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1、二章质点运动学 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1-1 质点运动的描述质点运动的描述一、参考系一、参考系一、参考系一、参考系 坐标系坐标系坐标系坐标系 质点质点质点质点1 1、参考系、参考系、参考系、参考系为描述物体运动而选择的为描述物体运动而选择的为描述物体运动而选择的为描述物体运动而选择的参考物体叫参考系。参考物体叫参考系。参考物体叫参考系。参考物体叫参考系。2 2、坐标系、坐标系、坐标系、坐标系为了定量地研究物体的运为了定量地研究物体的运为了
2、定量地研究物体的运为了定量地研究物体的运动，要选择一个与动，要选择一个与动，要选择一个与动，要选择一个与 参考系相参考系相参考系相参考系相对静止的坐标系。如图对静止的坐标系。如图对静止的坐标系。如图对静止的坐标系。如图1-11-1。说明：参考系、坐标系是任说明：参考系、坐标系是任说明：参考系、坐标系是任说明：参考系、坐标系是任意选择的，视处理问题方便意选择的，视处理问题方便意选择的，视处理问题方便意选择的，视处理问题方便而定。而定。而定。而定。3 3、质点、质点、质点、质点忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具
3、有质忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。说明：说明：说明：说明：质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中有很多理想模型）。有很多理想模型）。有很多理想模型）。有很多理想模型）。质点突出了物体三个基本性质：质点突出了物体三个基本性质：质点突出了物体三个基本性质：质点突出了物体三个基本性质：11）具有
4、质量；）具有质量；）具有质量；）具有质量；2 2）占有位置；）占有位置；）占有位置；）占有位置；3 3） 无体积。无体积。无体积。无体积。物体能否视为质点是有条件的、相对的。视研物体能否视为质点是有条件的、相对的。视研物体能否视为质点是有条件的、相对的。视研物体能否视为质点是有条件的、相对的。视研究问题的性质和精确度而定究问题的性质和精确度而定究问题的性质和精确度而定究问题的性质和精确度而定. .1. 1.位位位位矢矢矢矢：表表表表征征征征空空空空间间间间某某某某点点点点P P的的的的位位位位置置置置，由由由由原原原原点点点点0 0到到到到PP的的的的矢矢矢矢量量量量；如图如图如图如图1-21
5、-2二、位置矢量二、位置矢量二、位置矢量二、位置矢量 运动方程运动方程运动方程运动方程 轨迹方程轨迹方程轨迹方程轨迹方程 位移位移位移位移2 2、运动方程、运动方程、运动方程、运动方程质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运动方程。动方程。动方程。动方程。运动方程运动方程运动方程运动方程矢量形式：矢量形式：矢量形式：矢量形式：分量形式：分量形式：分量形式：分量形式： 消去消去消去消去t t可得轨迹方程：可得轨迹方程：可得轨迹方程：可得轨迹方程：f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0
6、3. 3.位移位移位移位移位移：质点一段时间内位置的改变；位移：质点一段时间内位置的改变；位移：质点一段时间内位置的改变；位移：质点一段时间内位置的改变；l讨论：讨论：la.路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长度；度；lb.路程是标量，大小与位移的大小一般不路程是标量，大小与位移的大小一般不相等，即；相等，即；lc.在极限情况下在极限情况下；ld.单方向直线运动时；单方向直线运动时；l l三三三三. .速度速度速度速度描述质点运动快慢和运动方向的物量；描述质点运动快慢和运动方向的物量；描述质点运动快慢和运动方向的物量；描述质点运动快慢和运动方向的物量；l l1.
