热动工程力学第11章

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1、第 11 章 教学方案组合变形强度计算组合变形强度计算基基 本本 内内 容容组合变形概述 拉伸（压缩）与弯曲的组合 弯曲与扭转的组合教 学 目 的1、 了解组合受力与变形的概念及研究方法。 2、 掌握拉伸（压缩）与弯曲的组合的内力与应力计算。 3、 掌握弯曲与扭矩组合的内力与应力计算，并进行强度计算。重 点 、 难 点组合变形的概念；组合变形分析。第第 11 章章 组合变形强度计算组合变形强度计算11.1 组合变形概述组合变形概述11.1.1 组合变形的概念和分类组合变形的概念和分类 前面各章分别讨论了杆件的轴向拉伸（压缩） 、剪切、扭转、弯曲四种基本变形。而工程实际 中的杆件，在使用时可能同

2、时产生几种基本变形。例如，图 11.1 所示压力机机架工作时受到 F 力 作用，立柱在 F 力作用下横截面存在轴力和弯矩，将产生拉伸和弯曲的变形组合；图 11.2 所示传 动轴，电动机对传动轴施加力偶 m0，皮带轮紧边和松边张力分别为 FT1和 FT2，这些外力共同作用 下轴将产生弯曲和扭转的变形组合。组合变形：组合变形：杆件同时产生两种或两种以上基本变形的受力情况称为组合变形。 组合变形分类组合变形分类：拉伸（压缩）与弯曲组合变形； 拉伸（压缩）与扭转组合； 弯曲与扭转组合； 拉伸（压缩） 、扭转与弯曲组合； 由于杆件一般弯曲问题（称为斜弯曲）可认为是同时在两个方向发生平面弯曲，其分析方法与

3、 组合变形相同，也常将斜弯曲作为组合变形处理。 11.1.2 组合变形的研究方法组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理：当组合变形杆件材料服从胡克定律、变形满足小变形条件时，在进行组合变形强度 计算时，可以认为任一载荷作用所产生的应力都不受其他载荷的影响。则有如下结论：杆在几个载 荷共同作用下所产生的应力，等于每一个载荷单独作用下所产生的应力的总和，这一结论称为叠加 原理。 组合变形研究方法组合变形研究方法：先将载荷简化或分解为产生基本变形的几组载荷，然后分别计算各基本变 形下的应力，最后将所得结果进行叠加，得到总的应力。也可以首先用截面法确定杆件各横截面的 内力形式、大小和危险截面位置，然后计

4、算每一内力对应的应力，最后叠加得到总的应力。11.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合11.3 产生拉（压）弯组合变形的两种受力情况产生拉（压）弯组合变形的两种受力情况 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形是工程实际中最常见的组合变形情况。如果杆件除了在通过其图图 11.1 图图 11.2轴线的纵向平面内受到力偶或垂直于轴线的横向外力外，还受到轴向拉（压）力作用，杆件将发生 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形，简称拉（压）弯组合变形。 产生拉（压）弯组合变形两种受力情况：产生拉（压）弯组合变形两种受力情况： （1）杆件在通过其轴线的纵向平面内受到不垂直于轴线的载荷作用。将载荷分解为垂直轴线

5、的横向力和平行于轴线的轴向力，横向力产生弯曲变形，轴向力产生拉压变形。图 11.7 所示简易 吊车的横梁 AB，当吊车工作时，拉杆 BC 对横梁作用一个沿 BC 方向的外力，使横梁 AB 产生压弯 组合变形。 （2）杆件受到轴向外力作用，但外力的作用点不过截面形心，称为偏心拉压。图 11.8 所示厂 房立柱，载荷 F2偏离立柱轴线，若将该力平移到轴线处，则产生附加的弯曲力偶矩，使立柱产生 压弯组合变形。11.3.2 最大正应力和强度条件最大正应力和强度条件 当杆件产生拉（压）弯组合变形时，杆件横截面上同时作用轴力、弯矩和剪力。忽略剪力的影 响，轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力。 根据外力情况

