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1、第 1 页（共 6 页） 第三讲 等比数列 【学习目标】：1. 理解等比数列、公比与等比中项的概念；2. 掌握等比数列的通项公式，求和公式；3. 灵活应用等比数列的性质解决一些实际问题.【知识点精析】：一、等比数列概念：（1）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这样的数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母 表示q（2）等比中项概念：与等差中项的概念类似，如果 bGa,成等比数列，则 ， 叫做 ba与 的等比中项.2Gb（3）等比中项的性质： 如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的积. 在一个等比数列中，从第二项起，每
2、一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项.二、等比数列的通项公式： )0,(11qaann（变式： ）(,)nmaqN三、等比数列的前 n 项和公式：等比数列 的前 项和的公式：n11nnnSaq注意：（1） nSqa,1和 nSqa,1各已知三个可求第四个，（2）应用求和公式时 ，必要时应讨论 1q的情况。四、等比数列的判定方法：（1） （ 是不为零的常数） 是等比数列.1na2,na（2） 是等比数列.211(,0)nnnan五、等比数列的性质： （1）当 或 时， 是递增数列；1,0qa1,0qan当 或 时， 是递减数列；当 时， 是常数列；当 时， 是摆动数列.n n
3、a（2）若 是等比数列，当 时（ 、 、 、 ） ，有 ；nampqp*qmnpqa特别地，若 ，则2t2nta（3）若项数为 ，则 （4） （5） ， ， 成等比数*nSq偶奇 nnmmSqSn2nS32nS列第 2 页（共 6 页） 【方法突破】1、有关等比数列的通项公式及求和公式的计算【例 1】等比数列 中，已知 。na142,6a（1）求 的公比 ； （2）令 ，求数列 的前 项和nqnbnb【例 2】等比数列 的前 项和为 ，已知 成等差数列。nanS132,S（1）求数列 的通项公式； （2） ，求an2、等比数列的判定与证明方法：（1）定义法： （ 是不为 0 的常数） 是等比数
4、列 .1naqna（2）等比中项法： 是等比数列.221nna *1(0,)nNna【例 3】 （1）数列 中， ，6, 设 ，求证:数列 是等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆 求数列 的通项公式 奎 屯王 新 敞新 疆nbnbn（2）设数列 的前 项和为 ，已知 ，nanS11,42naSa 设 ，求证:数列 是等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆 求数列 的通项公式 奎 屯王 新 敞新 疆12nbbna第 3 页（共 6 页） 3、等比数列的性质的应用【例 4】 （1）一个公比 为正数的等比数列 ，若 ， ，则 qna1203480a56a（2）等比数列 na中，已知 1264，则 6的值为 （
5、3）已知 是等比数列， 为其前 n 项和，若 且 12，则数列 的前 5 项和为 nnS1a369S1na4、等比数列的综合应用【例 5】 （1）有四个数前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数之和是 16，第二个数与第三个数之和是 12，求这四个数。（2）设数列 ， 都是正项等比数列， ， 分别为数列 与 的前 n 项和，且nabnSTlgnalb1nST则 5logb【精题精炼】：1.已知 是公比为 的等比数列，则数列 ， ， ， 中na(1)q2na2n21nan等比数列的个数是（ ）A1B2 C3 D42. 下列命题中，真命题的个数为（ ） 在等比数列中，至少可以有
6、一项为 0 常数列既是等差数列，也是等比数列 在等比数列 中，若公比大于 1，则 是递增数列 若 ，则 是等比数列nana13nana第 4 页（共 6 页） A0B1 C2 D33若实数 、 、 成等比数列，则函数 与 轴的交点的个数为（ ）abcyaxbcx无法确定.1.4数列 ， ， ， ，的前 项和是（ ）12naA B C D以上均不正确na121na5首项为 的数列 既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前 项和为（ ）nA B C D1naana1na6已知数列 的前 项和为 若数列 是等比数列，则 、 应满足的条件为（ n 20,nSbnb）A B C D0aba0ab0a7等
7、比数列 的首项为 ，公比为 ，前 项和为 ，则数列 的前 项之和是（ ）n1qnS1nA B C D1SnS1nqnqS8一个等比数列 共有 项，奇数项之积为 ，偶数项之积为 ，则 为（ ）na2101201naA B C D655629.已知等比数列a n中，a 3=3，a 10=384，则该数列 na的通项公式为_10.在等比数列中， ，则项数 n 为 3,1,891qn11.若各项均为正数的等比数列 满足 21，则公比 q 12.已知 1, 4 成等差数列，1, 4 成等比数列，则 21ba_12,a13,b13.设 成等比数列，其公比为 2，则 的值为 4321, 4321a14.在等
8、比数列 中，已知 ，则其前 7 项之积等于 na415.在等比数列 中， 5,61417 ，则 102a 16.等比数列 中，a 11，公比 .若 ，则 m nq2345m17.在等比数列 中， 和 是二次方程 的两个根，则 的值为 n35a0kx642a第 5 页（共 6 页） 18.等比数列 na的各项均为正数，且 ，则 1237895,10aa456a19.等比数列 中， ， ，则 的前 项和为 2954n420.在等比数列 中， ， ，则 _n332S121.等比数列 中，若 ， ， ，则 _a16na8na26nSq22. 为等比数列 的前 项和， ，则 _nSn25805223.设
9、 为公比 的等比数列，若 和 是方程 的两根，则 _ na1q209a104830x2012a24.一个等比数列的前 项和为 ，前 项和为 ，则前 项和为 748625.在等比数列中， ， ，则 301S03S20S26.已知等比数列 的公比为 ，且 ，则 naq15a96a1234a10a27.若数列 满足： ， ， ， ， ，则 _112n312n28.等比数列 n的各项均为正数，且 564718，则 3310logllog 29.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 ,则 的取值范围是 q30.在等比数列 中，设 ，前 项和为 ，若 ，则 _na1nnS1052nS31. 等比数列
10、 的各项均为正数,其前 项中，数值最大的一项是 54，若该数列的前 项和为 ，n nnS且 ， （1）求 ； （2）求 的通项公式28065nS10Sna32.已知 为等比数列, na 1122,naa（1）设 ，证明： 是等比数列； （2）求 的通项公式1nbnbna第 6 页（共 6 页） 33. 数列 中， ，na*112,431,()nanN（1）证明：数列 是等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆 （2）求数列 的前 项和nnS（3）证明：不等式 对任意的 皆成立14*N34.设二次方程 210()naxnN有 两个实根 和 ，且满足 623（1）试用 表示 ；（2）求证： 3n是等比数列；（3）当 176a时，求数列 na的通项公式