7、 1.平均速度平均速度平均速度平均速度l l大小：大小：大小：大小：方向：方向：方向：方向：的方向；的方向；的方向；的方向；l l2. 2.瞬时速度瞬时速度瞬时速度瞬时速度l l大小：大小：大小：大小：l l方向：方向：方向：方向：的方向的方向的方向的方向-轨道切线方向；轨道切线方向；轨道切线方向；轨道切线方向； 3 3、平均速率与瞬时速率、平均速率与瞬时速率、平均速率与瞬时速率、平均速率与瞬时速率 定义：平均速率定义：平均速率定义：平均速率定义：平均速率= =s/ts/t称为质点在称为质点在称为质点在称为质点在tt时间段内的平均速率。为了描述时间段内的平均速率。为了描述时间段内的平均速率。为
8、了描述时间段内的平均速率。为了描述运动细节，引进瞬时速率。运动细节，引进瞬时速率。运动细节，引进瞬时速率。运动细节，引进瞬时速率。 定义：定义：定义：定义：v=ds/dtv=ds/dt称为称为称为称为t t时刻质点的瞬时速率，简称速率时刻质点的瞬时速率，简称速率时刻质点的瞬时速率，简称速率时刻质点的瞬时速率，简称速率. .当当当当tt趋趋趋趋于零时，于零时，于零时，于零时， r=dr,s=dsr=dr,s=ds, ,所以，瞬时速率所以，瞬时速率所以，瞬时速率所以，瞬时速率= =瞬时速度瞬时速度瞬时速度瞬时速度的大小。的大小。的大小。的大小。l l结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时结论：
9、质点速率等于其速度大小或等于路程对时结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。间的一阶导数。间的一阶导数。间的一阶导数。 说明：说明：说明：说明： （1 1）比较平均速率与平均速度：二者均为过程量；）比较平均速率与平均速度：二者均为过程量；）比较平均速率与平均速度：二者均为过程量；）比较平均速率与平均速度：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。前者为标量，后者为矢量。前者为标量，后者为矢量。前者为标量，后者为矢量。 （2 2）比较速率与速度：二者均为瞬时量；前者为）比较速率与速度：二者均为瞬时量；前者为）比较速率与速度：二者均为瞬时量；
10、前者为）比较速率与速度：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。标量，后者为矢量。标量，后者为矢量。标量，后者为矢量。 （3 3）一般，平均速率不等于平均速度的大小。速）一般，平均速率不等于平均速度的大小。速）一般，平均速率不等于平均速度的大小。速）一般，平均速率不等于平均速度的大小。速率不等于速度的大小。率不等于速度的大小。率不等于速度的大小。率不等于速度的大小。四、加速度四、加速度四、加速度四、加速度为了描述质点速度变化的快为了描述质点速度变化的快为了描述质点速度变化的快为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概慢，从而引进加速度的概慢，从而引进加速度的概慢，从而引进加速度的概念。念。
11、念。念。1 1、平均加速度、平均加速度、平均加速度、平均加速度定义：平均加速度定义：平均加速度定义：平均加速度定义：平均加速度（见图（见图（见图（见图1-41-4）称为称为称为称为tt时间间隔内质点的平均时间间隔内质点的平均时间间隔内质点的平均时间间隔内质点的平均加速度加速度加速度加速度l l2 2、瞬时加速度、瞬时加速度、瞬时加速度、瞬时加速度l l为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。速度。速度。速度。l l定义：定义：定义：定义：l l称为质点在称为质点
12、在称为质点在称为质点在t t时刻的瞬时加速度，简称加速度。时刻的瞬时加速度，简称加速度。时刻的瞬时加速度，简称加速度。时刻的瞬时加速度，简称加速度。l l结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。对时间的二阶导数。对时间的二阶导数。对时间的二阶导数。 l l说明：一般情况下与说明：一般情况下与说明：一般情况下与说明：一般情况下与方向不同（如不计空气阻方向不同（如不计空气阻方向不同（如不计空气阻方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运动）。力的斜上抛运动）。力
