数学建模讲义第一章

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1、第一章第一章 引言引言众所周知，21 世纪是知识经济的时代，所谓知识经济是以现代科学技术为核心，建立 在知识和信息的生产、存储、使用和消费之上的经济；是以智力资源为第一生产力要素的 经济；是以高科技产业为支柱产业的经济。知识创新和技术创新是知识经济的基本要求和 内在动力，培养高素质、复合型的创新人才是时代发展的需要。创新人才主要是指具有较 强的创新精神、创新意识和创新能力，并能够将创新能力转化为创造性成果的高素质人才。 培养创新人才，大学教育是关键，而大学的数学教育在整个大学教育，乃至在人才的培养 中都起着重要的奠基作用。正如著名的数学家王梓坤院士所说：“今天的数学兼有科学和 技术两种品质，数

2、学科学是授人以能力的技术。 ”数学作为一门技术，现已经成为一门能够 普遍实施的技术，也是未来所需要的高素质创新人才必须要具有的一门技术。随着知识经 济发展的需要，创新人才的供需矛盾日趋突现，这也是全社会急呼教学改革的根本所在。 因此，现代大学数学教育的思想核心就是在保证打捞学生基础的同时，力求培养学生的创 新意识与创新能力、应用意识与应用能力。也就是大学数学教育应是基于传授知识、培养 能力、提高素质于一体的教育理念之下的教学体系。数学建模活动是实现这一改革目标的 有效途径，也正是数学建模活动为大学的数学教学改革打开了一个突破口，近几年的实践 证明，这一改革方向是正确的，成效是显著的。 1.1

3、数学建模的作用和地位数学建模的作用和地位我们培养人才的目的主要是为了服务于社会、应用于社会，促进社会的进步和发展。 而社会实际中的问题是复杂多变的，量与量之间的关系并不明显，并不是套用某个数学公 式或只用某个学科、某个领域的知识就可以圆满解决的，这就要求我们培养的人才应有较 高的数学素质。即能够从众多的事物和现象中找出共同的、本质的东西，善于抓住问题的 主要矛盾，从大量的数据和定量分析中寻找并发现规律，用数学的理论和数学的思维方法 以及相关的知识去解决，从而为社会服务。基于此，我们认为定量分析和数学建模等数学 素质是知识经济时代人才素质的一个重要方面，是培养创新能力的一个重要方法和途径。 因此

4、，开展数学建模活动将会在人才培养的过程中有着重要的地位和起着重要的作用。 1.1.1 数学建模的创新作用数学建模的创新作用数学科学在实际中的重要地位和作用已普遍地被人们所认识，它的生命力正在不断地 增强，这主要是来源于它的应用地位。各行各业和各科学领域都在运用数学，或是建立在 数学基础之上的，正像人们所说的“数学无处不在”已成为不可争辩的事实。特别是在生 产实践中运用数学的过程就是一个创造性的过程，成功运用的核心就是创新。我们这里所 说的创新是指科技创新，所谓的科技创新主要是指在科学拘束领域的新发明、新创造。即 发明新事物、新思想、新知识和新规律；创造新理论、新方法和新成果；开拓新的应用领 域

5、、解决新的问题。大学是人才培养的基地，而创新人才的培养核心是创新思想、创新意 识和创新能力的培养。传统的教学内容和教学方法显然不足以胜任这一重担，数学建模本 身就是一个创造性的思维过程，从数学建模的教学内容、教学方法，以及数学建模竞赛活 动的培训等都是围绕着一个培养创新人才的核心这个主题内容进行的，其内容取材于实际、 方法结合于实际、结果应用于实际。总之，知识创新、方法创新、结果创新、应用创新无 不在数学建模的过程中得到体现，这也正是数学建模的创新作用所在。 1.1.2 数学建模的综合作用数学建模的综合作用 对于我们每一个教数学基础科的教师来说，在上第一堂课的时候，按惯例都会讲一下课堂的重要性