6、画杆件的轴力图和弯矩图，可以确定杆件的危险截面及危险截面上的轴力 FN和 弯矩 Mmax。 轴力 FN对应的正应力在横截面上均匀分布，轴力为正时，产生拉应力；轴力为负时，产生压 应力。其值为AFNN弯矩 Mmax对应的正应力沿横截面高度方向线性分布，相对对称轴一侧是拉应力，另一侧是压 应力，其值为yIMzzM应用叠加法，将同一点的两个正应力代数相加，所得的应力就是该点的总应力。由于弯曲正应 力的最大值出现在受弯方向的凹凸表面上，因此最大应力也应出现在此处。根据实际受力和截面形 状，最大正应力有不同的情形。若横截面在弯曲方向有对称轴，则最大弯曲拉应力与最大弯曲压应 力相等，则有最大正应力图图 1

7、1.7 图图 11.8（11-5）zWM AFmaxN maxMNmax强度条件与弯曲时相同，即 max【例例 11-2】 图 11.9（a）所示起重支架，AB 梁由两根并排槽钢复合而成。已知： a=3m，b=1m，F=36kN，AB 梁的材料许用应力=140MPa。试选择槽钢型号。解：（1）确定 AB 梁的外力 分析 AB 受力，画受力图如图 11.9（b）所示。列平衡方程0)(30sin,00baFaFMCA解得： FC=96kN （2）作内力图，确定危险截面 根据 AB 杆的外力，作杆的轴力图和弯矩图如图 11.9（c）和（d）所示。从图中可以看到，在 AC 段既存在弯矩又有轴力，是拉弯

8、组合变形；CB 段是弯曲变形。显然 C 截面处是危险截面，其 内力为kNm36,kN1 .83maxNMF（3）确定危险点应力，强度计算 在 C 截面的上下侧边缘有最大弯曲正应力，上侧为拉应力，下侧为压应力；拉伸正应力各点 相同。显然叠加后 C 截面上侧边缘各点正应力最大，是危险点。建立强度条件 zWM AFmaxN max因为上式中 A 和 Wz都未知，故用试凑法计算。可先只考虑弯曲应力确定 Wz，选择槽钢型号， 再进行校核。由 63 max101401036zzWWM得 Wz25710-6m3=257cm3 查型钢表，选二根 18a 槽钢，Wz=14.22cm3=282.8cm3，相应得横

9、截面积图图 11.9A=25.922=51.38cm2，校核强度 MPa140MPa143maxN maxfzWM AF最大应力没超过许用应力得 5%，工程中许可，可以选用 18a 槽钢。如果最大应力超过许用应 力较多，则应重新选择型钢，并进行强度校核。 【例例 11-3】 图 11.10（a）所示悬臂钻床结构和受力。钻床立柱为空心铸铁管，管的外径 D=140mm，内、外径比 d / D=0.75。铸铁的许用拉应力t=35MPa，许用压应力c =90MPa，F=15kN，e=400mm。校核立柱的强度。 解解：（1）确定立柱横截面的内力 用假想截面沿 m-m 将立柱截开，取上半部分研究， 如图

10、 11.10（b）所示。由平衡条件可得横截面上的轴力 和弯矩分别为kN15N FFkNm6 FeM （2）确定最大应力，强度计算 立柱在偏心载荷 F 作用下产生拉弯组合变形。在立 柱所有横截面上的轴力和弯矩都相等，各横截面的危险 程度相同。根据图 11.10（b）所示的轴力和弯矩的实际 方向可知，横截面上的左侧 a 点承受最大压应力，右侧 b 点承受最大拉应力，其值分别为MPa38.3032)1 ( 4)1 (MPa92.3432)1 ( 4)1 (4322Nc max4322Nt maxDFe DF WM AFDFe DF WM AFzz可见，满足强度条件，立柱的强度足够。 cc maxtt

