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1、绝密绝密启用前（模拟一）启用前（模拟一）2012201220122012年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题数学一试题数学一试题数学一试题1考生必须严格遵守各项考场规则. 2答题前，考生应将答题卡上的“考生姓名” 、 “报考单位” 、 “考生编号”等信 息填写清楚，并与准考证上的一致. 3答案必须按要求填涂或写在指定的答题纸上. （1）选择题、填空题、解答题的答案写在相应的答题纸位置上. （2）必须用（黑）色字迹钢笔、圆珠笔、或签字笔在答题卡上作答. 4考试结束后，将答题纸一起放入原试卷袋中，试卷交给监考人
2、员.考生注意事项考生注意事项考生注意事项考生注意事项一一、选择题选择题：1 1 1 18 8 8 8 小题小题，每小题每小题 4 4 4 4 分分，共共 32323232分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸在答题纸指定位置上指定位置上. . . .（1）设函数20( )ln(3)xf xt dt=+则( )fx的零点个数（）（A）0（B）1（C）2（D）3（2）设有两个数列 ,nnab，若lim0nna =，则（）（A）当1n nb=收敛时，1nn na b=收敛.（B）当
3、1n nb=发散时，1nn na b=发散.（C）当1n nb=收敛时，221nn na b=收敛.（D）当1n nb=发散时，221nn na b=发散.（3）已知函数( )yf x=对一切非零x满足02( )3 ( )xxxfxx fxee+=00()0(0),fxx= /则（）（A）0()f x是( )f x的极大值（B）0()f x是( )f x的极小值（C）00(,()xf x是曲线( )yf x=的拐点（D）0()f x是( )f x的极值，但00(,()xf x也不是曲线( )yf x=的拐点（4）设在区间a,b上1( )0,( )0,( )0( ),baf xfxfxSf x
4、dx，令11ni iYXn=， 则（）（A）21cov(, )YXn=（B）2 1cov(, )YX=（C）2 12()nDYXn+=（D）2 11()nDYXn+=二、填空题：二、填空题：9 9 9 9 14141414小题，每小题小题，每小题 4 4 4 4 分，共分，共 24242424 分，请将答案写分，请将答案写在答题纸在答题纸指定位置上指定位置上. . . .（9）设函数20 3sin ,0( ),0xt dt xf xx ax = = 在0x=处连续，则a=（10）3 330cosxxdx=.（11）设函数( )yy x=由方程xyxyxsin)ln(32+=+确定，则0|xdy
5、 dx=（12）曲线xxxy223+=与x轴所围成的图形的面积A为.（13） ）若 4 维列向量, 满足3T =，其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值为（14）设12,mXXX为来自二项分布总体(),B n p的简单随机样本，X和2S分别为样本均值和样本方差。若2XkS+为2np的无偏估计量，则k=。数一模考数一模考 1 1 1 1 答案答案一、选择题一、选择题（1）B （2）C（3）D（4）B（5）D（6）B（7）B （8）A 二、填空题二、填空题（9）1 3a=（10）29(4)（11）1.（12）37 12（13） ）3（14）1三三、解答题解答题：1515151523232323小题小
6、题，共共 94949494分分. . . .请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上. . . .解答应写出文字说明解答应写出文字说明、 、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . . .（15）求极限lim xxxxx +【解【解】 ：lim xxxxx +lim()11limlim2 11xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxx x+= += +根式有理化（16）求微分方程 =+ 1)0(, 2)0()( 22yyyyy的解【解【解】 ：令dydppypy= ，则得到ypdydpp=+22令up=2, 得到yudydu=+为关于y的一阶线性方程. 且1)0()0(0
7、|22=ypxu解得yceyu+=1所以2)0(121)0(0|1+=+=ceceyxuy,0=c.于是1=yu,1=ypdxydy=1,112cxy+=,2211cxy+=2)0(=y,得到121=c,得解121+=xy（17）设函数( )f x在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足23( )( )()2axf xf xxa=+为常数，又曲线)(xfy=与0,1=yx所围的图形 S 的面积值为 2，求函数( ),yf x=并问a为何值时，图形Sx绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.【解】由题设知，当0,x=/时2( )( )3 2xfxf xa x=即( )3,2df x
8、a dxx=根据此并由( )0f xx=在点处的连续性，得23( ),0,12axf xCx x=+又由已知条件得1 2321 0 0312()()|222CaxCx dxaxx=+=+Ca21 21+=即.4aC=因此.)4(23)(2xaaxxf+=旋转体的体积为211 22003( )( )(4)2V afx dxaxa xdx=+)316 31 301(2+=aa11( )()0153V aa=+=得5.a= 又因1( )015Va=故5a= 时，旋转体体积最小.（18）就k的不同取值情况，确定方程kxx=sin2在开区间(0,)2内根的个数，并证明你的结论.【解】设( )sin ,2
9、f xxx=则( )f x在2, 0上连续.由( )1cos0,2fxx= =得( )f x在)2, 0(内的02cosxarc=唯一的驻点由于当0(0,),( )0,xxfx所以( )f x在, 00x上单调减少，在2,0x上单调增加，因此0x是( )f x在(0,)2内的唯一的最小值点，最小值为000()sin.2yf xxx=又因，故在(0,)( )2f x内的取值范围为).0 ,0y00(,0),0kykyk=若 若其 中0是 未 知 参 数 . 从 总 体X中 抽 取 简 单 随 机 样 本12,nXXX， 记12min(,.,)nXXX=，（1）求总体X的分布函数( )F x；（2
10、）求统计量的分布函数( )F x ；（3）如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.【解【解】 ：（1）( )( )xF xf t dt =，当x，( )0F x=；当x时，2()2()( )21xtxF xedte= .（2）12min(,.,)nXXX=，所以121212122()2()( )min(,.,)1min(,.,)1,111( )0, 1, 1111, , nnnnnnxxF xPxPXXXxPXXXxP Xx XxXxP Xx P XxP XxF xxxexex= = = = = = 2 ()2 ()1, 0, 1, 1, nn xn xxxexex = =（3）的概率密度为2 ()0, ( )( )2, n xxfxFxnex=，所以2 ()01( )22n xExfx dxx nedxn +=+，可见E，即不是的无偏估计.
