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1、第 1 页 共 66 页2009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编立体几何立体几何一、选择题1.(2009 年广东卷文)给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 【答案】D【解析】错, 正确, 错, 正确.故选 D2.（2009 广东卷 理）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
2、若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【解析】选 D.3.（2009 浙江卷理）在三棱柱111ABCABC中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面11BBC C的中心，则AD与平面11BBC C所成角的大小是 ( )A30o B45o C60o D90o 答案：C 【解析】取 BC 的中点 E，则AE 面11BBC C，AEDE，因此AD与平面11BBC C所成角即为ADE，设ABa，则3 2AEa，2aDE
3、 ，即有0tan3,60ADEADE4.（2009 浙江卷文）设, 是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ）第 2 页 共 66 页A若,l ，则l B若/ / ,/ /l ，则l C若,/ /l ，则l D若/ / ,l ，则l 4C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系【解析】对于 A、B、D 均可能出现/l，而对于 C 是正确的 5.（2009 北京卷文）若正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长为 1，1AB与底面 ABCD 成60角，则11AC到底面 ABCD 的距离为 ( )A3 3B
4、1C2D3【答案答案】D.w【解析解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概 念. 属于基础知识、基本运算的考查.依题意，160B AB，如图，11 tan603BB ，故选 D.6.（2009 北京卷理）若正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长为 1，1AB与底面ABCD成 60角，则11AC到底面ABCD的距离为 （ ）A3 3B1 C2 D3【答案答案】D【解析解析】本题主要考查正四棱柱的概念、 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第 4 题解答图） 属于基础知识、基本运算的考查.依题意，160B AB，如图，11 tan603B
5、B ，故选 D.7. (2009 山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).第 3 页 共 66 页A.22 3 B. 42 3 C. 2 323 D. 2 343【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为2,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为 212 32333所以该几何体的体积为2 323.答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.8. (2009 山东卷理)已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“”是“m”的
6、( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的一条直线,m,则,反过来则不一定.所以“”是“m”的必要不充分条件. 答案:B. 【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.9. (2009 山东卷文)已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“”是“m”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的一条直线,m,则,反过来则不一定.所以“”是“m”的必
7、要不充分条件 .答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.10.（2009 全国卷文） 已知正四棱柱1111ABCDABC D中，1AA=2AB，E为1AA重点，则异面直线BE与1CD所形成角的余弦值为2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 第 4 页 共 66 页（A）10 10(B) 1 5(C) 3 10 10(D) 3 5答案：答案：C解析：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，解析：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，CDBA,因此求因此求EBA中中ABE 即可，易知即可，易知 EB=2,AE=1,AB=5,故由
8、余弦定理求故由余弦定理求 cosABE=3 10 10，或由向，或由向量法可求。量法可求。11.（2009 全国卷文）设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C。若圆 C 的面积等于47，则球 O 的表面积等于 答案：答案：8解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由.8)14474(4422 RS12.（2009 全国卷理）已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成
9、的角的余弦值为（ D ）（A）3 4（B）5 4（C）7 4(D) 3 4解：设BC的中点为 D，连结1AD，AD，易知1A AB 即为异面直线AB与1CC所成的角,由三角余弦定理，易知1 13cocs4oscosAD ADA ADDABA A AB.故选 D BCBCA111AD13.（2009 全国卷理）已知二面角 -l- 为60o ，动点 P、Q 分别在面 、 内，P 到 的距离为3，Q 到 的距离为2 3，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（ C ）第 5 页 共 66 页(A) (B)2 (C) 2 3 (D)4 解:如图分别作,QAA AClC PBB于于于 PDlD 于，连,60
10、 ,CQ BDACQPBD 则2 3,3AQBP，2ACPD又222122 3PQAQAPAPQ当且仅当0AP ，即AP点与点重合时取最小值。故答案选 C。 14.14.（2009 江西卷文）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为A. ACBD B. AC截面PQMN C. ACBD D. 异面直线PM与BD所成的角为45o答案：C【解析】由PQAC，QMBD，PQQM可得ACBD，故A正确；由PQAC可得AC截面PQMN，故B正确； 异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确； 综上C是错误的，故选C.15.15.（2009 江西卷理）如图，
11、正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为 AOABC是正三棱锥B直线OB平面ACDC直线AD与OB所成的角是45oD二面角DOBA为45o 答案：B【解析】将原图补为正方体不难得出 B 为错误，故选 BPQMNABCD第 6 页 共 66 页yxzOABCD16.（2009 四川卷文）如图，已知六棱锥ABCDEFP 的底面是正六边形，ABPAABCPA2, 平面则下列结论正确的是A. ADPB B. PAB平面PBC平面C. 直线BCPAE平面D. 直线ABCPD与平面所成的角为 45【答案答案】D 【解析解析】AD 与 PB 在平面
12、的射影 AB 不垂直，所以 A 不成立，又，平面 PAB平面 PAE，所以PAB平面PBC平面也不成立；BCAD平面 PAD, 直线BCPAE平面也不成立。在PADRt中，PAAD2AB，PDA45. D 正确 17.（2009 四川卷文）如图，在半径为 3 的球面上有CBA、三点，ABC=90， BCBA ,球心 O 到平面ABC的距离是223，则CB、两点的球面距离是A. 3B. C. 34D.2【答案答案】B 【解析解析】AC 是小圆的直径。所以过球心 O 作小圆的垂线，垂足 O是 AC 的中点。OC223)223(322，AC32，BC3，即 BCOBOC。3BOC，则CB、两点的球面
13、距离33第 7 页 共 66 页18.（2009 全国卷理）已知正四棱柱1111ABCDABC D中，12AAAB，E为1AA中点，则异面直线BE与1CD所成的角的余弦值为A. 10 10B. 1 5C. 3 10 10D. 3 5解解：令1AB 则12AA ,连1AB1C DQ1AB 异面直线BE与1CD所成的角即1AB与BE所成的角。在1ABE中由余弦定理易得13 10cos10ABE。故选故选 C19.（2009 辽宁卷理）正六棱锥 PABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 DGAC 与三棱 锥 PGAC 体积之比为 （A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2 【解析】由于 G 是 PB 的中点,故 PGAC 的体积等于 BGAC 的体积在底面正六边形 ABCDER 中BHABtan303 3AB而 BD3AB故 DH2BH于是 VDGAC2VBGAC2VPGAC 【答案】C20.（2009 宁夏海南卷理） 如图，正方体1111ABCDABC D的棱线长为 1，线段11B D上有两个动点 E