13、的斜上抛运动）。力的斜上抛运动）。 五五五五. .直线运动直线运动直线运动直线运动1.1.直线运动的描述直线运动的描述直线运动的描述直线运动的描述直线运动：质点运动轨迹为一直线；直线运动：质点运动轨迹为一直线；直线运动：质点运动轨迹为一直线；直线运动：质点运动轨迹为一直线；位矢：位矢：位矢：位矢：直线运动中，用坐标直线运动中，用坐标直线运动中，用坐标直线运动中，用坐标x(x(代数量代数量代数量代数量) )可表可表可表可表示质点的位置；示质点的位置；示质点的位置；示质点的位置；运动方程：运动方程：运动方程：运动方程：1-2圆周运动圆周运动 本节先讨论圆周运动，之后再推广本节先讨论圆周运动，之后再
14、推广本节先讨论圆周运动，之后再推广本节先讨论圆周运动，之后再推广到一般曲线运动。到一般曲线运动。到一般曲线运动。到一般曲线运动。 一、自然坐标系一、自然坐标系一、自然坐标系一、自然坐标系 图图图图1-61-6中，中，中，中，BACBAC为质点轨迹，为质点轨迹，为质点轨迹，为质点轨迹，t t时刻时刻时刻时刻质点质点质点质点P P位于位于位于位于A A 点，点，点，点，e et t、e en n分别为分别为分别为分别为A A点切向及法向的点切向及法向的点切向及法向的点切向及法向的单位矢量，以单位矢量，以单位矢量，以单位矢量，以A A为原点，为原点，为原点，为原点，e et t切向和切向和切向和切向
15、和e en n法向为坐标轴，由此构成的参法向为坐标轴，由此构成的参法向为坐标轴，由此构成的参法向为坐标轴，由此构成的参照系为自然坐标系（可推广到三照系为自然坐标系（可推广到三照系为自然坐标系（可推广到三照系为自然坐标系（可推广到三维）维）维）维）二、圆周运动的切向加速度及法向加速度二、圆周运动的切向加速度及法向加速度二、圆周运动的切向加速度及法向加速度二、圆周运动的切向加速度及法向加速度1 1、切向加速度、切向加速度、切向加速度、切向加速度如图如图如图如图1-71-7，质点做半径为，质点做半径为，质点做半径为，质点做半径为r r的圆周运动，的圆周运动，的圆周运动，的圆周运动，t t时刻，质时刻
16、，质时刻，质时刻，质点速度点速度点速度点速度V=veV=vet tvv为速率。为速率。为速率。为速率。加速度为加速度为加速度为加速度为a=dv/dt=dv/dtea=dv/dt=dv/dtet t+vde+vdet t/dt/dt（2-22-2）式（式（式（式（2-22-2）中，第一项是由质点运动速率变化引起）中，第一项是由质点运动速率变化引起）中，第一项是由质点运动速率变化引起）中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与的，方向与的，方向与的，方向与etet共线，称该项为切向加速度，记共线，称该项为切向加速度，记共线，称该项为切向加速度，记共线，称该项为切向加速度，记为为为为aat t=d
17、v/dte=dv/dtet t=a=at te et t（2-32-3）atat为加速度的切向分量。为加速度的切向分量。为加速度的切向分量。为加速度的切向分量。结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数数数数 。 2 2、法向加速度、法向加速度、法向加速度、法向加速度 式（式（式（式（2-22-2）中，第二项是由质点运）中，第二项是由质点运）中，第二项是由质点运）中，第二项是由质点运 动方向改变引起的。动方向改变引起的。动方向改变引起的。动方向改变引起的。 如图如图如
18、图如图1-81-8，质点由，质点由，质点由，质点由A A点运动到点运动到点运动到点运动到B B点，有点，有点，有点，有dedet t=e=et t-e-et t, ,eet t与与与与e et t夹角为夹角为夹角为夹角为 （见图（见图（见图（见图1-81-8）当）当）当）当趋于趋于趋于趋于0 0时时时时 ，有，有，有，有dedet t 的大小等于的大小等于的大小等于的大小等于。因为。因为。因为。因为dedet t垂直垂直垂直垂直e et t，所以由，所以由，所以由，所以由A A点点点点指向圆心指向圆心指向圆心指向圆心OO，可有，可有，可有，可有dedet t=e=en n式（式（式（式（2-2
