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1、第章 自动控制系统计算机辅助分析,自动控制系统的计算机辅助分析是以理论分析为依据，在已经建立的自动控制系统数学模型的基础上，通过编程实现对系统稳定性、动态和稳态性能进行分析的一门应用技术。MATLAB以其方便灵活的编程、丰富的工具箱、以及强大的计算和绘图功能成为目前世界上最为流行的自动控制系统辅助分析软件。,1自动控制系统的稳定性分析,MATLAB提供了求取特征方程根的函数roots( )，其调用格式为式中，P为特征多项式的系数向量，返回值V是特征根构成的列向量。,MATLAB还提供一个可以直接求取矩阵特征值的函数eig( )，其调用格式为,其中D为矩阵A的特征值向量。,调用该函数时，也可以给
2、出两个返回值： 其中V是由与特征值相对应的特征向量构成的变换矩阵。,【例2】某线性控制系统的状态方程为试求出系统特征多项式以及特征值，并且作线性变换 要求变换后系统矩阵 为对角阵。,(解题过程见教材第98页),A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;eig(A)%求取特征值poly(eig(A)%求以A的特征值为根的特征多项式poly(A)%结果同上,V = -0.5774 0.2182 -0.1048 0.5774 -0.4364 0.3145 -0.5774 0.8729 -0.9435D = -1.0000 0 0 0 -2.0000 0 0 0 -3.0000,1.2 控制系统
3、的能控性和能观性分析,在“现代控制理论”课程中，我们已经知道：线性定常系统，如果它的能控性矩阵为满秩，则该系统为状态完全能控，或称该系统是能控的；对于线性定常系统，如果它的能观性矩阵为满秩，则该系统为状态完全能观，或称该系统是能观的。,计算能控性矩阵的函数ctrb( )，计算能观性矩阵的函数obsv( )，MATLAB中还有计算矩阵秩的函数rank( )。这些函数可以帮助我们分析控制系统的能控性和能观性。,【例3】 分析下面的线性系统是否能控？是否能观测？,Controllability matrix,Observability matrix,Qc=ctrb(A,B)Qo=obsv(A,C)R
4、c=rank(Qc)Ro=rank(Qo),Qc=ctrb(sys)Qo=obsv(sys),【例3】 分析下面的线性系统是否能控？是否能观测？,1.3 利用传递函数的极点判别系统稳定性,控制系统的传递函数（或脉冲传递函数）以有理真分式形式给出时，MATLAB提供的函数tf2zp( )和pzmap( )可以用来求取系统的极点和零点，进而实现对系统稳定性的判断。,【例4】 已知某控制系统如下图所示，试求出闭环系统的极点，并且判断闭环系统的稳定性。,解 输入命令,计算机显示,表示该系统的闭环传递函数为,再判断闭环极点，输入,计算机输出,显然，3个闭环极点全部位于左半复平面，因此，闭环系统稳定。,p
5、=1 12 12 13;roots(p),1.4 利用李亚普诺夫第二法判别系统稳定性,【例5】 齐次线性定常系统方程如下，试判断系统的稳定性。,解 编写MATLAB程序如下,计算机执行以后，输出,由于矩阵P的各阶主子式的行列式都为正，P为正定，因此本系统为大范围一致渐近稳定。,对于非线性系统，没有求Lyapunov函数的一般方法。MATLAB也没有这个功能。只能判断齐次线性定常系统 的稳定性。,Q=I,对于任意正定对称矩阵Q，判别矩阵P是否正定，若P正定则该离散系统稳定，否则不稳定。通常取Q=I。,2 控制系统时域分析,2.1 时域分析的一般方法,在零初始条件下，控制系统的时间响应由两部分组成
6、：暂态响应和稳态响应。因此，对于稳定的控制系统来说，其时域特性可以由暂态响应和稳态响应的性能指标来表示。最为常见的是用控制系统单位阶跃响应的特征来定义系统的动态时域性能指标，主要有：上升时间、峰值时间、超调量和调节时间等。,需要指出：系统动态性能指标定义的前提是系统为稳定的。 控制系统的稳态性能指标通常用系统的稳态误差来表示。,2.2 常用时域分析函数,在MATLAB中，常用的时域分析函数主要有以下几种：step( )绘制连续系统的单位阶跃响应曲线；dstep( )绘制离散系统的单位阶跃响应曲线；impulse( )绘制连续系统的单位尖脉冲响应曲线；dimpulse( )绘制系统的单位尖脉冲响
7、应曲线；lsim( )绘制连续系统的任意输入响应曲线；dlsim( )绘制离散系统的任意输入响应曲线,1.计算连续系统的单位阶跃响应 y,x,t=step(num,den) 返回变量格式，不绘图。 y=y(t)为输出响应，x=x(t)为状态变量，t为时间向量。 y (或y,x)= step(A,B,C,D,iu,T)求解系统对iu个输入的阶跃响应。T为等间隔的时间向量，指明要计算响应的时间点。y的列数与输出的个数相同，每列对应一个输出。,2.输出时间响应曲线step(num,den)、 step(A,B,C,D),step,dstep,计算或绘制离散系统的单位阶跃响应y,x,t)= dstep
