的值。 ( 和+差) 2=较大数； ( 和差 ) 2=较小数；较大数差=较小数。【例题】甲班和乙班共有图书160 本，甲班的图书是乙班的3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？解析：设乙班的图书本数为1 份，则甲班和乙班图书本书的合相当于乙班图书本数的4 倍。乙班160（3+1)=40( 本) ，甲班 403=120( 本) 。五浓度问题【例
7、 1】(2008 年北京市应届第14 题)甲杯中有浓度为17% 的溶液 400 克，乙杯中有浓度为23% 的溶液 600 克。现在从甲、 乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。问现在两倍溶液的浓度是多少( ) A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4% 【答案】 B。【解析】这道题要解决两个问题：(1) 浓度问题的计算方法浓度问题在国考、京考当中出现次数很少，但是在浙江省的考试中，每年都会遇到浓度问题。这类问题的计算需要掌握的最基本公式是(2) 本题的陷阱条件“现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲
8、杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两倍溶液的浓度相同。”这句话描述了一个非常复杂的过程，令很多人望而却步。然而，只要抓住了整个过程最为核心的结果“甲、乙两杯溶液的浓度相同”这个条件，问题就变得很简单了。因为两杯溶液最终浓度相同，因此整个过程可以等效为将甲、乙两杯溶液混合均匀之后，再分开成为 400 克的一杯和 600 克的一杯。 因此这道题就简单的变成了“甲、乙两杯溶液混合之后的浓度是多少”这个问题了。根据浓度计算公式可得，所求浓度为：如果本题采用题设条件所述的过程来进行计算，将相当繁琐。恩师指路，一点成“公”第 3 页共 15 页六行程问题【例 1】(2006 年北京
9、市社招第21 题)2 某单位围墙外面的公路围成了边长为300 米的正方形，甲乙两人分别从两个对角沿逆时针同时出发，如果甲每分钟走90 米，乙每分钟走70 米，那么经过 ( ) 甲才能看到乙A.16 分 40 秒 B.16 分 C.15 分 D.14 分 40秒【答案】 A。【解析】这道题是一道较难的行程问题，其难点在于“甲看到乙”这个条件。有一种错误的理解就是“甲看到乙”则是甲与乙在同一边上的时候甲就能看到乙，也就是甲、乙之间的距离小于300 米时候甲就能看到乙了，其实不然。考虑一种特殊情况，就是甲、乙都来到了这个正方形的某个角旁边，但是不在同一条边上，这个时候虽然甲、乙之间距离很短，但是这时
10、候甲还是不能看到乙。由此看出这道题的难度甲看到乙的时候两人之间的距离是无法确定的。有两种方法来“避开”这个难点解法一：借助一张图来求解虽然甲、乙两人沿正方形路线行走，但是行进过程完全可以等效的视为两人沿着直线行走，甲、乙的初始状态如图所示。图中的每一个“格档”长为300 米，如此可以将题目化为这样的问题“经过多长时间，甲、乙能走入同一格档？”观察题目选项，发现有15 分钟、 16 分钟两个整数时间，比较方便计算。因此代入15 分钟值试探一下经过 15 分钟甲、乙的位置关系。经过15 分钟之后，甲、乙分别前进了90151350 米 (4300150) 米70151050 米 (3300150)
11、米也就是说，甲向前行进了4 个半格档，乙向前行进了3 个半格档，此时两人所在的地点如图所示。甲、乙两人恰好分别在两个相邻的格档的中点处。这时甲、乙两人相距300 米，但是很明显甲还看不到乙，正如解析开始处所说，如果单纯的认为甲、乙距离差为300 米时，甲就能看到乙的话就会出错。考虑由于甲行走的比乙快，因此当甲再行走150 米，来到拐弯处的时候，乙行走的路程还不到150 米。此时甲只要拐过弯就能看到乙。因此再过 150/90 1 分 40 秒之后， 甲恰好拐过弯看到乙。所以甲从出发到看到乙，总共需要16 分 40 秒，甲就能看到乙。这种解法不是常规解法，数学基础较为薄弱的考生可能很难想到。解法二
