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1、1全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读阅读时必须考虑的几个问题：阅读时必须考虑的几个问题： 1步步皆要考虑“知其然之其所以然”。 2.解此题的关键步骤是什么？如何想到，是否应该想到这样的方法、这样的思路？ 3.画图线条的如何取舍？ 4.本题有什么特点？解法是否接触过？ 5.分析思考各类定理的运用时机，运用条件。 注意：注意：思考过久（不超过 15 分钟为宜）不知其然，思考过久（不超过 10 分钟为宜）不知所 以然，跳过！强调一下，不超过不是指一题不超过 15 分钟，是指从某一步推到另一步不 超过的时间。例例 1（美国 37 届）设 M、N、P 分别是非等腰锐角ABC 的边 BC、CA、AB
2、的中点， AB、AC 的中垂线分别与 AM 交于点 D、E，直线 BD、CE 交于点 F，且点在 的内部。证明：、四点共圆。 证明证明：如图 1，设的外心为。则900。于是、 在以为直径的圆上。因此，只要证明900。不妨设。由是 的中垂线知，。同理，。设，。则。在和中，由正弦定理得CAEACE BAC ，。由sinsinBMAB BMAsinsinCMAC CMA于 sinBMA=sinCMA，因此。sin sinBMAB CMAC 又因为，所以，。sin sinAC AB 如图 2，在和中，由正弦定理得。,sinsinsinsinAFABAFAC AFBAFC于是，。从而，sinsin si
3、nsinACAFB ABAFC 。sinsinAFBAFC因为，所以。2 ,2ADFDEC180221802EFDBAC oo因此，2。于是，、四点共圆。图 1NMPOFEDCBAABCDEFOPMN图 22又+360021800，则1800- ，且900。故 （1800-）-（900）900。 阅读提示阅读提示：1）注意思路分析，思考步步的因果关系及正弦定理的运用时机，2）注意画图， 思考作图关键点，训练画圆。例例 2 2（07-08 匈牙利）已知凸六边形所有的角都是钝角，圆123456A A A A A A的圆心为，且圆分别与(16)ii iAi圆和圆相外切，其中，1i1i。设过圆的两个切
4、点0617, 1所连直线与过圆的两个切点所连直线相交，且过这个交点与点的直线为；类似32Ae地由圆、圆和定义直线，由圆、圆和定义直线。 354Af516Ag证明证明：记这六个切点分别为（如图） 。12BBBBBB3456、设两两交于点。联结。123456B BB BB B、PQR、164523B BB BB B、由角元塞瓦定理得。 （1）16666166666161sinsinsin1sinsinsinB PAPB AB B A A PBA B BA B Pgg又，则。故式（1）为。6661A BA B661616A B BA B B 16666661sinsin1sinsinB PAPB A
5、 A PBA B Pg完全类似地得，。54444445sinsin1sinsinB RARB A A RBA B Rg32222223sinsin1sinsinB QAQB A A QBA B Qg以上三式相乘并由，6656555654PB AA B BA B BRB A ，4434333432RB AA B BA B BQB A ，2212111216QB AAB BAB BPB A B1B2B3B4B5B6A6A5A4A3A2A1RQP3得。由角元塞瓦定理的逆定理知，、165432664422sinsinsin1sinsinsinB PAB RAB QA A PBA RBA QBgg6PA
6、、三线共点，即三线共点。2QA4RA,e f g阅读提示阅读提示：1）塞瓦定理是证明三线共点的有效工具，注意角元形式的应用，2）注意本题作 图的特点并没有把圆画出，以后作图注意线条的取舍，没必要的线条会干扰思维。例例 3 3（08 罗马尼亚第一天）设六边形是所有边的长度均为 1 的凸六边形。 证明：和的外接圆半径中至少存在一个不小于 1。 证明证明：假设、的外接圆半径均小于 1。如图，设的外心为 。则，。 若是非钝角三角形，则点在内部或边界上。于是 +。若是 钝角三角形，则点在的外部。于是 +BCD。 由上面的讨论可知，一定有 BEFDCF，DEFBCF，且点 F 在 BD 上。 故EFC+E
7、ACABF+ACF+FBC+FCB+EACABC+ACB+BAC1800，即OFEDCBAIHFEDCBA4A、C、E、F 四点共圆。 例例 5 5（08 美国国家队选拔）设 G 是ABC 的重心，P 是线段 BC 上的动点，Q、R 分别是边 AC、AB 上的点，使得 PQAB，PRAC。证明：当点 P 在线段 BC 上变动时，AQR 的外 接圆经过一个定点 X，且点 X 满足BAGCAX。 证明证明：如图，设 X 是AQR 的外接圆与BAC 内作BAXCAG 的一边 AX 的交点。 下面证明：X 是定点。只需证明 AX 是定长。 由托勒密定理得 AXRQARXQ+AQXR。 取正弦得 AXs
8、inBAC=ARsinXAQ+AQsinXAR.故AXsinBAC=ARsinBAG+AQsinCAG.由 PRAC,ARPQ，得 AR=PQ，AQ=PR。记。BP BC则。因此，。故CP BC1-PQ AB1-PR ACAXsinBAC=PQsinBAG+PRsinCAG=(1- )ABsinBAG+ACsinCAG=ABsinBAG+(ACsinCAG-ABsinBAG).由 G 是重心知ACsinGAC=ABsinGAB.因此，AXsinBAC=ABsinGAB.故 AX（定长） 。ABsin sinGAB BAC 例例 6 6（08 印度国家队 选拔）设ABC 是非 等腰三角形，其内切
9、 圆为 T，圆 T 与三边 BC、CA、AB 分别切于 点 D、E、F。若 FD、DE、EF 分别与 AC、AB、BC 交于点 U、V、W，DW、EU、F V 的中点分别为 L、M、N，证明： L、M、N 三点共线。 证明证明：如图，设 DF、FE、ED 的中点分别为 P、Q、R。则 PQDE，且直线 PQ 过点 N；RQDF，且直线 RQ 过点 M；PREF，且直线 PR 过点 L。 因为 AEAF，所以，AQ 是CAB 的角平分线。 同理，BP、CR 分别是ABC、BCA 的角平分线，且 AQ、BP、CR 交于ABC 的内心 I。 在ABC 和QPR 中应用笛沙格定理得，其对应边 PR 与 BC、RQ 与 CA、QP 与 AB 的交点 L、M、N 三点共线。 阅读提示阅读提示：1）对于笛沙格定理，我们相对比较陌生，这就要求我们在考前对不熟悉定理的 回顾（只有一点印象是不够的）。2）对于比较复杂的图形我们又应该采取怎么处理？如何 理清图中的线条？笛沙格定理的运用时机是什么？运用该定理的关键点是什么，如何创GXPRQCBALN MVUWPRQFEDCBA1造定理使用的条件？