8、(A,B,C,D,iu,n)y (或y,x)= dstep(A,B,C,D,iu,n)求解离散系统对iu个输入的阶跃响应。整数n为要计算的脉冲响应的点数，y的列数与输出的个数相同，每列对应一个输出。,例1、系统无零点与系统有零点表达式分别为,试比较系统阶跃响应的差别。,num1=10;num2=2 10;den=1 2 10;step(num1,den)hold on %在已存在的图形上添加新的图形step(num2,den),解：,得到的图线：,计算超调量的命令：, y1,t1=step(num1,den); y2,t2=step(num2,den); max(y1),max(y2)ans
9、= 1.3509 1.4348,可见，超调量分别是35.09%和43.48%。,显然，系统有s=-5的零点时，其阶跃响应叠加了微分项，超调量稍有增加。,impulse(num,den)impulse(A,B,C,D) y,x,t(y或y,x)=impulse(num,den)(impulse(A,B,C,D)返回变量格式，不绘图。 y=y(t)为输出响应，x=x(t)为状态变量，t为时间向量。,a=0.2 0;0 0.85;b=1 1;c=1 -4;d=1;y=dimpulse(a,b,c,d,1,50);plot(y)xlabel(采样序列n);ylabel(脉冲响应y);grid,例2、控
10、制系统的传递函数分别为,作系统的脉冲响应曲线。,num1=0 0 1;num2=0 1 0;num3=1 0 0;den=1 2 10;impulse(num1,den);hold on;impulse(num2,den);impulse(num3,den);,也可以简单的将参数填到命令中：,impulse(0 0 1,1 2 10);hold on; impulse(0 1 0,1 2 10);impulse(1 0 0,1 2 10);,解：,在matlab弹出的图形窗口中，选择Edit/Copy Figure，可以实现拷贝图像功能,lsim(num,den,u,T) 、lsim(A,B,
11、C,D,u,T)连续系统对任意输入u的时间响应时间向量T，绘制时间响应曲线； y=lsim(num,den) y,x=lsim(num,den) y,x,t=lsim(num,den)返回变量格式，不绘图。 y=y(t)为输出响应，x=x(t)为状态变量，t为时间向量计算系统对于输入序列u的响应。u的每一列对应一个输入，每一行对应一个新的时间点，其行数与T的长度相同。,例、系统结构如图所示，考察I型系统与II型系统对速率信号的跟踪能力。,绘制图a：num1=2;den1=1 2 2; t=0:0.1:10;u=t; lsim(num1,den1,u,t);hold on plot(t,u, r
12、:) %将t-u直线描红色,绘制图b：num2=2 2;den2=1 2 2 2; t=0:0.1:10;u=t;lsim(num2,den2,u,t);hold onplot(t,u,r:) %将t-u直线描红色,图a I型系统,图b II型系统,（a）I型系统,（b）II型系统,两个系统对斜坡信号的跟踪曲线如上图所示。I型系统在跟踪速率信号时，有明显的跟踪误差，即ess=1，如图(a)所示；但是II型系统由图(b)可见，稳态跟踪误差为零，即ess=0。,num1=2;den1=1 2 2;t=0:0.1:10;u=t;y=lsim(num1,den1,u,t);y=y;plot(t,u-y
13、);,num2=2 2; den2=1 2 2 2;t=0:0.1:50;u=t;y=lsim(num2,den2,u,t);y=y;plot(t,u-y);,误差响应曲线图：,计算机就绘制出该系统的单位阶跃响应曲线如图所示,【例】 已知控制系统闭环传递函数如下，试用MATLAB绘制其单位阶跃响应曲线。,解 输入命令,再输入命令：,计算机就绘制出该系统的单位脉冲响应曲线如下图所示,【例】 已知二阶闭环控制系统如图所示，试在4个子图中绘出当无阻尼自然振荡频率 ，阻尼比 分别为 0.2、0.5、1.0和2.5等不同值时，系统的单位阶跃响应曲线。,解 建立一个m文件，不妨命名为step4re.m如下
14、,将该m文件保存在work文件夹中，然后在Command Window中键入step4re，回车。计算机就分别在4个子图中绘出4个单位阶跃响应曲线。,2.3 时域分析应用实例,摆杆长度为L，质量为m的单级倒立摆(摆杆的质心在杆的中心处)，小车的质量为M。在水平方向施加控制力u，相对参考系产生位移为y。为了简化问题并且保其实质不变，忽略执行电机的惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力及风力。,摆杆质心坐标为,在y轴方向上应用牛顿第二定律得以下方程：,（1）,而,（2）,代入（1）式，化简为,在转动方向上，其转矩平衡方程为：,（3）,（4）,或,不失一般性，不妨选取倒立摆的参数如下,选取状态变
15、量,判断开环系统的稳定性 ，输入命令,计算结果,可见，有一个特征值位于右半复平面，开环系统不稳定。,判断系统的能控性,计算机返回 r=4 , 系统能控，则可以通过状态反馈配置系统极点,例如，我们希望通过状态反馈，将系统极点配置为-5、-6、 。则使用命令place()可以求出状态反馈矩阵K。,输入命令,计算机返回,建立该状态反馈控制系统的仿真模型,输出曲线,3 控制系统频域分析,稳定的线性定常系统，在正弦输入信号作用下，其输出的稳态分量是与输入同频率的正弦函数，但是输出正弦波信号的振幅和相位与输入信号是不同的。 进入稳态以后，输出正弦信号的振幅和输入正弦信号振幅之比 称为幅频特性。 而输出正弦信号的相位和输入正弦信号的相位之差 称为相频特性。,
