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1、Lee-Carter 估計模式與死亡率推估研究Modeling Lee-Carter Model for Forecasting Mortality Rates: A Case Study in Taiwan Area I-Shiang Tzeng* Jack C. Yue * 曾奕翔*余清祥 * 摘要近十餘年來，台灣地區老年人口比例日趨增加，在民國82 年底的 65 歲以上老年人口 (約 149萬人)占總人口數的 7.10% ，方才突破聯合國世界衛生組織(WHO)界定高齡化社會的標準，之後以每年平均2.66%(約 6 萬 5 千人)增加，在民國 94年底已達 9.75%(超過 221 萬人)
2、。由於人口高齡化關係政府政策、 社會資源分配，例如：醫療支出的增加與青壯人口勞動力不足等問題，死亡率研究日益受到各國注意。死亡率推估模型以Lee-Carter 模型最為知名，自1992 年提出後即廣泛被各國使用 (包括美國、日本 )，近幾年也有不少修正模型的研究，以彌補原始模型的不足，例如：Renshaw 與 Haberman (2003) 建議的 PB 模式。本文除了評估這個 Lee-Carter修正模式，也提出另一常用的死亡率模型主成份分析的修正，以台灣地區 1950至 2004年實際資料比較Lee-Carter修正模型與主成份修正模型的優劣，作為台灣地區老年死亡率研究的參考。*Ph.D.
3、 Candidate, Department of Statistics, National Chengchi University 政治大學統計研究所博士班候選人*Associate Professor, Department of Statistics, National Chengchi University 政治大學統計系副教授關鍵字：死亡率推估、 Lee-Carter模型、 PB 模式、主成份分析壹、 前言近十餘年來，台灣地區老年人口比例增加迅速。根據內政部統計資料顯示，在民國 82 年底的 65 歲以上老年人口，占總人口數的7.10%，方才突破聯合國世界衛生組織 (WHO)界定高齡
4、化社會7%的標準，之後以每年平均2.66%增加，在民國 94 年底已達 9.75%，此時 65 歲以上老年人口已超過221萬人；根據民國 94年經濟建設委員會人力規劃處推估，老年人口比例將在民國120 年突破 25%，平均每四人即有一位老年人。以老化指數而言，民國85 年底老化指數為 33.95%( 如圖一)，至民國 94年底老化指數上升為 52.05% ，每年上升幅度約有 2%。高齡化社會的來臨，不單單意謂著社會人口的老化，同時表示社會醫療支出的增加與青壯人口勞動力不足，而國人生活形態與習性、消費需求、生產及家庭結構、社會價值觀與社會福利醫療制度將隨之快速轉型與改變。對個人而言，主要包括個人
5、經濟、健康保健、醫療照護、休閒娛樂、社交活動等問題，而對整個社會而言，包括像是老人福利政策是否落實、社會安養體制是否完善、長期照護設施是否足夠等問題，涵蓋的範疇相當廣泛，對於政府各相關部門的政策考量，必須具有整體性的詳細規劃與探討。Y earOldIndex199619982000200220 0435404550圖 1 1996-2005 歷年老年化指數走勢隨著人口結構高齡化，老人生活與照護將逐漸成為社會負擔。以主要需求者多數為老年人的養護機構為例，根據內政部社會司公佈台閩地區老人長期照護、養護及安養機構概況，民國88 年底全台灣老年人的養護機構家數為183 家(包含公、私立 )，至民國 9
6、4 年底養護機構家數增至838家，增加的比例相當可觀，不難看出國人對老人相關福利需求之殷切。其中死亡率的估算與人口老化密切相關，而近幾年老年人的死亡率下降幅度增加，世界各國政府也對於死亡率未來趨勢一直抱持關切的態度。關於死亡率的估算，台灣地區迄今尚無關於死亡率模型的完整研究，國外已有許多探討死亡率模型的研究，以Lee-Carter模型最廣為使用，模型參數明顯易懂。Lee-Carter 模型的配適方法大多使用矩陣求解及近似法兩種，但此模型之效果在各國大不相同，極易受到資料影響，例如匈牙利與保加利亞的Lee-Carter模型配適結果並不理想 ，參數似乎也不太穩定 ，與之前美國與日本的結果不同。Be
7、ll (1997)也獲得類似結果，主成份分析(PCA)配適的 MAPE1也相當不錯，不過在年輕的年齡配適較差 ，與筆者之前的台灣死亡率實證研究結果類似。因為 Lee-Carter模型的配適結果可能會有較大誤差，近幾年不少學者提出修正方法，以降低資料對此模型的影響。本文以台灣地區老年人口的死亡率為研究目標，評估Lee-Carter模型的修正方法是否有效，並將這些修正方法推廣至另一死亡率研究常用的主成份方法。與之前台灣地區的老年死亡率研究不同，本文使用單齡資料，更可據此評估Lee-Carter 模型的穩定性。本文以下各節編排如下：第二節介紹Renshaw and Haberman (2003)建議
8、 Lee-Carter模型的修正法(PB 模式)，以及 Bell (1997)建議用主成份分析配適死亡率資料，加上本文提出類似PB 的主成份修正法；第三節以兩種模式及主成份分析配適台灣地區資料；第四節為日本資料的實證比較，這兩節的結果將是判斷配適方法是否改善的依據；最後一節為結論與建議。貳、Lee-Cater與主成份分析的修正模式Lee and Carter (1992) 提出 Lee-Carter模型之後，廣為許多學者研究與討論，此模型優點為明顯易懂，配適效果也相當不錯，不過仍有些瑕疵，Lee (2000)與Botoh et al. (2001)在某些年齡配適效果不太理想，Renshaw a
