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1、数学建模数学建模试卷试卷 第第 1 1 页（共页（共 1212 页页 ） 数学建模数学建模试卷试卷 第第 2 2 页（共页（共 1212 页）页）数学建模数学建模 注意事项：注意事项：1 1、本试卷共、本试卷共 6 6 页，满分页，满分 100100 分，考试时间为分，考试时间为 120120 分钟。分钟。2 2、答卷前将密封线内的项目填写清楚。、答卷前将密封线内的项目填写清楚。题题 号号一一二二三三总总 分分得得 分分一、填空题一、填空题( (每题每题 5 5 分，共分，共 1515 分分) )1 1一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 。2 2设银行
2、的年利率为设银行的年利率为 0 02 2，则五年后的一百万元相当于现在的，则五年后的一百万元相当于现在的 万元万元3 3在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量 N N 将和下列因素有关：将和下列因素有关：（1 1）参加展览会的人数）参加展览会的人数 n n；(2)(2)气温气温 T T 超过超过 1010；(3)(3)冰淇淋的售价由此建立冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为的冰淇淋销量的比例模型应为 。二、简答题：（二、简答题：（2525 分）分）1 1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。（、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模
3、的一般步骤。（5 5 分）分）2 2、 写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（1010 分）分）2 2、数据拟合方法在数学建模过程中有什么意义？常见的数据拟合方法有哪些？、数据拟合方法在数学建模过程中有什么意义？常见的数据拟合方法有哪些？（1010 分）分）得分得分评评卷人卷人得分得分评评卷人卷人数学建模数学建模试卷试卷 第第 3 3 页（共页（共 1212 页页 ） 数学建模数学建模试卷试卷 第第 4 4 页（共页（共 1212 页）页）三、三、 （每小题（每小题 1515 分，共分，共 6060 分）分）1 1、设某产品的供给函
4、数、设某产品的供给函数与需求函数与需求函数皆为线性函数：皆为线性函数：)(p)(pf9)(, 43)(kppfpp其中其中为商品单价，试推导为商品单价，试推导满足什么条件使市场稳定。满足什么条件使市场稳定。pk2 2、19681968 年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者澳洲瓢虫。后来，澳洲瓢虫。后来，DDTDDT 被普通被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用使用来消灭害虫，柠檬园主想利用 DDTDDT 进一步杀死介壳虫。谁料，进
5、一步杀死介壳虫。谁料，DDTDDT 同样杀死同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。释这个现象。得分得分评评卷人卷人数学建模数学建模试卷试卷 第第 5 5 页（共页（共 1212 页页 ） 数学建模数学建模试卷试卷 第第 6 6 页（共页（共 1212 页）页）3 3、试建立人口、试建立人口 Logistic(Logistic(逻辑逻辑) )模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什么？么？4 4、建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的
6、办法给出最大的捕捞量、建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量数学建模数学建模试卷试卷 第第 7 7 页（共页（共 1212 页页 ） 数学建模数学建模试卷试卷 第第 8 8 页（共页（共 1212 页）页）数学建模数学建模 参考答案参考答案 一、填空题一、填空题 1 1奇数顶点个数是奇数顶点个数是 0 0 或或 2 2 2 2约约 4040187618763 3pTKnN/ )10(， （T10)T10)，K K 是比例常数是比例常数 二、二、1、建立数学模型的基本方法：建立数学模型的基本方法：机理分析法，统计分析法，系统分析法机理分析法，统计分析法，系统分析法2、优化模
