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1、NMFCDEBAxzyOFCDABE17 年东城二模理 （17） （共 14 分）解： （）取中点，连结因为分别为中点，所以又BD平面且平面，所以平面，因为，所以，所以四边形EFND为平行四边形所以又ED平面且平面，所以平面，又，所以平面平面又FM 平面，所以平面,4 分（）取AD中点O，连结EO，BO因为，所以EOAD因为平面ADE 平面ABCD，所以EO 平面ABCD，EOBO因为ADAB=，所以ADB为等边三角形因为O为AD中点，所以ADBO因为,EO BO AO两两垂直，设4AB， 以O为原点，,OA OB OE为,x y z轴，如图建立空间直角坐标系, 6 分由题意得，(2,0,0)
2、A，(0,2 3,0)B，( 4,2 3,0)C -，( 2,0,0)D -，(0,0,23)E，( 1,3,23)F -(3,3,23)CF =-，(2,0,23)DE =，(0, 2 3,23)BE =-设平面BDE的法向量为，CDN,MN FN,N M,CD BCMNBDBDEMN ?BDEMNBDEEFAB2ABEF=EFCDEFDN=FNEDBDEFN ?BDEFNBDEFNMNN=MFNBDEMFNFMBDEEAED=60DABOxyz( , , )x y zn则0,0,BEDE?nn即0,30.yzxz-=?+=?令，则1y =，3x =-所以(3,1,1)= -n设直线与平面B
3、DE成角为，10sin|cos,|10CF=n所以直线与平面所成角的正弦值为1010 ,10 分（）设G是CF上一点，且CGCF，0,1因此点(34,32 3,23 )G(34,3 ,23 )BG由0BG DE?，解得49 =所以在棱CF上存在点G使得BG DE，此时49CGCF= ,14 分17 年东城一模理 （17） （共 14 分）解： （）在直角三角形ABC中，因为45ABC?，D为AB中点，所以CDAB因为平面PAB平面ABC，CD 平面ABC，所以CD平面PAB因为AE平面PAB，所以CDAE在等边PAD中，AE为中线，所以AEPD因为PDDCDI，所以AE平面PCD,5 分（）在
4、PAB中，取AD中点O，连接PO，所以POAB在平面ABC中，过O作CD的平行线，交AC于G因为平面PAB平面ABC，所以PO平面ABC1zCFCFADEGOFEDPBACyzx所以POOG因为,OG OB OP两两垂直，如图建立空间直角坐标系Oxyz设4ABa，则相关各点坐标为：(0,0)Aa，(0,3 ,0)Ba，(2 , ,0)Ca a，(0,0,3 )Pa，(0, ,0)Da，3(0,)22aEa，3( ,)22aF aa(2 ,2 ,0)ACaauuu r ，(0,3 )PAaauu r 设平面PAC的法向量为( , )x y zn，则0,0,ACPAuuu ruu rnn，即0,3
5、0.xyyz令1z，则3y，3x所以(3,3,1)n平面PAB的法向量为(2 ,0,0)DCa=，设,DCn的夹角为，所以21cos7由图可知二面角BPAC为锐角，所以二面角BPAC的余弦值为217,10 分（）设M是棱PB上一点，则存在0,1使得PMPBuuu ruu r 因此点(0,3, 3 (1)Maa，( 2 , (31), 3 (1)CMa aauuu r 由（）知CD平面PAB，AEPD所以CDPD因为EFCD，所以EFPD又AEEFE=，所以PD 平面AEF所以PD为平面AEF的法向量(0, ,3 )PDaauuu r 因为CM平面AEF，所以CM平面AEF当且仅当0CM PDu
6、uu r uuu r ，即( 2 , (31),3 (1) (0, ,3 )0a aaaa解得23因为20,13，所以在棱PB上存在点M，使得CM平面AEF，此时23PMPB,14 分17 年西城一模理16 （本小题满分14 分）解： （）设ACBDO，则 O 为底面正方形ABCD 中心连接PO 因为PABCD 为正四棱锥，所以PO平面 ABCD 1 分 所以POAC 2 分 又BDAC ，且POBDO， 3 分 所以AC平面PBD 4 分 （）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系Oxyz- 5 分 因为PBAB，所以RtRtPOBAOB所以OAOP 6 分 设2OA所以(
7、2,0,0)A， (0,2,0)B， ( 2,0,0)C， (0, 2,0)D， (0,0,2)P， (0,1,1)E， (0,1,1)F所以( 2,1,1)AE，( 2,0,2)PC 7分 所以|3| cos,|6|AE PCAE PCAEPC|即异面直线PC与AE所成角的余弦值为36 9分 （）连接AM设PMPC，其中0,1 ，则( 2 ,0,2 )PMPC，10分 所以( 22 ,0,22 )AMAPPM设平面AEMF的法向量为( , , )x y zn，又( 2, 1,1)AF，所以0,0,AEAFnn即20,20.xyzxyz所以0y令1x，2z，所以(1,0,2)n12分 因为AM
8、平面AEF，所以0AMn，13分 即222(22 )0，解得13， 所以13PMPC14 分 17 年西城二模理16 （本小题满分14 分）解： （）因为ABCD为矩形，所以/ADBC ， 1分 所以/AD平面FBC 3分 又因为平面ADMN平面FBCMN，所以/ADMN 4分 （）因为ABCD为矩形，所以ADCD 5分 因为ADFC， 6分 所以AD平面CDEF 7分 所以平面ADMN平面CDEF 8 分 （）因为EACD，ADCD，所以CD平面ADE，所以CDDE由（）得AD平面CDEF，所以ADDE 所以DA ，DC， DE 两两互相垂直 9分 建立空间直角坐标系Dxyz-10分 不妨设