6、，一方面要强调课程的基础性作用；另一方面，免不了都要说它在实际中有 多么重要的应用价值等等。对大多数学生来说，可能对这门课程在实际中的应用更感兴趣， 但是，往往等到课程上完以后，经常是让这些学生大失所望，主要是因为他们没有看到课 程在实际中的作用，仅仅是做了几道简单的应用题而已。学生免不了就会质问教师：“你 既然说本课程在实际中有重要的应用，那么为什麽不教我们如何应用本课程的知识来解决 实际问题呢？”这个问题对一般的基础课教师可能是难以明确回答的，原因是单学科的知 识能够解决的实际问题是很少的，尤其是对于某些基础数学课程而言更是如此。而学习了 数学建模以后，这个问题就不存在了，因为数学建模就是

7、综合运用所学的知识和方法，创 造性地分析解决来自于实际中的问题，而且不受任何学科和领域的限制，所以建立的数学 模型可以直接应用于实际中去，这是数学建模的综合作用之一。另一方面，数学建模的工作是综合性的，所需要的知识和方式综合性的，所研究的问 题是综合性的，所需要的能力当然也是综合性的。数学建模的教学就是向学生传授综合的 数学知识和方法，培养综合运用所掌握的知识和方法来分析问题、解决问题的能力。综合 数学建模的培训和参加建模竞赛等活动，来培养学生丰富灵活的想象能力、抽象思维的简 化能力、一眼看穿的洞察能力、与时俱进的开拓能力、学以致用的应用能力、会抓重点的 判断能力、高度灵活的综合能力、使用计算

8、机的动手能力、信息资料的查阅能力、科技论 文的写作能力、团结协作的攻关能力等等。数学建模就是将这些能力有机地结合在一起， 形成了一种超强的综合能力，我们可称之为“数学建模能力数学建模能力” 。这就是 21 世纪所需要的高 素质人才应该具备的能力，我们可以断言，谁具备了这种能力，必将会大有作为。 1.1.3 数学建模的桥梁地位数学建模的桥梁地位传统的教学内容和方法的一个最主要的问题就是理论联系实际不够密切，甚至相脱节， 以至于在社会上出现了学数学没有用的一种观点，并且产生了一定社会效应。一段时间内， 一些学校的数学课是被压缩，一般院校的数学系的生源质量在下降，甚至短缺，使得一些 数学系的生存能力

9、发生危机。从而，导致了一些院校的数学系不得不改变自己的培养方向 和专业设置，有的合并、有的改名，一时间如雨后春笋般地诞生了许多“信息科学与计算” 、 “信息与计算” 、 “计算机与数学”等等时髦专业。或许这也是时代发展、与时俱进的结果 吧！我们认为，关键的问题还是数学有用与数学无用的对立矛盾。在中国改革开放以后， 国民经济飞速发展，如果数学不能为此做出贡献，那么，被人误认为数学无用应属自然。 为此，数学教学改革的呼声强烈，也是在必行。现在教学改革的春风吹遍大地，数学教学 改革的硕果垒垒，但成功之作无不与数学建模有关，也正是数学建模为中国数学的发展带 来了生机和希望，通过“数学建模”这座无形的桥

10、梁使得数学在工程上、生活中都得到实 际的应用，这是数学建模的桥梁之一。另一方面，现有的科技人才可以分为工程应用与理论研究两大类，从某种意义上来讲， 工程与理论存在着客观的对立。特别是工程与数学、工程师与数学家之间在处理问题的方 式方法上都客观地存在一些不同火堆里的观点，于是两者之间在具体问题上缺乏共同的沟 通语言。对于数学建模和数学建模的人才可以在工程与数学、工程师与数学家之间架起一 座桥梁，能在两者之间建立起共同语言，是沟通无限。因为数学建模的人才具有一种特有 的能力“双向翻译能力” ，即可以将实际问题简化抽象为数学问题建立数学模型； 利用计算机等工具求解数学模型，再将求解结果返回到实际中去

11、，并用来分析解释实际问 题。这就使得工程与数学有机地结合在一起，工程师与数学家之间可以无障碍地沟通与合 作，这也是使得近些年来能起这种桥梁作用的数学建模和数学建模人才备受欢迎的重要原 因。 钱学森说：“信息时代高科技的竞争本质上是数学技术的竞争。 ”换言之，高技术的 发展的关键是数学技术的发展，而数学技术与高技术结合的关键就是数学模型。数学模型就像一把金钥匙打开了高技术得到道难关，任何一项技术的发展都离不开数学模型，甚至 技术水平的高低取决于数学建模的优劣。1.2 什么是数学模型？什么是数学模型？1.2.1 原型与模型原型与模型原型与模型是一对对偶体，原型是指人们在现实世界里关心、研究或从事生