12、：考虑实际情况由于甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此实际情况下，甲能够看到乙恰好是当甲经过了正方形的一个顶点之后就能看到乙了。也就是说甲从一个顶点出发，在到某个顶点时，甲就能看到乙了。题目要求的是甲运动的时间，根据上面的分析可知，经过这段时间之后，甲正好走了整数个正方形的边长，转化成数学运算式就是90t 300n 其中， t 是甲运动的时间，n 是一个整数。带入题目四个选项，经过检验可知，只有A选项 16分 40 秒恩师指路，一点成“公”第 4 页共 15 页过后，甲运动的距离为90（ 166040)/60 15003005 符合“甲正好走了整数个正方形的边长”这个要求，它是正确答案。七抽屉问题
13、三个例子：（1）3 个苹果放到2 个抽屉里，那么一定有1 个抽屉里至少有2 个苹果。（2）5 块手帕分给4 个小朋友，那么一定有1 个小朋友至少拿了2 块手帕。（3）6 只鸽子飞进5 个鸽笼，那么一定有1 个鸽笼至少飞进2 只鸽子。我们用列表法来证明例题（1） ：放法 抽屉种种种种第 1 个抽屉3 个2 个 1 个0 个第 2 个抽屉0 个1 个 2 个3 个从上表可以看出，将3 个苹果放在 2 个抽屉里，共有4 种不同的放法。第、两种放法使得在第1 个抽屉里，至少有2 个苹果；第、两种放法使得在第2 个抽屉里，至少有 2 个苹果。即：可以肯定地说，3 个苹果放到2 个抽屉里，一定有1 个抽屉
14、里至少有2 个苹果。由上可以得出：题号物体数量抽屉数结果（1）苹果3 个 放入 2 个抽屉有一个抽屉至少有2 个苹果（2）手帕5 块 分给 4 个人有一人至少拿了2 块手帕（3）鸽子6 只 飞进 5 个笼子有一个笼子至少飞进2 只鸽上面三个例子的共同特点是：物体个数比抽屉个数多一个，那么有一个抽屉至少有2 个这样的物体。从而得出：抽屉原理 1：把多于 n 个的物体放到n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2 个或 2 个以上的物体。再看下面的两个例子：（4）把 30 个苹果放到6 个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于5？（5）把 30 个以上的苹果放到6 个抽屉中，问
15、：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等恩师指路，一点成“公”第 5 页共 15 页于 5？解答 : （4）存在这样的放法。即：每个抽屉中都放5 个苹果；（5）不存在这样的放法。即：无论怎么放，都会找到一个抽屉，它里面至少有6 个苹果。从上述两例中我们还可以得到如下规律：抽屉原理 2： 把多于 m n 个的物体放到n 个抽屉里， 则至少有一个抽屉里有m 1 个或多于 m l 个的物体。可以看出，“原理 1”和“原理 2”的区别是：“原理 1”物体多，抽屉少，数量比较接近；“原理 2”虽然也是物体多，抽屉少，但是数量相差较大，物体个数比抽屉个数的几倍还多几。以上两个原理，就是我们解决
16、抽屉问题的重要依据。抽屉问题可以简单归结为一句话：有多少个苹果，多少个抽屉，苹果和抽屉之间的关系。解此类问题的重点就是要找准“抽屉”，只有“抽屉”找准了， “苹果”才好放。我们先从简单的问题入手：（1）3 只鸽子飞进了2 个鸟巢，则总有1 个鸟巢中至少有几只鸽子？（答案：2 只）（2）把 3 本书放进 2 个书架，则总有1 个书架上至少放着几本书？（答案：2 本）（3）把 3 封信投进 2 个邮筒，则总有1 个邮筒投进了不止几封信？（答案：1 封）（4）1000 只鸽子飞进50 个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有几只鸽子？（答案： 10005020，所以答案为20 只）（5）从 8 个抽屉中拿出17 个苹果，无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了几个苹果？（
