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1、21、某种型号的电子管寿命 X(以小时计)，具有如下概率密度：现有一大批此种电子管(设各电子管损坏与否相互独立)， 他他,01000,1000 )(2xxxf任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500 小时的概率是多少？并求.)(xF解：设使用寿命为 x 小时150010001500 1000232| )1000(110001150011500xdxxxPxP，所求事件的概率：311500xP322 5)1500()1500(xPxPCP55 544 5233 5)1500()1500()1500()1500()1500(xPCxPxPCxPxPC243232)32(31)32(5)
2、31()32(10)31()32(10542332再求xxxdxxdxxfxF 10002100011000)()( 他他,01000,10001)(xxxF23、设顾客在银行的窗口等待服务的时间 X(以小时计)服从指数分布，其概率密度为某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟，他就离开，他一个 他他,00,51 )(5xexfx月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出 Y 的分布律，并求.1YP解：5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0,)1(522 5keeCkYPkkk5166. 01YP29、设电流是一个随机变量，它均匀分布在 9 安11 安之间，若此电流通
3、过 2 欧姆的电I阻，在其上消耗的功率为，求的概率密度.22IW W解：由题意 I 的概率密度为 他他,0119,21 )(xxf242162,119,2,2,222wxwxxwIw他他对于22)(22)(,0dxxfIPwPwFww由于，所以当时，其分布函数，0w0w0)(wFw故的概率密度；wwwFwfw41)()(0,00,)2()2(221 )(wwwfwfwwf 他他,0242162,241 21 221www30、设 正 方 体 的 棱 长 为 随 机 变 量 ，且 在 区 间 ( 0 ， a ) 上 均 匀 分 布 ，求 正 方 体 体 积 的 概 率 密 度 。 ( 其 中 a
4、 0 )解: 正 方 体 体 积 = 3 函 数 y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 数 xh yy( )1 3h yy( ),1 32 3 ayh1 的 概 率 密 度 为 ayyay)(0031 33231. 设 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 0,00,122xxxx求 随 机 变 量 = l n 的 概 率 密 度 。解：函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y ， 当 x 在 ( 0 ， + )上 变 化 时 ， y 在 ( ， + ) 上 变 化 ， 1e2yh,e)y(hy2y 于 是 的 概 率 密 度 为 ye
5、eyyy12)(29、随机变量的分布函数为求：),(YX 其它,00, 0,3331),(yxyxFyxyx（1）边缘密度；（2）验证 X,Y 是否独立。解：（1），)33(3ln),(yxxxyxF,33ln),(22yxyxyxF.0, 0yx其它00, 033ln),(2yxyxfyx, 其它0033ln33ln)(20xdyxfxyxX其它00,33ln33ln)(20ydxxfyyxY(2) 因为，故与是相互独立的.)()(),(yfxfyxfYXXY10、一电子器件包含两部分，分别以记这两部分的寿命(以小时记)，设的分YX,),(YX布函数为 他他00, 01),()(01. 00
6、1. 001. 0yxeeeyxFyxyx(1)问和是否相互独立？ (2)并求XY120,120YXP解：(1) 0001),()(01. 0xxexFxFxX0001),()(01. 0yyeyFyFyY易证，故相互独立.),()()(yxFyFxFYXYX,(2)由(1)相互独立YX,1201 1201 120120120,120YPXPYPXPYXP091. 0)120(1)120(1 42eFFYX8(1)一个复杂系统由 100 个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率 为 0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有 85 个元件工作，求系统的可靠程度(即 正常运行的概率
7、)；(2)上述系统假设有 n 个相互独立的元件组成，而且又要求至少有 80%的元件工作才能使系统正常运行，问 n 至少为多大时才能保证系统的可靠程度为 0.95?解：(1)设表示正常工作的元件数，则，X)9 . 0 ,100( bX990100 9 . 01 . 0100 9 . 0100990858510085XPXPXP310 390 35XP由中心极限定理可知)35(1 ()310()35()310(85XP95. 0)35(1)35()310(2)设表示正常工作的元件数，则X)9 . 0 ,(nbXnn nnX nnPnXnPnXP3 . 0 2 . 01 . 09 . 0 9 . 0
8、3 . 0 1 . 0)8 . 0()8 . 0(3 . 0 9 . 0332 3 . 0 9 . 03nnXnPnnnXnP95. 0)3()3(1nn 35 3n25 n9一部件包括 10 部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为 2 mm ，均方差为 0.05 mm，规定总长度为 20 0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已 知 ：( 0.6 ) = 0.7257；( 0.63 ) = 0.7357。解：设 每 个 部 分 的 长 度 为 Xi ( i = 1, 2, , 10 ) E ( Xi ) = 2 = , D( Xi ) = 2 = ( 0
9、.05 ) 2 ,依题意 ，得合格品的概率为 102010101.iiXP 6302100501831630101.)(.iiXP63. 00263. 063. 022221221dtedtett 4714. 017357. 02121263. 022dtet 13. 保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为 100 元, 每被保险人出事赔付金 额为 2 万元. 根据统计, 这类被保险人年出事概率为 0.000 5. 这个新保险品种预计需投入 100 万元的广告宣传费用. 在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参保, 才能使保险公司在该年度获利超过 100 万元的概率大于 95
10、%？221( )ed ,(1.29)0.9015,(1.65)0.9505,(3.09)0.999 0,2txxt(3.72)0.9999,(4.27)0.99999)解：设参保人数为 N 人, 则011,1,2,.0,iiiiiiNEp DpqqpiL第人出事，第人不出事，1(20 0001000 0001001000 000)0.95.Ni iPN1(/2002 000 000)0.95.Ni iPN11002 000 000 20 0000.95.Ni iNNpNp PNpqNpq 由 1002 000 000 20 0001.65,NNpNpq 20 000200330,0.0005,
11、0.9995,NNpNpq pq50.920 000330, 92 103300,NNpqNNpq2521081(36 103300)4 100,Npq N 245068.03493827160.490,NN2463 296.41,54182.22.bacN2、设总体服从指数分布 ，是来自的样本，X,0( )0,xexf x 他他nXXXL,21X（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）由于，令，故的矩估计为1()E X11XX1 X（2）似然函数1 12( ,)ni ix n nL x xxe L111lnlnln0ni inin i i iLnxdLnnxdx故的极大似
12、然估计仍为。1 X3、设总体，为取自X的一组简单随机样本，求的极大似20,XN12,nXXXL2然估计；解 (1)似然函数22211 2ixniLe 22 12222n iixn e于是2 2 2 1lnln2ln222n iixnnL ，2 224 1ln1 22ni idLnxd 令，得的极大似然估计：.2ln0dL d22211ni iXn4、设总体服从泊松分布, 为取自X的一组简单随机样本, （1）求X( )P12,nXXXL未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）令，此为的矩估计。()E XXX（2）似然函数1121( ,) !ni ix nnni ieL x xx x
13、L故的极大似然估计仍为1111lnlnln!ln0nnii iinnii iiLxnxxxdLnxdnX2、一种电子元件，要求其使用寿命不得低于 1000 小时，现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为 950 小时，已知该种元件寿命服从标准差小时正态分100布，试在显著性水平 0.05 下确定这批产品是否合格.解：设元件寿命，已知，),(2NX21000205. 0,950,25Xn检验假设1000:0H1000:1H在已知条件下，设统计量2) 1 , 0(/1000NnX 拒绝域为，查表得05. 0645. 195. 005. 0而645. 15 . 22050 25/1001000950拒绝假设选择备择假设，所以以为这批产品不合格.0H1H
