概率公式大全

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1、概率论与数理统计 公式（全） （Edit by 许丙胜）2011-1-11第第 1 章章 随机事件及其概率随机事件及其概率（1）排列 组合公式从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(! nmmPn m从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。)!( ! nmnmCn m（2）加法 和乘法原 理加法原理（两种方法均能完成此事）：加法原理（两种方法均能完成此事）：m+nm+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：

2、mnmn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些 常见排列重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题（4）随机 试验和随 机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。（5）基本 事件、样 本空间和 事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具 有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，

3、都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，表示事件，它们是的子集。 为必然事件， 为不可能事件。 不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件 的关系与 运算关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生）： BA 如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于BA AB B：A=B。A、B中至少有

4、一个发生的事件：AB，或者A+B。U属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。BAA、B同时发生：AIB，或者AB。AIB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，概率论与数理统计 公式（全） （Edit by 许丙胜）2011-1-11称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。 运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)

5、(BC)德摩根率：UI11iiiiAA，BABAIUBABAUI（7）概率 的公理化 定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若 满足下列三个条件： 1 0P(A)1， 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11)(iiiiAPAPU常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。（8）古典 概型1 ，nL21,2 。nPPPn1)()()(21L设任一事件A，它是由组成的，则有mL21, P(A)= =)()()(21mULUU)()()(21mPPPLnm基本事件总数所包含的基本事件数A（9）几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并

6、且每个结果出现的可能性均匀，同时样本 空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为 几何概型。对任一事件 A，。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。)()()(LALAP（10）加 法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减 法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时，P()=1- P(B)B（12）条 件概率定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称为事件 A 发生条件下，)()( APABP事件 B 发生的条件概率，记为。

7、)/(ABP)()( APABP概率论与数理统计 公式（全） （Edit by 许丙胜）2011-1-11条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B（13）乘 法公式乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn )1nA。（14）独 立性两个事件的独立性两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立 的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)

8、()()()( )()()|(BPAPBPAP APABPABP若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互 独立。 必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。（15）全 概公式设事件nBBB,21L满足1nBBB,21L两两互不相容，), 2 , 1(0)(niBPiL，2Un

9、iiBA1 ， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAPL。（16）贝 叶斯公式设事件1B，2B，nB及A满足1 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2 UniiBA1 ，0)(AP， 则，i=1，2，n。 njjjii i BAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(此公式即为贝叶斯公式。， （1i，2，n） ，通常叫先验概率。)(iBP， （1i，2，n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了)/(ABPi “因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯 努利概型我们作了n次试验，且满足 每次试验只有

10、两种可能结果，A发生或A不发生； n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；概率论与数理统计 公式（全） （Edit by 许丙胜）2011-1-11每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与 否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk, 2 , 1 , 0L。第二章第二章 随机随机变变量及其分布量及其分布（1）离散 型随机变 量的分布 律设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概

11、率，即 事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的 形式给出：LLLL ,|)(2121kkkpppxxx xXPX 。 显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，L, 2 , 1k， （2）11kkp 。（2）连续 型随机变 量的分布 密度设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x， 有 xdxxfxF)()(， 则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称 概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质：1 0)(xf。2 1)(dxxf。 （3）离散 与连续型

12、随机变量 的关系dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离dxxf)(散型随机变量理论中所起的作用相类似。概率论与数理统计 公式（全） （Edit by 许丙胜）2011-1-11（4）分布 函数设为随机变量，是任意实数，则函数Xx)()(xXPxF称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到 X 落入区间的概率。分布)()()(aFbFbXaP,(ba函数表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。)(xF分布函数具有如下性质：1 ；, 1)(0xFx2 是单调不减的函数，即时，有 ；)(xF21xx )(1xF)(2xF3

13、， ；0)(lim)( xFF x1)(lim)( xFF x4 ，即是右连续的；)()0(xFxF)(xF5 。)0()()(xFxFxXP对于离散型随机变量，； xxkkpxF)(对于连续型随机变量， 。 x dxxfxF)()(0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q（5）八大 分布二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生nApA的次数是随机变量，设为，则可能取值为。XXn, 2 , 1 , 0L， 其中knkk nnqpCkPkXP)()(，nkppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1L则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为Xnp。),(pnBX当时，这就是（

14、0-1）分1nkkqpkXP1)(1 . 0k布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。概率论与数理统计 公式（全） （Edit by 许丙胜）2011-1-11泊松分布设随机变量的分布律为X，ekkXPk!)(0L2 , 1 , 0k则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或X)(X者 P()。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n） 。超几何分布),min(,2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPn Nkn MNk M L随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布，其中 p0，q=1-p。L, 3 , 2 , 1,)(1kpqkXPk随机变

15、量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数，即ab 1其他， , 0,1 )(abxf则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。 分布函数为xdxxfxF)()(当 ax1b。axb概率论与数理统计 公式（全） （Edit by 许丙胜）2011-1-11指数分布其中0，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。 X 的分布函数为记住积分公式：!0ndxexxn )(xf,xe0x,0, 0x,)(xF,1xe0x, , 0xx1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2) F(x,y1); （3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(), 0(),(yxFyxFyxFyxF（4）. 1),(, 0),(),(),(