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1、1条件概率的深化积事件的概率、全概率公式、贝叶斯公式 山东省莱芜市第一中学 刘志1. .积事件的概率公式积事件的概率公式 由条件概率定义 P（BA）=P（AB）/P（A） ，P（A）0,两边同乘以 P（A）可得 P（AB）=P（A） P（BA） ，由此可得 定理 1（积事件的概率） 设 P（A）0，则有 P（AB）=P（A）P（BA） 易知，若 P（B）0，则有 P（AB）=P（B）P（AB） 乘法定理也可推广到三个事件的情况，例如，设 A，B，C 为三个事件，且 P（AB）0，则有 P（ABC）=P（CAB）P（AB）=P（CAB）P（BA）P（A） 一般地，设 n 个事件为 A1，A2，A
2、n，若 P（A1A2An-1)0,则有 P（A1A2An）=P（A1）P（A2A1）P（A3A1A2）P（AnA1A2An-1）. 事实上，由 A1A1A2A1A2An-1，有 P（A1）P（A1A2）P（A1A2An-1）0 故公式右边的条件概率每一个都有意义，由条件概率定义可知 P（A1）P（A2A1）P（A3A1A2）P（AnA1A2An-1)=P(A1) =P(A1A2An)()( )()( )()(1212121321121nn AAAPAAAP AAPAAAP APAAP LLL例 1. 一批彩电，共 100 台，其中有 10 台次品，采用不放回抽样依次抽取 3 次，每次抽一台，求
3、第 3 次才抽到合格品的概率. 解 设 Ai(i=1,2,3)为第 i 次抽到合格品的事件，则有= =10/1009/9990/980.0083.)(321AAAP)()()(21312AAAPAAPAP例 2. 设盒中有 m 只红球，n 只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入 k 只与所取颜色相 同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解 设 Ri(i=1,2,3,4)表示第 i 次取到红球的事件， (i=1,2,3,4)表示第 i 次取到白球的事件.则有iR.32)()()()()(32142131214321knmkn knmn knm
4、km nmmRRRRPRRRPRRPRPRRRRP2. .全概率公式全概率公式 定义，样本空间的划分：设 为样本空间，A1，A2，An为 的一组事件，若满足1AiAj=, ij,i,j=1,2,n， 2 =，UniiA1则称 A1，A2，An为样本空间 的一个划分. 例如：A，就是 的一个划分.A若 A1，A2，An是 的一个划分，则对每次试验，事件 A1，A2，An中必有且只有一个发生. 定理 2（全概率公式） 设 B 为样本空间 中的任一事件，A1，A2，An为 的一个划分，且 P（Ai)0 (i=1,2,n)，则有=( )P B12()nP BAAAIUUL U2=P（A1）P（BA1）
5、+P（A2）P（BA2）12()nP BABABAUUL U12()()()nP BAP BAP BAL+P（An)P(BAn)= . )()(1 niiiABPAP即：= 称上述公式为全概率公式.( )P B. )()(1 niiiABPAP全概率公式表明，在许多实际问题中事件 B 的概率不易直接求得，如果容易找到 的一个划分 A1，An，且 P（Ai）和 P（B|Ai）为已知，或容易求得，就可以求出 P（B）. 例 3、 （导学案第 42 页变式 3） 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随机 地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱,然后从 2
6、 号箱随机取出一球,问(1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下,从 2 号箱取出红球的概率是多少？(2)从 2 号箱取出红球的概率是多少？ 分析：从 2 号箱取出红球,有两种互斥的情况:一是当从 1 号箱取出红球时,二是当从 1 号箱取出白球时. 解 记事件 A：最后从 2 号箱中取出的是红球；事件 B：从 1 号箱中取出的是红球.(2) ( )()()()P AP ABBP ABP ABIU( ) (|)( ) (|)P B P A BP B P A B2411 39338111 27927例 4. 从 5 张彩票中仅有 2 张中奖彩票，问摸奖先后对结果有影响吗？ 解：记“第 i 个人抽中奖
7、券”为事件 显然 iA12()5P A 而22112121()()()()P AP AAAP AAP AAIUII2121121121()()() (|)() (|)P A AP A AP A P AAP A P AA213282 54542053312121212()()P AP AA AA AA AA AI312312312312()()()()P A A AP A A AP A A AP A A A121312121312() (|) (|)() (|) (|)P A P AA P AA AP A P AA P AA A121312121312() (|) (|)() (|) (|)P
8、A P AA P AA AP A P AA P AA A2123132132266 1224205454354354360605 同理可求、4()P A2 55()P A2 5例 5. 某工厂生产的产品以 100 件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过 4 件，且具有如下 的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机取出 10 件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批 产品通过检验的概率. 解 以 Ai表示一批产品中有 i 件次品，i=0,1,2,3,4,B 表示通过检验，则由题意得 P（A0
