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1、第 10 章波动习题解答 68 第 10 章波动习题解 答第十章第十章 一、波动基本知识小结一、波动基本知识小结平面简谐波方程 ;)cos()(coskxtAtAyVxmm。vVTvkT,/1,2,2弹性波的波速仅取决媒质性质:弹性体中横波的波速,弹性体中纵波的波速,流体中纵波波速/NV /YV ,绳波波速。/kV /TV 波的平均能量密度 ,波的平均能流密度 22 21A。VAI22 21波由波密射向波疏媒质,在边界处,反射波与入射波相位相 同;波由波疏射向波密媒质,在边界处,反射波比入射波相位落后 ,相当损失半个波长;例如:在自由端无半波损失,在固定端有 半波损失。 振动方向相同、频率相同
2、、位相差恒定的二列波叫相干波, 相干波叠加叫波的干涉。 振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加产生驻波现象;驻波方程 ;波节两边质元振动相位相反,txAycoscos22两个波节之间质元振动相位相同;相邻波节或相邻波腹间距离为/2,相邻波腹波节间距离为 /4。多普勒公式:,在运用此公式时,以波速 V 为正vv SVVVV 0方向,从而确定 V0、VS的正负。二、思考题解答10.1 根据波长、频率、波速的关系式u,有人认为频率 高的波传播速度大,你认为对否? 答:否。弹性波在连续介质中的传播速度取决于介质的性质和 状态,如固体、液体的形变模量和密度以及气体的体变模量和气体 的状态等。在给定的非色
3、散介质中,弹性波相位的传播速度(即波速)是一定的,与频率无关。由u可知,波的频率越高在介 质中的波长越短。 介质对于电磁波的传播不是必要的,介质中电磁波相位的传播 速度与介质的介电常量和磁导率有关。当和为常数(非色 散介质)时,相速度u与频率无关,真空中电磁波的相位传播速度即为光速c。比值cnu ,n为介质的折射率。 10.2 当波从一种介质透入另一介质时,波长、频率、波速、振 幅各量中,哪些量会改变?哪些量不会改变? 答:参照上题,简谐波在连续介质中传播时,介质中各质点振动 的频率是由波源决定的。当简谐波从一种介质透射到另一种弹性介 质时,波的频率不会改变。两种介质的性质不同,简谐波在其中传
4、播的相速不同,由u可知,在两种介质中的波长也是不同。 当波从一种介质透射到另一介质时,在它们的界面,伴随有波(能 量)的反射。频率一定时,波的能量正比于振幅的平方,所以透射 波的振幅小于入射波的振幅。 10.3 波的传播是否是介质质点“随波逐流”?“长江后浪推前 浪”这句话从物理上说,是否有根据? 答:波的传播是介质中质点振动状态(相位)的传播过程,质 点本身并不随波逐流,仅在各自的平衡位置附近振动。因此介质中第 10 章波动习题解答 69 第 10 章波动习题解 答的质点“随波逐流”的说法是错误。而“长江后浪推前浪”这句话, 从波传播能量和波的形成来看随颇为形象,但本质上不具备“相位 的传播
5、”和“质点本身并不随波移动”的特征,因此用这句话来描 述波动也是不确切的。 10.4 (1)在波的传播过程中,每个质元的能量随时间而变, 这是否违反能量守恒定律? (2)在波的传播过程中,动能密度与势能密度相等的结论, 对非简谐波是否成立?为什么? 答:(1)否。波的传播过程是能量的传播过程,每个质元通 过所含大量质量的以相位联系的振动来周期性地接受,放出波的能 量,起传递能量的作用。这不违反能量守恒定律。 (2)否。对简谐波而言,动能密度正比于单位体积介质内所 有质点振动速度的平方,势能密度正比于介质的相对形变量的平方。 非简谐波可以看作是若干个频率、振幅不同的简谐波之和,即级数和,它对坐标
6、x的变化率的平方2()y x 以及对时间变化率的平方2()y t 都有非线性效应。所以,对非简谐波而言,介质内动能密度 与势能密度相等的结论,是不成立的。 10.5 两列简谐波叠加时,讨论下列各种情况: (1)若两波的振动方向相同,初相位也相同,但频率不同,能不 能发生干涉? (2)若两列的频率相同,初相位方向也相同,但振动方向不同, 能不能发生干涉? (3)若两列的频率相同,振动方向也相同、初相位也相同,但振 幅不同,能不能发生干涉? 答:两列简谐波在空间相遇时,都满足叠加原理,是否能发生干涉现象,则需根据相干条件判断。 (1)两列波的振动方向相同,初相位也相同,但频率不同时, 介质中各质点
7、的合振动仍为两个分振动的合成,两波仍满足叠加原 理,但叠加后的合成波的空间不能形成稳定的加强和减弱分布;因 此不会出现波的干涉现象。 (2)两波的频率相同,初相位也相同,但振动方向不同时, 若将其中一个波的振动按另一个波的振动方向可分解为平行和垂直 的两个分量,则两个平行振动的叠加可产生波的叠加现象,但干涉 条纹的可见度因存在垂直的振动分量而下降。若两波的振动方向互 相垂直,则不产生干涉。 (3)两列的频率相同,振动方向也相同,但两列在空间相遇 处的振动相位差不能保持恒定时,对每个瞬时在相遇区域内各质点 振动的叠加虽有确定的加强和减弱的分布,但在一段可观察的时间 间隔内,因各质点的振动相位差时
8、刻在变化,致使在两波相遇区域 内各质点振动加强和减弱的分布也时刻在变化,得不到稳定的分布, 因此就观察不到稳定的加强和减小的干涉现象。单一频率的自然光 源较难实现干涉,原因就在于此。 (4)两波的频率相同,振动方向相同,初相位也相同,但振 幅不同时,可以发生干涉现象,但因干涉减弱处的合振动不为零, 将影响干涉条纹的可见度。 10.6 (1)为什么有人认为驻波是不是波? (2)驻波中,两波节间各个质点均作用相位的简谐运动,那 么,每个振动质点的能量是否保持不变? 答:(1)驻波可被看作是特殊形态的合成波,是由两列沿相 反方向传播的相干波因叠加而形成的干涉现象。驻波与行波有共同 的特征:各质点振动
9、位移的分布形成波形曲线,波形随时间变化, 具有时空周期性,驻波相对于行波的特殊处在于:驻波既不传播振 动形态,也不传播能量,即驻而不行。所以有人认为驻波不是波, 而是质量的一种集体振动状态。 第 10 章波动习题解答 70 第 10 章波动习题解 答(2)驻波中,两波节间各个质点以不同的恒定振幅作用相位 的简谐振动,一波节两侧各个质点作简谐振动的相位相反,就单个 质点而言振动能量是守恒的,但各质元在振动过程中能量不断变化, 如:波节处质元的动能始终为零,其势能则随着两侧质元振动引起 的相对形变的变化而不断变化;波腹处质元的动能不断变化,其势 能则始终为零。各质元见不断交换能量,但总能量始终停留在驻波 所在范围内,并不传播出去三、习题解答三、习题