9、1EFED，则2CD，设(0)ADa a由题意得，( ,0,0)A a，( ,2,0)B a，(0,2,0)C，(0,0,0)D，(0,0,1)E，(0,1,1)F所以( ,0,0)CBa，(0,1,1)CF设平面FBC的法向量为( , , )x y zn，则0,0,CBCFnn即0,0.axyz令1z，则1y所以(0,1,1)n12分 又平面 ADE 的法向量为(0,2,0)DC，所以|2|cos,| 2|DCDCDC|nnn因为二面角AlB的平面角是锐角，所以二面角AlB的大小 45 14 分 17 年海淀一模理17.（本小题满分14 分）解： 说明：本题下面过程中的标灰部分不写不扣分 （
10、）在直三棱柱111ABCA BC中，1CC平面ABC，故 ACCC1，由平面 CC1D平面 ACC1A1且平面 CC1D平面 ACC1A1=CC1，所以 AC平面 CC1D，又 D C1? 平面 CC1D，所以 ACDC1. （）在直三棱柱111ABCA BC中，1AA平面ABC，所以1AAAB，1AAAC，又 BAC=90 ，Mxy所以，如图建立空间直角坐标系Axyz-，依据已知条件可得(0, 0, 0)A，(0,3, 0)C，1(2,3,0)C，(0, 0,1)B，1(2,0, 1)B，(1, 3, 2)D，所以1(2,0,0)BB，(1, 3,1)BD，设平面1DBB的法向量为( , ,
11、 )x y zn，由10,0,BBBDnn即20,30.xxyz- 令1y，则3z，0x，于是(0, 1,3)n，因为M为1DC中点，所以3( , 3,1)2M，所以3(, 3,1)2AM，由3(, 3,1) (0,1,3)02AMn可得AMn，所以 AM 与平面1DBB所成角为 0 ，又AM平面1DBB，所以/AM平面1DBB. （）由（）可知平面1BB D的法向量为(0, 1,3)n设 BPBC ，0,1，则(0,3 ,1)P，( 1,33,1)DP. 若直线DP与平面1DBB成角为 3，则22 33cos, 22445DPDPDPnnn，解得50,14，故不存在这样的点说明 1：如果学生
12、如右图建系，关键量的坐标如下：（）1(0,2,0)BB，( 3,1,1)BD，由10,0,BBBDnn即20,30.yxyz(1,0,3)n，3( 3,1)2M，所以3( 3,1)2AM，（）由（）可知平面1DBB的法向量为(1,0,3)nM设 BPBC ，0,1，则( 3 ,0, 1)P，(33,1,1)DP. 说明 2：如果学生如右图建系，关键量的坐标如下：（）1(2,0,0)B B，( 13,1)BD，由10,0,B BBDnn即20,30.xxyz(0, 1,3)n，1( ,3,1)2M，所以3(, 3,1)2AM，（）由（）可知平面1DBB的法向量为(0, 1,3)n设 BPBC ，
13、0,1，则(2, 3 ,1)P，(1, 33,1)DP. 说明 3：如果学生如右图建系，关键量的坐标如下：（）1(2,0,0)BB，(13,1)BD，-，由10,0,BBBDnn即20,30.xxyz(0, 1, 3)n，1( ,0,1)2M，所以3(,3,1)2AM，（）由（）可知平面1DBB的法向量为(0, 1, 3)n设 BPBC ，0,1，则( 1, 33 ,1)P，( 1, 33 ,1)DP. 17 年海淀二模理17.（本小题满分14 分）解：（）因为ADDB，且1DB，2AB，所以3AD，所以60DBA. 因为ABC 为正三角形，所以60CAB，又由已知可知ACBD 为平面四边形，
14、所以/DBAC . 因为 AC平面PDB，DB平面PDB，zxyDOC1B1CBAA1zxyDC1B1CBAA1所以/AC平面PDB. （）由点P在平面 ABC 上的射影为D可得PD平面 ACBD ，所以PDDA，PDDB.如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知(1,0,0)B，(0,3,0)A，(0,0,1)P，(2,3,0)C. 平面ABC的法向量(0,0,1)n，设( , , )x y zm为平面PAB的一个法向量，则由0,0BABPmm可得30,0,xyxz令1y，则3,3xz，所以平面PAB的一个法向量(3,1,3)m，所以321cos,|771m nm nmn，所以二面角PABC的
15、余弦值为217. （）由（）可得(1,3,0)ABuuu r，(2,3,1)PCu uu r，因为(2,3, 1) (1,3,0)10PC ABuuu r uuu r ，所以PC与AB不垂直，所以在线段PC上不存在点E使得PC平面ABE. 17 年朝阳一模理 （17） （本小题满分14 分）（）证明：由已知平面PAD平面ABCD，PAAD，且平面PAD平面ABCDAD，所以PA平面ABCD.所以PACD.又因为BEAD，BECD，所以CDAD.所以CD平面PAD.因为CD平面PCD，所以平面PAD平面PCD. 4 分xzyACDBPP A B C D E xyz（）作 EzAD，以 E为原点，以,EB ED的方向分别为x轴， y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则点(0,0 0)，E，(0, 2 2)，P，(0,2 0)，A，(2,0 0)，B,(1,2 0)，C，(0,2 0)，D. 所以(2,22,)，PB，( 1,2 0)，BC，(0, 2 2)，EP. 设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，所以0,0.nnPB