9、）=0.1， P(BA0)=1, P(A1)=0.2， .94 1813)|() 1 (,BAP3P(BA1)= =0.9, P(A2)=0.4， P(BA2)= =0.809,10 10010 99 CC10 10010 98 CCP(A3)=0.2， P(BA3)= =0.727, P(A4)=0.1， P(BA4)= =0.652.10 10010 97 CC10 10010 96 CC由全概率公式，得P（B）=0.11+0.20.9+0.40.809+0.20.727+0.10.6520.814.)()(40i iiABPAP 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式. 定理 3. (贝叶斯（Bay
10、es）公式) 设样本空间为 ，B 为 中的事件，A1，A2，An为 的一 个划分，且 P（B）0，P（Ai)0,i=1,2,n，则有P（AiB) =，i=1,2,n. njjjiiiAPABPABPAP BPBAP1)()()()( )()(称上式为贝叶斯（Bayes)公式，也称为逆概率公式. 例 6. 某工厂有甲、乙、丙 3 个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的 45%，35%，20%，且各车 间的次品率分别为 4%，2%，5%，现从一批产品中检查出 1 个次品，问该次品由哪个车间生产的可能性 最大？ 解 设 A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙三个车间，B 表示产品为“次品”的事件，易
11、知 A1，A2，A3是样本空间 的一个划分，且有 P（A1）=0.45， P(A2)=0.35， P(A3)=0.2， P(BA1)=0.04， P(BA2)=0.02， P(BA3)=0.05. 由全概率公式得 P（B）=P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）+P（A3）P（BA3）=0.450.04+0.350.02+0.20.05=0.035. 由贝叶斯公式得P（A1B）=(0.450.04)/0.035=0.514，P(A2B)=(0.350.02)/0.035=0.200， P(A3B)=(0.200.05)/0.035=0.286所以，该次品由甲车间生产的可能性最大. 例
12、7. 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的 概率为 0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为 0.95现对自然人群进行普查，设被试验的人 群中患有癌症的概率为 0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.解 设 A 表示“患有癌症” ，表示“没有癌症” ，B 表示“试验反应为阳性” ，则由条件得AP（A）=0.005, P()=0.995， P(BA)=0.95, P(）=0.95ABA由此 P（B）=1-0.95=0.05所以P（AB）=0.087.A)()()()()()(ABPAPABPAPABPAP这就是说，根据
13、以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为 95%， 没有患癌症的被诊断者，试验反应为阴性的概率为 95%，都叫做先验概率.而在得到试验结果反应为阳性， 该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率 0.087 叫做后验概率.此项试验也表明，用它作为普查，正确性诊 断只有 8.7%（即 1000 人具有阳性反应的人中大约只有 87 人的确患有癌症） ，由此可看出，若把 P（BA）和 P（AB）搞混淆就会造成误诊的不良后果. 概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式称为条件概率的三个重要公式.它们在解决某些复杂事件的 概率问题中起到十分重要的作用.4练习 1. 从 5 张彩票中仅有
14、1 张中奖彩票，问摸奖先后对结果有影响吗？ 解：记“第 i 个人抽中奖券”为事件 显然 iA11()5P A 而22112121()()()()P AP AAAP AAP AAIUII2121121121()()() (|)() (|)P A AP A AP A P AAP A P AA141105545 3312121212()()P AP AA AA AA AA AI123123123123()()()()P A A AP A A AP A A AP A A A312121312000()() (|) (|)P A A AP A P AA P AA A4311 54354()P A4123
15、123123123123123123123()P AA A AA A AA A AA A AA A AA A AA A AA A AI4123412341234123()()()()P A A A AP A A A AP A A A AP A A A A4123412341234123()()()()P A A A AP A A A AP A A A AP A A A A41230000000()P A A A A1213124123() (|) (|) (|)P A P AA P AA A P AA A A同理可求43211 543255()P A1 5练习 2. 袋中有 n 个球，其中 n-1 个红球，1 个白球.n 个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再 放回袋中
