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1、第 1 页(共 6 页) 第三讲 等比数列 【学习目标】:1. 理解等比数列、公比与等比中项的概念;2. 掌握等比数列的通项公式,求和公式;3. 灵活应用等比数列的性质解决一些实际问题.【知识点精析】:一、等比数列概念:(1)定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这样的数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用小写字母 表示q(2)等比中项概念:与等差中项的概念类似,如果 bGa,成等比数列,则 , 叫做 ba与 的等比中项.2Gb(3)等比中项的性质: 如果三个数成等比数列,那么等比中项的平方等于另两项的积. 在一个等比数列中,从第二项起,每
2、一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等比中项.二、等比数列的通项公式: )0,(11qaann(变式: )(,)nmaqN三、等比数列的前 n 项和公式:等比数列 的前 项和的公式:n11nnnSaq注意:(1) nSqa,1和 nSqa,1各已知三个可求第四个,(2)应用求和公式时 ,必要时应讨论 1q的情况。四、等比数列的判定方法:(1) ( 是不为零的常数) 是等比数列.1na2,na(2) 是等比数列.211(,0)nnnan五、等比数列的性质: (1)当 或 时, 是递增数列;1,0qa1,0qan当 或 时, 是递减数列;当 时, 是常数列;当 时, 是摆动数列.n n
3、a(2)若 是等比数列,当 时( 、 、 、 ) ,有 ;nampqp*qmnpqa特别地,若 ,则2t2nta(3)若项数为 ,则 (4) (5) , , 成等比数*nSq偶奇 nnmmSqSn2nS32nS列第 2 页(共 6 页) 【方法突破】1、有关等比数列的通项公式及求和公式的计算【例 1】等比数列 中,已知 。na142,6a(1)求 的公比 ; (2)令 ,求数列 的前 项和nqnbnb【例 2】等比数列 的前 项和为 ,已知 成等差数列。nanS132,S(1)求数列 的通项公式; (2) ,求an2、等比数列的判定与证明方法:(1)定义法: ( 是不为 0 的常数) 是等比数
4、列 .1naqna(2)等比中项法: 是等比数列.221nna *1(0,)nNna【例 3】 (1)数列 中, ,6, 设 ,求证:数列 是等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆 求数列 的通项公式 奎 屯王 新 敞新 疆nbnbn(2)设数列 的前 项和为 ,已知 ,nanS11,42naSa 设 ,求证:数列 是等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆 求数列 的通项公式 奎 屯王 新 敞新 疆12nbbna第 3 页(共 6 页) 3、等比数列的性质的应用【例 4】 (1)一个公比 为正数的等比数列 ,若 , ,则 qna1203480a56a(2)等比数列 na中,已知 1264,则 6的值为 (
5、3)已知 是等比数列, 为其前 n 项和,若 且 12,则数列 的前 5 项和为 nnS1a369S1na4、等比数列的综合应用【例 5】 (1)有四个数前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数之和是 16,第二个数与第三个数之和是 12,求这四个数。(2)设数列 , 都是正项等比数列, , 分别为数列 与 的前 n 项和,且nabnSTlgnalb1nST则 5logb【精题精炼】:1.已知 是公比为 的等比数列,则数列 , , , 中na(1)q2na2n21nan等比数列的个数是( )A1B2 C3 D42. 下列命题中,真命题的个数为( ) 在等比数列中,至少可以有
6、一项为 0 常数列既是等差数列,也是等比数列 在等比数列 中,若公比大于 1,则 是递增数列 若 ,则 是等比数列nana13nana第 4 页(共 6 页) A0B1 C2 D33若实数 、 、 成等比数列,则函数 与 轴的交点的个数为( )abcyaxbcx无法确定.1.4数列 , , , ,的前 项和是( )12naA B C D以上均不正确na121na5首项为 的数列 既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前 项和为( )nA B C D1naana1na6已知数列 的前 项和为 若数列 是等比数列,则 、 应满足的条件为( n 20,nSbnb)A B C D0aba0ab0a7等
7、比数列 的首项为 ,公比为 ,前 项和为 ,则数列 的前 项之和是( )n1qnS1nA B C D1SnS1nqnqS8一个等比数列 共有 项,奇数项之积为 ,偶数项之积为 ,则 为( )na2101201naA B C D655629.已知等比数列a n中,a 3=3,a 10=384,则该数列 na的通项公式为_10.在等比数列中, ,则项数 n 为 3,1,891qn11.若各项均为正数的等比数列 满足 21,则公比 q 12.已知 1, 4 成等差数列,1, 4 成等比数列,则 21ba_12,a13,b13.设 成等比数列,其公比为 2,则 的值为 4321, 4321a14.在等
8、比数列 中,已知 ,则其前 7 项之积等于 na415.在等比数列 中, 5,61417 ,则 102a 16.等比数列 中,a 11,公比 .若 ,则 m nq2345m17.在等比数列 中, 和 是二次方程 的两个根,则 的值为 n35a0kx642a第 5 页(共 6 页) 18.等比数列 na的各项均为正数,且 ,则 1237895,10aa456a19.等比数列 中, , ,则 的前 项和为 2954n420.在等比数列 中, , ,则 _n332S121.等比数列 中,若 , , ,则 _a16na8na26nSq22. 为等比数列 的前 项和, ,则 _nSn25805223.设
9、 为公比 的等比数列,若 和 是方程 的两根,则 _ na1q209a104830x2012a24.一个等比数列的前 项和为 ,前 项和为 ,则前 项和为 748625.在等比数列中, , ,则 301S03S20S26.已知等比数列 的公比为 ,且 ,则 naq15a96a1234a10a27.若数列 满足: , , , , ,则 _112n312n28.等比数列 n的各项均为正数,且 564718,则 3310logllog 29.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 ,则 的取值范围是 q30.在等比数列 中,设 ,前 项和为 ,若 ,则 _na1nnS1052nS31. 等比数列
10、 的各项均为正数,其前 项中,数值最大的一项是 54,若该数列的前 项和为 ,n nnS且 , (1)求 ; (2)求 的通项公式28065nS10Sna32.已知 为等比数列, na 1122,naa(1)设 ,证明: 是等比数列; (2)求 的通项公式1nbnbna第 6 页(共 6 页) 33. 数列 中, ,na*112,431,()nanN(1)证明:数列 是等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆 (2)求数列 的前 项和nnS(3)证明:不等式 对任意的 皆成立14*N34.设二次方程 210()naxnN有 两个实根 和 ,且满足 623(1)试用 表示 ;(2)求证: 3n是等比数列;(3)当 176a时,求数列 na的通项公式