19、2-2）中第二项为：）中第二项为：）中第二项为：）中第二项为：该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。称此项为法向加速度，记为称此项为法向加速度，记为称此项为法向加速度，记为称此项为法向加速度，记为（2-52-5）大小为大小为大小为大小为（2-62-6）是加速度的法向分量。是加速度的法向分量。是加速度的法向分量。是加速度的法向分量。结论：法向加速度分量等于速率平方除结论：法向加速度分量等于速率平方除结论：法向加速度分量等于速率平方除结论：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径以曲率半径以曲率半径以曲
20、率半径 。3 3、总加速度、总加速度、总加速度、总加速度（2-72-7）大小：大小：大小：大小：（2-82-8） 方向：方向：方向：方向：a a与与与与e et t夹角（见图夹角（见图夹角（见图夹角（见图1-101-10）满足）满足）满足）满足 4 4、一般曲线运动、一般曲线运动、一般曲线运动、一般曲线运动 圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于一般曲线运动，只要把曲率半径看作变量即可。一般曲线运动，只要把曲率半径看作变量即可。一般曲线运动，只要把曲率半径看作变量即可。一般
21、曲线运动，只要把曲率半径看作变量即可。 讨论：讨论：讨论：讨论：如图如图如图如图1-101-10，a a总是指向曲线的凹侧。总是指向曲线的凹侧。总是指向曲线的凹侧。总是指向曲线的凹侧。 时，时，时，时，质点做直线运动。此时，质点做直线运动。此时，质点做直线运动。此时，质点做直线运动。此时时，时，时，时，有限，质点做曲线运动。此时有限，质点做曲线运动。此时有限，质点做曲线运动。此时有限，质点做曲线运动。此时 三、圆周运动的角量描述三、圆周运动的角量描述三、圆周运动的角量描述三、圆周运动的角量描述1 1、角坐标、角坐标、角坐标、角坐标如图如图如图如图1-111-11，t t时刻质点在时刻质点在时刻
22、质点在时刻质点在A A处，处，处，处，t+tt+t时刻质点在时刻质点在时刻质点在时刻质点在B B处，处，处，处， 是是是是OAOA与与与与x x轴正向夹角，轴正向夹角，轴正向夹角，轴正向夹角，+是是是是OBOB与与与与x x轴正向夹角，称轴正向夹角，称轴正向夹角，称轴正向夹角，称 为为为为t t时刻质点角坐标，时刻质点角坐标，时刻质点角坐标，时刻质点角坐标，为为为为tt时间间隔内角坐标增量，称为在时间间时间间隔内角坐标增量，称为在时间间时间间隔内角坐标增量，称为在时间间时间间隔内角坐标增量，称为在时间间隔内的角位移。隔内的角位移。隔内的角位移。隔内的角位移。2 2、角速度、角速度、角速度、角速
23、度平均角速度：平均角速度：平均角速度：平均角速度：定义：定义：定义：定义：（2-92-9） 称为平均角速度。平均角速度粗略地描称为平均角速度。平均角速度粗略地描称为平均角速度。平均角速度粗略地描称为平均角速度。平均角速度粗略地描述了物体的运动。为了描述运动细节，述了物体的运动。为了描述运动细节，述了物体的运动。为了描述运动细节，述了物体的运动。为了描述运动细节，需要引进瞬时角速度。需要引进瞬时角速度。需要引进瞬时角速度。需要引进瞬时角速度。定义：定义：定义：定义：（2-102-10）（2-112-11）结论：角速度等于角坐标对时间的一阶结论：角速度等于角坐标对时间的一阶结论：角速度等于角坐标对
24、时间的一阶结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导数导数导数导数说明：角速度是矢量说明：角速度是矢量说明：角速度是矢量说明：角速度是矢量, ,方向与角位移方向与角位移方向与角位移方向与角位移方向一致。方向一致。方向一致。方向一致。 3 3、角加速度、角加速度、角加速度、角加速度为了描述角速度变化的快慢，引进角加为了描述角速度变化的快慢，引进角加为了描述角速度变化的快慢，引进角加为了描述角速度变化的快慢，引进角加速度概念。速度概念。速度概念。速度概念。（1 1）平均角加速度：）平均角加速度：）平均角加速度：）平均角加速度：设在设在设在设在内，质点角速度增量为内，质点角速度增量为内，质点角速度增量为内