9、nd Haberman (2003)1平均絕對百分比誤差(Mean Absolute Percentage Error ，簡稱 MAPE) MAPE=nttt Xn11100也注意到相同的問題，當配適英格蘭與威爾斯男性死亡率資料，20-39 歲的結果不太理想。本節先介紹Renshaw and Haberman (2003)提出兩種模式 (LC 模式與PB 模式)，以及 Bell (1997)提出的主成份分析的操作方法。一、LC 與 LC2 模式Lee and Carter (1992) 提出一個預測美國未來死亡率的模型：xttxxxtm )ln(1) 此模型中的x、x與t為欲估計之參數，其中x
10、tm 表示 x 年齡組人口在 t 年時的中央死亡率 (Central Death Rate) ，而kxxxx,.,21以及nthtttt1,.,1,111，下標 k 表示將年齡分為k 類，可以分為年齡組或是單齡資料。LC 模式估計參數x、x與t步驟如下：第一步：hmmnntttxtttth xtx11loglog?/1，其中ntth1。第二步：),min(1)()(?logkhiiiixxtxttvxusmz，利用 SVD 分解xtz 得到is 、)(xui與)(tvi，其中is 、)(xui與)(tvi表示單一值 (Singular Value)以及左側與右側的單一向量 (Singular
11、Vector)。Lee-Carter模型可以直接推廣為：rixti ti xxxtm1)()(log(2) 其中推廣模型的)()()()(tvxusiiii ti x，加上推廣 Lee-Carter模型原有限制式如：xi x, 1)(ntti t10)(i, (3) 而誤差項可以用單一值與單一向量表示，誤差項表示為：),min(1)()(khriiiixttvxus(4) 在 Lee and Carter (1992)提出的模型只考慮1r，Renshaw and Haberman (2003)稱1r為 LC 模式，推廣至2r為 LC2 模式，底下介紹 LC2 模式參數的配適：第一步：先利用 L
12、C 模式配適 Lee-Carter模型得到參數x? 、)1(?x與)1(?t。第二步：),min(1)1()1()()(?logkhiiiitxxxtxttvxusmz，利用 SVD 重新分解xtz 得到is 、)(xui與)(tvi，其中)()(?)2()2(tvxusiiitx，is 、)(xui與)(tvi同樣表 示 單 一 值 (Singular Value)以 及 左 側 與 右 側 的 單 一 向 量 (Singular Vector)。若死亡率資料記載的上限不同或是有缺漏(即散逸值或遺漏值； Missing Value)，使得資料不完整，則無法使用LC 與 LC2 模式求解模型參
13、數。本文不考慮LC2的修正，因此使用LC 模式將與 SVD 結果相同。二、PB 與 PB2 模式Brouhns et al. (2002)加入死亡人口數服從卜瓦松分配(Poisson Distribution)的假設，以執行 Lee-Carter模型的參數估計， Renshaw and Haberman (2003) 也應用此假設，其模型假設為：xtxtxteDEexp)(5) 其中txxxt，而相關的偏差可以得到如下：txxtxtxtxt xt txxtxtxtxtdd ddddddevddD,)?(?log2)?,()?,(6) 相關偏差中的)?exp(?txxxtxtked。PB 模式估
14、計參數x、x與t步驟如下：第一步：設定好一組參數起始值(即x? 、x?與t? )代入計算xtd?以及)?,(xtxtddD。第二步：更新x? 代入計算xtd?，以更新t? 並調整t? 使得符合限制式nttt10?，接著代入重新計算xtd?以更新x?，最後再計算xtd?以及)?,(xtxtddD。第三步：重覆上述兩個步驟 ，直到)?,(xtxtddD收斂，即停止並紀錄參數估計值x? 、x?與t? 。其中)?exp(?txxxtxtked，而上述更新參數x、x與t的估計公式為：更新txttxtxtxxddd?)?(?)?(； 更新txxtxxxtxtttddd2)?(?)?(?)?(；更新ttxt
15、ttv xtxtxxddd)2()2(?)?(?)?(；Renshaw and Haberman (2003) 提出的 PB 模式，跟 Brouhns et al. (2002) 提出的參數MLE 是相同的，不過收斂的條件有些許不同。如同LC2 模式， Renshaw and Haberman (2003)也 進 而 推 廣 PB 模 式 至 PB2 模 式 ， 也就 是將xt推 廣 為21)()(ii ti xxxt，底下接著介紹 PB2 模式估計參數x、x與t步驟：第一步：hmmnntttxtttth xtx11loglog?/1，其中ntth1。第二步：更新)1(?t並調整)1(?t使得
16、符合限制式nttt10?)1(，接著代入重新計算xtd?以更新)1(?x，最後再計算xtd?。第三步：更新)2(?t並調整)2(?t使得符合限制式nttt10?)2(，接著代入重新計算xtd?以更新)2(?x，最後再計算xtd?。其中)?exp(?21)()(ii ti xxxtxtked，而上述更新參數)( i x與)(i t的估計公式為：更新ti xxti xxxtxti ti tddd2)()()()()?(?)?(?)?(； 更新ti txti ttxtxti xi xddd)()()()(?)?(?)?(；同樣的 PB2模式的收斂準則與PB 模式相同。三、PCA Bell (1997)以多變量方法中的主成份分析(Principal Component Analysis)，找出各年齡組死亡率的主成份(Principal Component)個數，並求得各主成份的分數(Scores) 及負荷 (Loadings)，再以時間序列預測各個年齡組主成份未來的得點，進而預測未來死亡率。上述Lee-Carter模型的修正方法也可以推廣至P
