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1、1 常微分方程常微分方程 期末考试试卷（期末考试试卷（1 1）班级 学号 姓名 成绩 题号一二三总分分数.一、填空（每格 3 分，共 30 分）1、方程有只与有关的积分因子的充要条件是 ( , )( , )0M x y dxN x y dyx。2、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是 12( ),( ),( )nx txtxtLnn。3、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是( ) t( ) t( )xA t x( ) t( ) t_。4、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 ),(yxfy。5、当 时，方程称为恰当方0),(),(dyyxNdxyxM程，或称全微分方程。6
2、、若是的基解矩阵，则满足( ) txtAx)(xtAx)()(tf)(0tx的解 。7、若为 n 阶齐线性方程的个线性无关解，( )(1,2, )ix t inK( )( ) 1( )( )0nn nxa t xa t xLn则这一齐线性方程的通解可表为 。8、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程 的解。dxdy00()y xy9、如果在上 且关于满足李普希兹条件，则方程存在唯),(yxfRy),(yxfdxdy一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中 )(xyhxx000)(yxh ，。),(max ),(yxfM Ryx得分2二、计算题(每题 10 分,共 50 分) 10、求方
3、程 的解。221dyy dxxyx y11、求方程通过点的第二次近似解。2dyxydx(1,0)12、求非齐线性方程的特解。sinxxt13、求解恰当方程 。0)4()3(2dyxydxxy14、求伯努利方程的通解。26xyxy dxdy三、证明.（20 分）15、1)试验证初值问题，的解为: 21 14xx12(0);1123212()( )()tttet2）求该微分方程组的 expAt。试卷（1）答案 一、填空（每格 3 分，共 30 分）1、方程有只与有关的积分因子的充要条件( , )( , )0M x y dxN x y dyx是。)(xNxN yM2、若为阶齐线性方程的个解，则它们线
4、性无关的充要条件12( ),( ),( )nx txtxtLnn是。12( ),( ),( )0nw x t x tx tL得分得分33、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是( ) t( ) t( )xA t x( ) t( ) t，C 为非奇异常数矩阵。( )( )tt C )(bta4、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 存在常数0，对于所有),(yxfy都有使得不等式成立。Ryxyx)(),(2, 211212, 211)(),(yyLyxfyxf5、当时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。xN yM 0),(),(dyyxNdxyxM6、若是的基解矩阵，则满足( ) txtA
5、x)(xtAx)()(tf)(0tx的解。011 0( )( )( )( )( ) ( )ttx tttts f s ds 7、若为 n 阶齐线性方程的个线性无关解，( )(1,2, )ix t inK( )( ) 1( )( )0nn nxa t xa t xLn则这一齐线性方程的通解可表为，其中是任意常数。)()(1txctxinii nccc,2, 1K8、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程 y=y +的解。dxdy00()y xy0xxdxyxf0),(9、如果在上 连续 且关于满足李普希兹条件，则方程存在唯一的),(yxfRy),(yxfdxdy解，定义于区间上，连续且满足初始
6、条件，其中 )(xyhxx000)(yx，。),min(Mbah ),(max ),(yxfM Ryx二、计算题(每题 10 分,共 50 分) 10、求方程 的解。221dyy dxxyx y解：原式可化为 221 ()dyy dxy xx分离变量得 21(1)ydydx yxx两边积分后 2 11ln 1lnln 12yxxc4即222(1)(1)yxcx故原方程的通解为 222(1)(1)yxcx11、求方程通过点的第二次近似解。2dyxydx(1,0)解：令0)(0x则 22 1001111( )()22xxxyxydxxdxx222253 2011111111111( )( )()
7、222206430xxxyxx dxxxdxxxxx12、求非齐线性方程的特解。sinxxt解：线性方程的特征方程，故特征根。0xx210 i 又， 是特征单根，所以原方程有特解，将( )sinftti( cossin )xt AtBt其代入原方程得， B=0 。故原方程的特解为。1 2A 1cos2xtt 13、求解恰当方程。0)4()3(2dyxydxxy解： ， .1 yM1 xN则 .xN yM 所以此方程为恰当方程。凑微分，0432ydydxxxdyydx得 Cyxyx23214、求伯努利方程的通解。26xyxy dxdy解：这是 n=2 时的伯努利不等式，令 z=,算得1ydxdy
8、ydxdz2代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为 z=xzxdxdz6 826x xc5带回原来的变量 y，得到=或者，这就是原方程的解。y1 826x xccx yx886此外方程还有解 y=0.三、证明.（20 分）15、1)试验证初值问题，的解为: 21 14xx12(0);1123212()( )()tttet2）求该微分方程组的 expAt。1）证明：解得此时 k=1 221( )69014p1,2312n 12v111123322120()( )(3 )()!ititittteAEeti2）解：由公式 expAt= 得10()!intiiteAEi333101 11exp(3 )011 11tttttAteEt AEetett
