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1、 你的首选资源互助社区从一道试题“窥视”新高考如何进行命题创新随着高考改革的不断深入推进，高考试题在取之于教材的同时，也不断延伸，将教材内容与高等数学巧妙的衔接，使之源于教材，又高于教材成为高考的一个命题热点.与“高斯函数”相关的考查就是一个有力的见证.今年的高考试题中在陕西卷、湖北卷都涉及了“高斯函数”的问题，这既体现了对考生能力的考查，又展现了高等数学与初等数学完美结合，同时还可以考查考生推理的严密性和灵活性.现以湖北考题为例就与“高斯函数”有关的考查形式予以展示.【高考原题】 （2013 年湖北卷）x 为实数， 表示不超过 的最大整数，则函数 在xx()fx上为（ ）RA奇函数 B偶函
2、数 C增函数 D.周期函数【思维导航】 （1）结合选项，采用取特殊值的方法，去逐一验证排除完成.(2)依据所给函数的特点，作出函数的图象，利用数形结合的知识巧妙转化思考完成.(3)由题意可知 （当且仅当 为整数时等号成立） ，所以 （xnn(+)fxkf）成立，即可得出结论.,0kZ且【解题过程】 解法一（特值法）取 ，则 所以12.,6x11().20.().20.8fxf， ，故 A，B 错；又 ，显然不是增函数，C 错；故选 D.fxf()ff解法二（图像法）依据已知可以作出函数 ()x图像如图所示，则可知 是有界，且是周期为)(xf的非单调函数，其最小正周期为 1，故选 D.,0kZ解
3、法三（直接法） 由 （当且仅当 为整数xnn时等号成立） ，可知当且仅当 为整数时，必有成立.nx设 ，则 ，所以可知,0kZ且 (+)fxkxkxkxf必为周期函数，故选 D.fx【题后反思】 （1）本题考查分段函数的表示及性质，与课本例题的求解具有相似之处，这体现了试题源于课本.但在问题中又涉及到“高斯函数” ，所以它又高于课本，试题的求解灵活多样，充分体现了对能力的考查.（2 ） 通过对上述问题的求解可知在涉及到与“高斯函数 ”有关的问题（多数试题会以选择、填空形式出现） ，其求解方法主要有两种：一是特值排除法；二是直接利用相关知识或作出图像或利用有关“法则”求解完成.【追根溯源】 （1
4、）课本寻根：在必修一课本 “函数的表示 ”一节中有如下例题：国内跨省市之间邮寄 你的首选资源互助社区信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表：信函质量 mg0204m0608m01邮资 M元 1.3.4.6.画出图像，并写出函数的解析式.（2 ）高斯函数：若 表示不超过 的最大整数，则函数 称为高斯函数.,Rxxxy我们记 称为 小数部分， .可见函数 是一个不减(非单调) 的非周期的10函数，其定义域是 ，值域是 ，图像是不连续的水平线段（如图所示）.Z由高斯函数的定义可以得到如下简单的性质:设 ，我们有: ； 若 则 ； （当且仅当Ryx,x,yxxn为整数时等号成立） ； ； . n)(
5、1Zyx【变式导学】 【变式 1】 x 为实数， 表示不超过 的最大整数，则函数 在 上为（ ）xx()fxRA奇函数 B偶函数 C增函数 D 周期函数【解析】设 ，由上述性质（2）知 ，所以 ，112212121()0fx故可知 为增函数，故选 C.fx【变式 2】 x 为实数， 表示不超过 的最大整数，则函数xx ()fx在 上的值域为 .1,【解析】当 时， ，所以 ；当010,101时， ，所以 ；当 时， ，所以 ； x故的值域为 .fx,【变式 3】 x 为实数， 表示不超过 的最大整数，则函数 在 上（ ）xx()fx1,A是奇函数 B是偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D是增函数
6、 【解析】 当 时， ，所以 ，故 ；当 时，1010,1x()0f1x时， ，即函数 恒等于 0，所以选 C.0x()fx()fx【综合探究】“高斯函数”不仅可以与函数在一起考查，还可以与其它知识综合在一起考查.下面其综合应用问题予以展现考查一：以集合为背景 你的首选资源互助社区【典例 1】.设集合 ， 表示不超过 的最大整数，则 .2,1AxBxxxABI【解析】由 可知 .当 时， ，所以 ；当1021A时， ，所以 ，不符合题意；当 时， ，所以0x02,2x x1，不符合题意，所以213,A1BI【点评】 本题的关键是抓住交集的含义，合理的分类讨论，注意易忽视 的取值范围而出错.考
7、查二：与命题、充要条件衔接【典例 2】 （2013 年陕西高考文科 10）设x 表示不大于 x 的最大整数， 则对任意实数 x， 有（ ）A.x =x B.x + = x C.2x =2x D. 12 12x【解析】对于 A， 设 ， 则 ， 显然错误；对于 B， 设 ， 则.2,11.7， 显然错误；对于 C， 设 ， 则 ， 显然错误. 故选 D12,x .7x3,2x【点评】 本题是与“高斯函数”有关的对命题真假的考查，需要概念清，选对方法.【典例 3】 是 的（ ）yx1A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不非充分又不必要条件【解析】若 ，则 的整数部分必相等，
8、所以必有 ；若 ，如,x 1yx1yx满足 ，但不能推出 ，所以选 A.2.3,1.8xy1yyx【点评】若充分性（或必要性）正确需要作严格证明，若不正确可采用特殊值或反例法完成.考查三：链接不等式【典例 4】已知方程 的解为 ，那么关于 的不等式 的最大整数解为 2ln7x0xx02x.（注： 表示不大于 x 的最大整数）x【解析】设 ，则可知 ，lf322lnlg4n4f ebac，故 ，所以 即 因此 故原不等式的最大整数解为32ln10f2,3x0.x.x.【点评】试题以方程为背景考查零点的范围与“高斯函数”的关系，需要一定的构造、转化能力，同时又在不等式中考查最值，体现了知识的综合.
9、考查四：融入数列【典例 5】对于一切实数 ，令 表示不大于 的最大整数，则函数 称为高斯函数或取xxfx整函数若 ， 为数列 的前 项和，则 . 4naf()NnSna4nS 你的首选资源互助社区【解析】可知 ， ， ， ，1230a45671aL434214,nnnaa.2402nSnL【点评】本题体现观察归纳的推理思维，需要注意等于 0 有 3 个，等于 有 1 个，其它的均为 4 个，n小心算错.考查五：应用中“暗考”【典例 6】某市电信局 130 手机与 137、138、139 手机有不同的收费方式 .137、138、139 手机的收费方式为：月租费 50 元，基本通话费 0.40
10、元/分钟，不足一分钟按一分钟计算；130 手机的收费方式为：没有月租费，但是基本通话费为 0.54 元/分钟，不足一分钟也按一分钟计算.某人购买了一部手机，他每月通话的时间大约 20 小时，请帮他参考一下，选用哪种收费方式的手机网络合算？【解析】设手机通话费用为 元，通话时间为 分钟，则 =20(小时)=1200（分钟） ，yx若用 130 手机，则 又 =1200，所以可知0.54(),1,0)xN且 x.0.541268y若用 137、138、139 手机，则 又 =1200，所以可知0.45(),10,0)xyxN且 x.0.412530y所以应该选择 137、138、139 收费方式的网络更合算.【点评】本题需要构建的函数关系式与“高斯函数”有关，在实际问题中取“整数”是常见问题，可见学好“高斯函数”对于解决实际问题也很有价值.
