《波动方程能量积分1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《波动方程能量积分1（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 双曲型方程第四章 双曲型方程第5节 能量积分、惟一性和稳定性关于波动方程解的稳定性和惟一性可利用能量积分 估计.5.1 能量积分：能量积分：2 2 1210,)0(0,( ,),(5.1)( ,0)( ),( ,0)( ),( ,)0,R.ntnnuautxxt u xx u xxxxu = = ?其中有界区域，边界为情形1：第一边值问题其能量积分为其能量积分为1222 12211( )(| )(5.2)2=(,),|. nitnnxxx iE tuaudxdxuuuuu=+= ?其中现以n=1，即弦振动方程为例, 来说明能量积分的意义. dx( ,)x xx+在小弦段上在小弦段上,
2、该弦段的质量为，该弦段的质量为， ( , )u x t t 弧段的速度为，它具有的动能为弧段的速度为，它具有的动能为21.2tu dx又由于弦段的张力为又由于弦段的张力为T, 该弦段伸长的长度为该弦段伸长的长度为()22111,2xxudxu dx+它具有的位能为它具有的位能为21.2xTu dx注意到注意到2Ta=。于是于是, 若不计常数因子的相差若不计常数因子的相差, 则积分则积分22201()2ltxua udx+就是弦段就是弦段0,l在时刻在时刻t的总能量的总能量.如果将外力密度f也考虑进去, 即考虑如下的第一边 值问题.2 2 11210,)( , )(0,( ,),(5.3)( ,
3、0)( ),( ,0)( ),( ,)0,nntnuauf xx ttxxt u xx u xxxxu = =?其能量积分为其能量积分为222 11( )(|2).(5.4)2tnE tuaufu dxdx=+ ?2 2 1210,)(0,( ,),( ,0)( ),( ,0)( ),( ,)(5.5)0.ntnuauftxxt u xx u xxxxu n = =?情形2：第二边值问题此时，有同样的能量积分为此时，有同样的能量积分为222 11( )(|2).(5.4)2tnE tuaufu dxdx=+ ?2 2 1210,)0(0,( ,),( ,0)( ),( ,0)( ),( ,)(
4、5.6)0.ntnuautxxt u xx u xxxxuun = +=?情形3：第三边值问题此时，能量积分为此时，能量积分为22222 111( )(| ).(5.7)22tnE tuaudxdxau dS=+ ?现以n=1 来说明能量积分(5.7)的意义.0()0,()0,(5.8)xxxx luuuu=+=此时边界条件为而此时边界条件为而222222011( )(| )(0, )( , ).(5.9)22ltxE tuaudxautul t=+弦段弦段0,l在时刻在时刻t的总能量为的总能量为.2,TkaT=, =2202221()(0, )( , )22ltxk utul tua udx
5、+ 注意到注意到E(t)与总能量相差一个常数因子与总能量相差一个常数因子5.2 混合问题解的惟一性则由(5.7)定义的能量积分E(t)保持不变, 即2 2 20,)2()0(0,(, ),( , ,0)( , ),( , ,0)( , ),( , )(5.10)0,R.xxyytua uutxyt u x yx y u x yx yx yuun+= += 其中有界区域，边界为定理 4.13：设函数u(x,y,t)满足混合问题( )0.dE t dt=22222211( )().22txyE tua uudxdyau dS=+22222( )()()()() tttxxtyytttttxxyyx
6、txytytdE tu ua u uu udxdyau u dSdtu ua uudxdyau uu udxdyau u dS=+=+证明：对n=2的情形，对应的能量积分为上式关于t求导，并利用(5.10)中的方程，边界条件和 格林公式，有222222()()0,tttxxyytttttxxyyttuu ua uudxdyaudSau u dSnu ua uudxdyau udSau u dS=+=+=所以E(t)是一个与t无关的常数,则E(t)=E(0).下面利用能量守恒定律来证明混合问题解的惟一性.仍以二维空间波动方程的第三辺值问题为例.考虑 下面的混合问题：2 2 20,)2()( ,
7、, )(0,( , ),( , ,0)( , ),( , ,0)( , ),( , )(5.11)0,R.xxyytua uuf x y ttx yt u x yx y u x yx yx yuun+= += 其中有界区域，边界为 定理4.14： 若混合问题(5.11)有解, 则解是惟一的. 证明：设是混合问题的两个解, 则他们的差12,u u12uuu=是混合问题2 2 20,)()0(0,( , ),( , ,0)0,( , ,0)0,( , )(5.12)0,xxyytua uutx yt u x yu x yx yuun+= +=的解.22222211( )()(0).22txyE t