7、型的一般形式优化模型的一般形式将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数 ，在约束条件在约束条件下的最大值或最小值，其中下的最大值或最小值，其中 为设计变量（决策变量），为设计变量（决策变量）， 为目标函数为目标函数为可行域为可行域3、意义：数据拟合方法主要是用来从已给数据中发现一般规律从而建立起描意义：数据拟合方法主要是用来从已给数据中发现一般规律从而建立起描述问题中变量之间的关系，即数学模型。但由于组建这类模型时，缺乏有关因述问题中变量之间的关系，即数学模型。但由于组建这类模型时，缺乏有关因素之间作用的机理的细致讨论，模型的使用和分析的深度受到一定的限
8、制。素之间作用的机理的细致讨论，模型的使用和分析的深度受到一定的限制。几种常用的拟合方法：几种常用的拟合方法：1 1、一般插值法，一般插值法， 2 2、样条插值法，、样条插值法， 3 3、最小二乘法，、最小二乘法，三、三、1、解：设、解：设 Pn 表示表示 t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：时的市场价格，由供求平衡可知：)()(1nnpfp9431nnkpp即：即： kpkpnn53 1经递推有：经递推有： kkpkkkkpkpnnnnnn5)3()3(5)53(31102L表示初始时的市场价格表示初始时的市场价格0p若若。 : 时当n则则则则则则则则则, 30,13 npk即k2、解：依
9、据题意，设介壳虫的数量为、解：依据题意，设介壳虫的数量为 x(t)，澳洲瓢虫的数量为，澳洲瓢虫的数量为 y(t),则有数模方则有数模方程组：程组：（1）式中式中 a b c f 均大于零。均大于零。 yfcydtdybxyaxdtdx解方程组（解方程组（1） yfcybxyax dydx 得：得： dxxcfx ydybya)(kbyfxxcya lnln.,.,)(mihi210x)(xfu .,.,),)()(piggii2100xxx)(xfx xxfu )(max)min(or .,.,)(.mihtsi210 x .,.,),)()(piggii2100xx数学建模数学建模试卷试卷
10、第第 9 9 页（共页（共 1212 页页 ） 数学建模数学建模试卷试卷 第第 1010 页（共页（共 1212 页）页）kexybyfxca（3） keexybyfcca 式（式（3）给出一族封闭曲线，显然）给出一族封闭曲线，显然 x(t)、y(t)即为以下为周期（即为以下为周期（T0）的周期函数，）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值则有则有 dtcyy fTxT)(110dtxxabTyT 0)(11baTbayfcyTyfcx=+=+=(0)(0)(lnlnlnln当使用杀虫剂当使用杀虫剂 DDT 后，设杀死介壳虫，后，设杀死介壳虫，
11、澳洲瓢虫，澳洲瓢虫)(tx)(ty则有模型为：则有模型为： fxyycfxyycydtdybxyxabxyxaxdtdx)()(显然此时有：显然此时有： bayfcx即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。 3、解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为、解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为 M，当，当前人口数量为前人口数量为 N（t） ，r 为比例系数。建立模型：为比例系数。建立模型：)()(1 ()(tNMtNrdttdN00|NNt求解得到求解得到rtmmeNNNtN ) 1(1)(0注意到当注意到
12、当时，时，并说明并说明 r 即为自然增长率。即为自然增长率。MtN)(rMtNr)(1 (4、解：设某水域现有鱼量、解：设某水域现有鱼量，由于受资源限制所能容纳的最大鱼量，由于受资源限制所能容纳的最大鱼量，高自然，高自然xmx增长率增长率 ，捕捞增长率，捕捞增长率，按人口的逻辑模型建立微分方程。，按人口的逻辑模型建立微分方程。rkkxxxrxdtdxm)1 (要保持鱼量平衡要保持鱼量平衡，设平衡点为，设平衡点为，解得，解得0dtdx 0xmxrkrx0设设考虑考虑在在的泰勒展式的泰勒展式),(xfdtdx)(xf0x)(0)()(000xxxxxfxfrkxf)(0当当0 时时 与与同号同号 为不稳定平衡点为不稳定平衡点)(0xf )(xf0xx 0x当当0 时时 与与异号异号 为稳定平衡点为稳定平衡点)(0xf )(xf0xx 0x0 即即 )(0xf rk设设 由于由于)1 ()(1 mxxrxxfkxxf)(2kr数学建模数学建模试卷试卷 第第 1111 页（共页（共 1212 页页 ） 数学建模数学建模试卷试卷