25、，质点角速度增量为定义：定义：定义：定义：（2-122-12）称为时间间隔内质点的平均角加速度瞬称为时间间隔内质点的平均角加速度瞬称为时间间隔内质点的平均角加速度瞬称为时间间隔内质点的平均角加速度瞬时角加速度：时角加速度：时角加速度：时角加速度：定义：定义：定义：定义：（2-2-1313） 称为称为称为称为 时刻质点的瞬时角加速度，简时刻质点的瞬时角加速度，简时刻质点的瞬时角加速度，简时刻质点的瞬时角加速度，简称角加速度。称角加速度。称角加速度。称角加速度。（2-142-14结论：角加速度等于角速度对时间的一结论：角加速度等于角速度对时间的一结论：角加速度等于角速度对时间的一结论：角加速度等于
26、角速度对时间的一阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。说明：角加速度是矢量，方向沿说明：角加速度是矢量，方向沿说明：角加速度是矢量，方向沿说明：角加速度是矢量，方向沿方方方方向。向。向。向。4 4、线量与角量的关系、线量与角量的关系、线量与角量的关系、线量与角量的关系把物理量把物理量把物理量把物理量 、 、 、 、 等称为线量，等称为线量，等称为线量，等称为线量， ，等称为角量。等称为角量。等称为角量。等称为角量。（1 1） 、 与与与与关系关系关系关系如图如图如图如图2-72-7，时，时
27、，时，时，有有有有即即即即（2-152-15）（2 2）与与与与关系关系关系关系式（式（式（式（2-152-15）两边对）两边对）两边对）两边对求一阶导数求一阶导数求一阶导数求一阶导数即即即即（2-162-16）（3）、 与 关系 即 （2-17）（3 3）、）、）、）、与与与与关系关系关系关系 即即即即（2-172-17）1-31-3相对运动相对运动相对运动相对运动 本本本本节节节节讨讨讨讨论论论论一一一一个个个个质质质质点点点点的的的的运运运运动动动动，用用用用两两两两个个个个参参参参考考考考系系系系来来来来描描描描述述述述，并并并并得得得得出出出出两两两两个个个个参参参参考考考考系系系系
28、中中中中物物物物理理理理量量量量（如如如如：速速速速度度度度、加加加加速速速速度）之间的数学变换关系。度）之间的数学变换关系。度）之间的数学变换关系。度）之间的数学变换关系。设有参照系设有参照系设有参照系设有参照系E E、MM，其上固连的坐标系，如图，其上固连的坐标系，如图，其上固连的坐标系，如图，其上固连的坐标系，如图1-131-13，二坐标系相应坐标轴平行，二坐标系相应坐标轴平行，二坐标系相应坐标轴平行，二坐标系相应坐标轴平行，MM相对于相对于相对于相对于E E运动。运动。运动。运动。质点质点质点质点P P相对相对相对相对E E、MM的位矢分别为的位矢分别为的位矢分别为的位矢分别为、，相对
29、位矢为：，相对位矢为：，相对位矢为：，相对位矢为：(2-18)(2-18)结论：结论：结论：结论：P P对对对对E E的位矢等于的位矢等于的位矢等于的位矢等于P P对对对对MM的位矢与的位矢与的位矢与的位矢与对对对对E E的位矢的位矢的位矢的位矢的矢量和。的矢量和。的矢量和。的矢量和。一、相对位矢一、相对位矢一、相对位矢一、相对位矢二、相对位移二、相对位移二、相对位移二、相对位移由（由（由（由（2-182-18）有）有）有）有（2-192-19）结论：结论：结论：结论：P P对对对对E E的位移等于的位移等于的位移等于的位移等于P P对对对对MM的位移与的位移与的位移与的位移与对对对对E E的
30、位移的矢量和。的位移的矢量和。的位移的矢量和。的位移的矢量和。 三、相对速度三、相对速度三、相对速度三、相对速度将式（将式（将式（将式（2-182-18）两边对时间求一阶导数有）两边对时间求一阶导数有）两边对时间求一阶导数有）两边对时间求一阶导数有（2-202-20）结结结结论论论论：P P对对对对E E的的的的速速速速度度度度等等等等于于于于P P对对对对MM的的的的速速速速度度度度与与与与MM对对对对E E的的的的速度的矢量和速度的矢量和速度的矢量和速度的矢量和四、相对加速度四、相对加速度四、相对加速度四、相对加速度由式（由式（由式（由式（2-202-20）对时间求一阶导数有）对时间求一阶导数有）对时间求一阶导数有）对时间求一阶导数有（2-212-21）结结结结论论论论：P P对对对对E E的的的的加加加加速速速速度度度度等等等等于于于于P P对对对对MM的的的的加加加加速速速速度度度度与与与与MM对对对对E E的加速度的矢量和。的加速度的矢量和。的加速度的矢量和。的加速度的矢量和。