8、ua uudxdyau dSE=+=从而由定理4.13知.而在(5.12)中，E(0)=0, 所以0,.txyuuuuC=又因为( , ,0)0,( , , )0.u x yu x y t=这样就证明了混合问题(5.11)的惟一性.5.3 能量不等式引理4.6: (积分形式的Gronwall不等式)( ),( ), ( )u ttk t设是a,b上的非负连续函数, A是非负常数 且满足积分不等式( ) ( ) ( )( ), , ,(5.13)tau tAs u sk s ds ta b+则当时， , ta b()( )exp( )( )exp( ).(5.14)ttsaaau tdAk sd
9、ds +( ) ( ) ( )( ) .tav tAs u sk s ds=+证明：令14则( )( ), ( ).u tv t v aA=微分v(t)得( )( ) ( )( ).(5.15)v tt v tk t+改写(5.15)成为()exp( )( )( )exp( ),ttaaddv tk tddt 积分上式，得 ()()exp( )( )( )( ) exp( ),tttaaadv tv ak tdds +注意到( )( ), ( ).u tv t v aA=由此立得(5.14).推论4.6: (微分形式的Gronwall不等式) ( ), ( )tk t设u(t)是a,b上的非负
10、连续可微函数,是a,b上的 非负连续函数且满足积分不等式( )( ) ( )( ), , ,u tt u tk tta b+则当时， , ta b()( )exp( )( )( )exp( ).ttsaaau tdu ak sdds +利用Gronwall不等式可建立下面的能量不等式.16设设u(x,y,t)在上可积，记在上可积，记将将(5.16)关于关于t求导求导, 利用利用Cauchy 不等式得：不等式得：2 01( )( , , )(5.16)2E tux y t dxdy=2L22 0011( )22( )( ),ttE tuu dxdyu dxdyu dxdyE tE t=+利用利用
11、Gronwall 不等式得：不等式得：000( )(0)( ),(5.17)tttE te Eee Ed+由于混合问题由于混合问题(5.10)的能量守恒的能量守恒, 即即E(t)=E(0).1700( )(0)(0)(1),(5.18)ttE te EEe+故上式可写为上式是与混合问题故上式可写为上式是与混合问题(5.10)的解有关的一个估计式，称它为能量不等式，通常称为先验估计的解有关的一个估计式，称它为能量不等式，通常称为先验估计.应用应用(5.18)可得到混合问题的解对初始数据的解的 连续依赖性可得到混合问题的解对初始数据的解的 连续依赖性.定理定理4.15：混合问题：混合问题(5.11
12、)的解，在下述意义下关 于初始数据是稳定的的解，在下述意义下关 于初始数据是稳定的, 即对于任意给定的即对于任意给定的0,总存在正数只要总存在正数只要,18222221212()()1212()()12( )(, )(, ),(, )(, ),(, )(, ),(, )(, ),(, )(, ),LLxxyyLLL = +=20能量不等式能量不等式(5.18)可写成可写成0,tT 当时002222222( )(0)(0)(1)11(1)(),22TTTT xyE te EEeedxdyeadxdyadS + 2222222 12()22 1212()()222 1212()()22 12( )
13、(, , )(, , )(, )(, )(, )(, )(, )(, )(, )(, )(, )(, ),LT LLxxyyLLLututeaa + + + + 即21212()2222(, , )(, , )(22),= (22)LTTututeaa eaa = += 证明当自由项证明当自由项f “很小很小”时时, 对应的解也是对应的解也是“很小很小”的的.000( )(0)( ),(5.17)tttE te Eee Ed+为此为此, 利用能量不等式将不等式利用能量不等式将不等式(5.19)中的中的E(t)代入上式代入上式, 并注意到并注意到0(0)0,(0)0,EE=2 0001( )( ),0,2TTTTE tTeFdTef dxdydtT= 从上式可看出从上式可看出, 只要只要f在三维空间的平方模在三维空间的平方模 1/220Tf dxdydt 很小时，则对应的解在任何时刻很小时，则对应的解在任何时刻t(0t T)对变量对变量 x,y的平方模或在的平方模或在xyt空间的平方模也很小空间的平方模也很小.2()(, , )Lut 1/220Tu dxdydt