11、 max,pp11.4 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合11.4.1 弯扭组合变形杆件的危险截面分析弯扭组合变形杆件的危险截面分析 机械中的传动轴、曲柄轴等零件除受扭转外，还经常伴随着弯曲变形，这种组合变形形式常称 为弯扭组合，这是机械工程中最重要的一种组合变形形式。现以图 11.11（a）所示曲拐轴为例，说 明弯扭组合变形的强度计算方法。 首先分析 AB 轴的受力。在不改变 AB 的内力和变形的前提下，将 F 力等效平移到 B 点，得到 一个力和一个力偶 MB，如图 11.11（b）所示。其值分别为F=F使 AB 杆产生弯曲变形；FMB=Fa使 AB 杆产生扭转变形。 画出 AB 杆的扭矩图

12、和弯矩图，如图 11.11（c）和（d）所示。可以看出，在 AB 杆的固定端截 面 A 上有最大扭矩和最大弯矩，是危险截面，危险截面上的扭矩和弯矩分别为图图 11.10FlMFaMTBmax,需要说明的是，横截面上还存在大小为 F 的剪力。但一般情况下剪力引起的切应力与扭转切应 力相比很小，通常在研究弯扭组合变形强度问题时都不加考虑。 11.4.2 危险点及其应力状态危险点及其应力状态 危险截面上由于弯矩作用产生弯曲正应力，其应力分布如图 11.11（e）所示，最大正应力出现 在截面的上下边缘 a、b 两点处；由于扭矩作用产生扭转切应力，其应力分布如图 11.11（f）所示， 最大切应力出现在

13、截面周边各点。显然，在 a、b 两点处同时有最大正应力和最大切应力，故 a、b 两点是危险点。将 a、b 两点的单元体取出，如图 11.11（g）和（h）所示，是二向应力状态。 最大扭转切应力和最大弯曲正应力分别为zWM WTmaxP,以上两式中，WP和 Wz分别为圆截面的抗扭截面系数和抗弯截面系数。 11.4.3 强度条件及其应用强度条件及其应用 对于塑性材料制成的杆件，可选用第三或第四强度理论进行强度计算。强度计算前先根据 （10-4）式确定危险点的主应力 1、2和 3，对于 a 点有223222122,0,22 对于 b 点有223222122,0,22 选用第三强度理论进行强度计算时，

14、两点数据代入强度条件公式，有图图 11.11（11-6） 22 31r34选用第四强度理论进行强度计算时，两点数据代入强度条件公式，有（11-7） 222 132 322 21r4321两点的相当应力相同，说明两点危险程度相同。 将应力计算式代入（11-6）和（11-7）两式，并注意到圆截面杆的 WP=2Wz，得到弯扭组合强 度条件为第三强度理论 （11-8） zWTM22 max22 r34第四强度理论 （11-9） zWTM22 max22 r475. 03【例例 11-4】 图 11.12（a）所示电动机带动皮带轮工作。已知电动机的功率为 9kW，转速为 715 转/分，皮带轮直径 D=

15、250mm，皮带的紧边拉力为 F1，松边拉力为 F2，且 F1=1.5F2，电动机主 轴外伸部分的长度 l=120mm，直径 d=40mm。若已知轴材料的许用应力为=100MPa，试用第三强 度理论校核主轴外伸部分的强度。解：（1）主轴上作用外力的计算和简化 电动机通过皮带轮输出功率，其作用在皮带轮上的外力偶矩为Nm2 .120min/ r715kW995499549nPm根据皮带拉力与外力偶矩的平衡关系有mDFDF2221因为 F1=1.5F2，所以图图 11.12N2 .1923,N8 .288421FF将电动机主轴外伸部分简化为悬臂结构，皮带拉力 F1和 F2向轮心简化，得计算模型如图 11.12（b）所示。其中N480821FFF（2）确定危险截面及其弯矩和扭矩 作扭矩图和弯矩图如图 11.12（c）所示。可以看出，在主轴根部有最大弯矩，同时受扭矩作用， 是危险截面。其扭矩和弯矩分别为Nm96.576Nm2 .120maxFlMmT（3）强度