12、产、管理 的实际对象。而模型是指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原 型替代物。模型不是原型，既简单于原型，又高于原型。例如，大家熟知的飞机模型，虽 然在外观上比飞机圆形简单，而且也不一定会飞，但是它很逼真，也足以让人们想象飞机 在飞行的过程中机翼的位置与形状的影响和作用。一个城市的交通图是该城市（原型）的 模型，看模型比看原型清楚得多，此时城市的人口、道路、车辆、建筑物的形状等都不重 要。但是，城市的街道、交通线路和各单位的位置等信息都一目了然，这比看原型清楚得 多。模型可以分为形象模型和抽象模型，抽象模型最主要的就是数学模型。 1.2.2 数学模型数学模型 当一个数学结

13、构作为某种形式语言（即包括常用符号、函数符号、谓词符号等符号集 合）解释时，这个数学结构就称为数学模型。数学模型。换言之，数学模型可以描述为：对于现实世 界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设， 运用适当的数学工具得到的一个数学结构。也就是说，数学模型是通过抽象、简化过程， 使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。数学模型并不是新的事物，自从有了数学，也就有了数学模型。即要用数学去解决实 际问题，就一定要使用数学的语言、方法去近似地刻画这个实际问题，这就是数学模型。 事实上，人所共知的欧几里德几何、微积分、柯西积分公式

14、、万有引力定律、能量转换定 律、广义相对论等都是非常好的数学模型。我们设想，如果现在没有这些数学模型，那么， 世界将是什么样子。实际中。能够直接使用数学方法解决的实际问题是不多的，然而，应用数学知识解决 实际问题的第一步就是通过实际问题本身，从形式上杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学 关系，也就是构建这个实际问题的数学模型，其过程就是数学建模的过程。数学建模的过程。 1.2.3 数学模型与数学数学模型与数学 数学模型与数学是不完全相同的，主要体现在三个方面：（1）研究内容：数学主要是研究对象的共性和一般规律，而数学模型主要是研究对象 的个性（针对性）和特殊规律。（2）研究方法：数学的主要研究方法

15、是演绎推理，即按照一般原理考察特定的现象， 导出结论。而数学模型的主要研究方法是归纳演绎，归纳是依据个别现象推断一般规律。 归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导。即数学模型是将现实对象的信息加以翻译、归纳 的结果，经过求解、演绎，得到数学上的解答，在经过翻译回到现实对象，给出分析、预 报、决策、控制的结果。（3）研究结果：数学的研究结果被证明了就一定是正确的，而数学模型的研究结果被 证明了未必一定正确，这是因为与模型的简化和模型的假设有关，因此，对数学模型的研 究结果必须接受实际的检验。 然而，鉴于数学模型与数学的关系和区别，我们评价一下数学模型好坏的标准主要是： 模型是否有一定的实际背景、假设

16、是否合理、推理是否正确、方法是否简单、论述是否深 刻等等。1.3 数学建模无处不在数学建模无处不在目前，数学的应用已渗透到了各个领域，或者说各行各业日益依赖于数学，在人们的 日常生活的各种活动中，数学无处不在。也就是说在数学发展的进程中，无时无刻无不留 下数学模型的烙印，在数学应用的各个领域无处没有数学模型的身影。基于数学模型的广 泛应用，我们现在可以说：“数学模型无处不在了， ”人人都会接触到它。例如：生活中的 合理投资问题、养老保险问题、住房公积金问题、新技术的传播问题、流言蜚语的传播问 题、传染病的流行问题、语言学中用词变化问题、人口的增长问题、减肥与增肥问题以及 各种资源的管理问题等等，下面给出几个简单的例子。 1.3.1 流言蜚语（或小道消息）传播问题流言蜚语（或小道消息）传播问题假设某地区的总人口为，在短期内不变，表示知道消息的人数所占的百分比，N)(tx初始时刻的百分比， 传播率为，则可以建立数学模型为10xh,)0(),1 (0xxxhNNdtdx求解易知，且，显然是不符合实际情况的，实际情况是1) 1()